Examen Final - Cálculo I (2018-I Turno Mañana)- PDF

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Instrucciones al estudiante: Está prohibido el uso de celular durante el examen No se permite el uso de ningún material ajeno al que se entrega o permite en el examen Los exámenes que utilizan lápiz y/o liquid paper no tienen derecho a reclamo. Sea 21; 0; si 0 1()2 ; si 1 22 ; si 2x si xxxfxxxx x...

Description

VERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS UNIVERSIDAD DEL PERÚ, DECANA DE AMÉRICA VICERRECTORADO ACADÉMICO DE PREGRADO ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES

EVALUACIÓN

EXAMEN FINAL

CURSO

CALCULO I

COORDINADOR AREA ACADÉMICA

Mg. NOLAN JARA JARA INGENIERÍA

AÑO ACADÉMICO SECCIÓN DURACIÓN SEMESTRE

2018 Todas 100 minutos 2018-I

Instrucciones al estudiante:  Está prohibido el uso de celular durante el examen  No se permite el uso de ningún material ajeno al que se entrega o permite en el examen  Los exámenes que utilizan lápiz y/o liquid paper no tienen derecho a reclamo.

1. Sea

 x  1; si x  0  x; si 0  x  1  Determinar f ( x)   2  x; si 1  x  2  2 x  x 2 ; si x  2 f´(0), f´(1) , f´(2) si . Solución 1º) en x = 0. f (0) = 1 lim lim lim lim (x )  0  f (x )   (x  1)  1 ;  f (x )  x0 x0 x 0 x  0 lim f (x ) no existe  f no es continua en x = 0  f (0) no existe.  x 0 2º) en x = 1. lim f ( x)  f (1) lim x  1 lim f ( x )  f (1) lim 2  x  1   1 ; f (1 )    1 f (1 )     x 1 x1 x 1 x  1 x 1 x1 x 1  x  1 Como f (1 )  f (1 )  f (1) no existe. 3º) en x=2. f (2  ) 

lim f (x )  f (2) lim 2  x lim f (x )  f (2) lim (2x  x 2 )         2 1; (2 ) f x  2 x 2 x  2 x  2 x  2 x2 x  2 x  2

Como f (2 )  f (2 )  f (2) no existe. 2. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,2) y es tangente a la gráfica 2𝑥+1 de la función 𝑓(𝑥) = ,Graficar. 𝑥+2 Solución LT: y-2 = m(x-4) 2𝑎 + 1 −2 𝑥+2 3 → 𝑎 = 1 → 𝐿𝑇: 𝑦 = = 𝑚 = 𝑓´(𝑎) → 𝑎 + 2 ( 𝑎 + 2 )² 𝑎−4 3

3. Trace la gráfica de f (x) = x2/3(3 - x)1/3. Mostrando: los intervalos donde la función es creciente, decreciente y Los valores extremos relativos. Solución 1 𝐷𝑜𝑚(𝑓): 𝑥𝜀𝑅, 𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 − 𝑥³) ⁄ 3

𝑓´(𝑥) =

2−𝑥 → 𝑃𝐶: 𝑥 = 2; 𝑥 = {0,3} − 𝑥)2/3 −2 𝑓´´(𝑥) = 4/3 𝑥 (3 − 𝑥)5/3

𝑥 1/3(3

4. Dos trenes parten de una estación con 3 horas de diferencia. El que parte primero se dirige hacia el norte con una rapidez de 100 km/h. El otro tren se dirige hacia el este con una rapidez de 60 km/h. ¿A que razón está cambiando la distancia entre los trenes 2 horas después de que partió el segundo tren? Solución.

z=√(300 + 100𝑡)2 + (60𝑡)² x=300+100t

y=60t

𝑧´(𝑡 ) =

100(300 + 100𝑡) + 60(60𝑡 ) √(300 + 100𝑡)2 + (60𝑡)² 𝑧´(2) = 111.241

5. En una carretera a través del desierto un automóvil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 Km. de distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las ciudades A y B y que le permite ir a una velocidad de 100 Km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60 Km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 300 Km., determina la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor tiempo posible. Cuál es el tiempo mínimo. Solución. C

A 400-x

x

B

300 500

P

d C , P   x 2  300 ;0  x  400 2

x 2  300 2 400  x t (x )   100 60 1 x t  (x )    0  x  225... pc 2 100 60 x  3002 t (225)  0  t( 225)  8 h.  tiempo min imo

FECHA

Ciudad Universitaria, 23 de julio del 2018...