Examen Final - Cálculo I (2019-I Turno Mañana)-CALCULO 1 PDF

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TURNO MAÑANAInstrucciones al estudiante:  Está prohibido el uso de calculadora y celular durante el examen.  No se permite el uso de ningún material ajeno al que se entrega o permite en el examen.  Usar lapicero de preferencia tinta azul.1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposici...

Description

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS UNIVERSIDAD DEL PERÚ, DECANA DE AMÉRICA VICERRECTORADO ACADÉMICO DE PREGRADO ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES TURNO MAÑANA EVALUACIÓN

EXAMEN FINAL

AÑO ACADÉMICO

2019

CURSO

Cálculo I

SECCIÓN

Todos

COORDINADORA

Jenny Carbajal Licas

DURACIÓN

120 minutos

ÁREA ACADÉMICA

INGENIERÍA

SEMESTRE

2019-I

Instrucciones al estudiante:  Está prohibido el uso de calculadora y celular durante el examen.  No se permite el uso de ningún material ajeno al que se entrega o permite en el examen.  Usar lapicero de preferencia tinta azul.

1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones y justifique su respuesta en cada caso. a) Sean Si

b) Si

f una función derivable en todo ℝ y g una función definida por g( x)  f  xf ( x) .

f (1)  f ' 1  1 entonces

g '(1)  1

x(t )  e , y(t )  t  1 entonces t

c) La ecuación abierto

2

4 x3  6 x2  4 x 1  0

d 2 y 2 1  t   dx 2 e2 t

d 2y  y '' donde dx2

(1 punto)

tiene al menos una raíz en el intervalo

 0,1

d) La ecuación de la recta tangente a la curva dado por

(1 punto)

(1 punto)

9 x 2  y 2  18 , en el punto P(1, 3) está

0  3x  y  6

2. La gráfica de la derivada de cierta función continua

(1 punto)

f :  a, b 

está dada por

1

Determine: a) Los puntos críticos de la función

(1 punto)

f

b) Los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función f c) Los intervalos de concavidad d) Los máximos y mínimos relativos de la función f , y los puntos de inflexión e) Realice un bosquejo de la gráfica de la función

f según los ítems a), b),c) y d)

3. Determine los valores de a, b y c sabiendo que la gráfica de la función f  x  asíntota vertical en

(1 punto) (1 punto) (2 puntos) (1 punto)

ax 2  b tiene una x c

x  1 , una asíntota oblicua de pendiente 2 , y un extremo relativo en el punto de

abscisa x  3 .

(4 puntos)

4. Determine las constantes reales

a0

y

b0

de manera que

(3 puntos)

lim  x  3sen  3x   x 2a  b   0 x 0

5. Si la función real

f

es derivable en

xa

calcule el siguiente límite

a f  x   x f  a , n lim x a x a n

n

(3 puntos)

2

UN SOLUCIONARIO-TURNO MAÑANA 1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones y justifique su respuesta en cada caso. a) Sean Si

f una función derivable en todo ℝ y g una función definida por g( x)  f  xf ( x) .

f (1)  f ' 1  1 entonces

g '(1)  1

t 2 b) Si x(t )  e , y(t )  t  1 entonces

c) La ecuación 4 x abierto

3

 6 x 2  4 x 1  0

d 2 y 2 1  t   dx 2 e2 t

d 2y  y '' donde dx2

(1 punto)

tiene al menos una raíz en el intervalo

 0,1

(1 punto)

9 x 2  y 2  18 , en el punto P(1, 3) está

d) La ecuación de la recta tangente a la curva dado por

(1 punto)

0  3x  y  6

(1 punto)

Solución a) Falso: Por la regla de la cadena

g'( x)  f ' xf ( x) xf ( x) '  f ' xf ( x)  f ( x)  xf '( x)

g '(1)  f ' 1 f (1)  f (1) 1 f '(1)  f '1 1  1  2 b) Verdadero

2

dy 2t d y  t   dx e dx 2

d dt

 dy   dx    dx dt

d dt

 2t   e t  2 1  t    et e 2t

c) Verdadero Sea

f  x   4 x3  6 x2  4 x 1  f es continua en [0,1] por ser una función polinómica

f  0   1  0, f 1  1  0 Por el Teorema de Bolzano existe

c   0,1 tal que f  c   0

c) Verdadero Derivando en forma implícita obtenemos la pendiente

9 x2  y2  18

tenemos

y ' 

9x y

reemplazando en el

P(1, 3)

m  3 , luego la recta tangente es 0  3x  y  6

3

2. La gráfica de la derivada de cierta función continua

f :  a, b 

está dada por

Determine: a) Los puntos críticos de la función

f

(1 punto)

b) Los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función f c) Los intervalos de concavidad d) Los máximos y mínimos relativos de la función f , los puntos de inflexión e) Realice un bosquejo de la gráfica de la función

f según los ítems a), b),c) y d)

(1 punto) (1 punto) (2 puntos) (1 punto)

Solución a) Del gráfico se observa que f '  x2   f '  x4   0 y en f '  x5  no existe, entonces tenemos los puntos críticos sobre las abscisas x2 , x4 y x5 . b) Los signos de la derivada son

+ + + ○ ----------●--------●-----------○-----------○ 𝒂

𝒙𝟐 Los intervalos de crecimiento es  a, x2 

𝒙𝟒

𝒙𝟓

𝒃 , el intervalo de decrecimiento

c) De la gráfica se observa los intervalos donde la función obtener los signos de f ''

 x4 , x5 

f ' es creciente y decreciente, así podemos

+ + ○ -----------●--------●-----------●------I------○------------○ 𝒂 Es cóncava hacia arriba en d) Así tenemos que

𝒙𝟏

a, x1 

𝒙𝟐

𝒙𝟑

𝒙𝟒

𝒙𝟓

, y cóncava hacia abajo en

𝒃

 x1 , x2 

f toma un valor mínimo relativo en x  x 5 y un máximo relativo en x  x 4 .

Los puntos de inflexión en : x1, x 2 y x3 . f)

En x  x 5 hay un pico en la gráfica, pues no existe la derivada

4

3. Determinar los valores de a, b y c sabiendo que la gráfica de la función f  x   asíntota vertical en

ax2  b tiene una x c

x  1 , una asíntota oblicua de pendiente 2 , y un extremo relativo en el punto de

abscisa x  3

( 4 puntos)

Solución Presenta asíntota vertical: Presenta asíntota oblicua:

ax2  b a b       c   1, a  b  0 x 1 x  c 1c a  xb2 f (x ) ax 2  b 2  lim  lim 2  lim aa 2 x x x  cx x 1  c x x

lim

Tiene un extremo relativo: f ' x  

2x 2  4x b  f ' 3   0 luego 2 x 1  f ' 3 

Finalmente

f x 

18 12  b  0 b  6 2 3 1 

2 2x  6 x 1

4. Determine las constantes reales

a0 yb0

de manera que

(3 puntos)

lim  x  3sen  3x   x 2a  b   0 x 0

Solución:

Aplicando L’Hópital tenemos:

 sen  3 x   xa  bx 3  0 Derivamos  3cos 3 x  a  3bx 2  0 lim      lim 3 2 x 0 x0 0 3 x x   0   Aplicando el límite en el numerado y considerando que:

3cos  0  a  0  0  a  3 Así

 3cos3x  3  3bx 2  Derivamos  9sen3x  6bx  0 lim  lim    2  x 0 x 0 3 6 0 x x    

Luego, derivamos

5

lim  x 0 

Por lo tanto

a  3, b 

5. Si la función real

f

9 27 cos3 x  6b    0  27  6b  0  b  6 2 

9 2

es derivable en

xa

calcule el siguiente límite

a f  x   x f  a , n lim x a x a n

n

(3 puntos)

Solución

f

es derivable en

xa

entonces existe

f '  a y

lim x a

f  x f a  f ' a x a

n n n n  n f  x   f  a a f  x   x f a  x a    f  a a  lim lim xa xa xa  x a x a 

Aplicando L’hopital en el segundo sumando, garantizamos la existencia del límite, así

a n f  x   xn f  a   xn  an  n  a f '  a   f  a  lim   lim xa x a x a  x  a   a n f ' a   na n1 f  a

6...