Examen Junio, preguntas y respuestas PDF

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UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE CHILE FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA PRUEBA 2 ASIGNATUR A CARRERA PROFESO R FECHA ALUMNO (a) PUNTAJE NOTA ASEGURATE DE LEER LAS INSTRUCCIONES. Muestra todo tu trabajo. Indica claramente tu respuesta. PROHIBIDO USAR TOTO TIPO DE ARTICULOS ELECTRONICOS (celular, ...

Description

UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

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PRUEBA Nº ASIGNATURA

2

CARRERA

PROFESO R FECHA

ALUMNO (a)

PUNTAJE

NOTA

ASEGURATE DE LEER LAS INSTRUCCIONES. Muestra todo tu trabajo. Indica claramente tu respuesta. PROHIBIDO USAR TOTO TIPO DE ARTICULOS ELECTRONICOS (celular, cámaras, filmadoras, etc.)

1)

(10 puntos) En una ciudad se publican tres periódicos ( A, B y C). Se sabe que un 60% de la población está suscrito al periódico A, un 40% al B, un 30% al C, un 20% a A y B, un 15% a A y C, un 25% a B y C, y un 10% a los tres periódicos. ¿Qué parte de la población está suscrita al menos a un periódico?

2)

(10 puntos) Cuatro técnicos se encargan regularmente de las reparaciones de una línea de producción automatizada en caso de fallas. Josefina, quien se ocupa del 20% de las fallas, realiza una reparación incompleta 1 vez de 20; Tomas quien atiende el 60% de las fallas realiza una reparación incompleta 1 vez de 10; Griselda quien atiende el 15% de las fallas hace una reparación incompleta 1 vez de 10 y Carlos quien se ocupa del 5% de las fallas realiza una reparación incompleta 1 vez de 20. Para el siguiente problema con la línea de producción, atribuido en él diagnostico a una reparación inicial incompleta ¿Cuál es la probabilidad de que tal reparación inicial haya sido hecha por Josefina?.

3)

(10 puntos) En un almacén hay 6000 piezas de las cuales 900 son defectuosas. Se seleccionan aleatoriamente (sin reemplazamiento) 10 piezas. a) Calcular la probabilidad de que al menos una esté en mal estado. b) Calcular la probabilidad de que a lo más una esté en buen estado.

4)

(10 puntos) El número de fallas por hora en un determinado mecanismo sigue una distribución de Poisson de media 1,5. a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguna falla durante una hora? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguna falla durante tres horas?

5)

(10 puntos) Suponga que el ingreso familiar mensual en una comunidad tiene distribución normal con media $600 y desviación estándar $100 (en miles de pesos) a) Calcular la probabilidad de que el ingreso de una familia escogida al azar sea menos de $400 b) Calcular la probabilidad de que el ingreso de una familia escogida al azar este entre $450 y $650 c) Si al 20% de las familias con menores ingresos se les entregará un bono del gobierno, ¿Hasta que ingreso familiar se debe entregar el bono? TOTAL 50 PUNTOS

UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

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PRUEBA Nº ASIGNATURA

2

CARRERA

PROFESO R FECHA

ALUMNO (a)

PUNTAJE

NOTA

ASEGURATE DE LEER LAS INSTRUCCIONES. Muestra todo tu trabajo. Indica claramente tu respuesta. PROHIBIDO USAR TOTO TIPO DE ARTICULOS ELECTRONICOS (celular, cámaras, filmadoras, etc.)

1)

(10 puntos) En una ciudad se publican tres periódicos ( A, B y C). Se sabe que un 60% de la población está suscrito al periódico A, un 40% al B, un 30% al C, un 20% a A y B, un 15% a A y C, un 25% a B y C, y un 10% a los tres periódicos. ¿Qué parte de la población no está suscrita a un periódico?

2)

(10 puntos) En una empresa el 8% de los hombres y el 4,3% de las mujeres ganan más de U$ 25000 al año. Se sabe que el porcentaje de mujeres en la empresa es del 47%. Se selecciona al azar un empleado que gana menos de U$ 25000, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

3)

(10 puntos) Un proceso de fabricación produce un 1% de piezas defectuosas. Las piezas se empaquetan en cajas de 20 unidades. ¿Cuál es la probabilidad de que si se seleccionan 5 cajas al azar, ninguna de ellas tenga piezas defectuosas?

4)

(10 puntos) La probabilidad de que aparezca una pieza defectuosa en un proceso es 0,0001. La producción de un año es de 36000 piezas. Calcular la probabilidad de que en la producción anual el número de piezas defectuosas sea por lo menos dos. Utilice Poisson.

5)

(10 puntos) La renta media de los habitantes de un país es de 4 millones de pesos al año, con una varianza de 0,64 millones. Se supone que se distribuye según una distribución normal. Calcular: a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de pesos. b) Renta a partir de la cual se sitúa el 10,03% de la población con mayores ingresos c) Ingresos mínimo y máximo que engloba al 59,9% de la población con renta media. TOTAL: 50 PUNTOS

UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

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PRUEBA Nº

2

ASIGNATURA CARRERA

PROFESO R FECHA

ALUMNO (a)

PUNTAJE

NOTA

ASEGURATE DE LEER LAS INSTRUCCIONES. Muestra todo tu trabajo. Indica claramente tu respuesta. PROHIBIDO USAR TOTO TIPO DE ARTICULOS ELECTRONICOS (celular, cámaras, filmadoras, etc.)

1)

(10 puntos) Sean A, B y C, eventos definidos en un mismo espacio muestral; se consideran los eventos:

D1 =A∩BC ∩C C D2 =A∩ ( B∪C ) Determinar

P ( D1)

y

P ( D 2)

sabiendo que:

P ( A )=0,6 ; P ( B )=0,4 ; P (C )=0,3 ; P ( A∩B ) =0,2; P ( A∩C ) =P ( B∩C )=0,1 y P( A∩B∩C )= 0 ,05 2)

(10 puntos) El volumen de producción diario en tres plantas diferentes de una fábrica minera es de 500 unidades en la 1ª planta, 1000 unidades en la 2ª planta y 2000 unidades en la 3ª planta. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas es del 1%, 0.8% y 2% en la 1ª, 2ª y 3ª planta respectivamente, determinar la probabilidad de que: a) Extraída una unidad al azar resulte defectuosa. b) Extraída una unidad al azar resulte no defectuosa. c) Habiéndose producido una unidad defectuosa, haya sido producida en la 1ª planta.

3)

(10 puntos) Si la probabilidad de que cierta marca de computadora esté en servicio después de un año es 0,80 y si una empresa comercial adquiere 35 de tales computadoras, calcular la probabilidad de que: a) Siete de las computadoras adquiridas estén en servicio después de un año; b) Al menos 3 de las computadoras adquiridas no estén en servicio después de un año.

4)

(10 puntos) El número medio de automóviles que llegan a una estación de suministro de combustible es de 210 automóviles por hora. Si dicha estación puede atender un máximo de 3 automóviles por minuto, determine la probabilidad de que en un minuto dado lleguen a la estación más automóviles de los que se puede atender.

5)

(10 puntos) Una prueba consta de 200 preguntas de verdadero o falso, para un sujeto que respondiese al azar ¿Cuál sería la probabilidad de que acertase: a) 50 preguntas o menos. b) Más de 50 y menos de 100. c) Más de 120 preguntas. TOTAL: 50 PUNTOS

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PRUEBA Nº

2

ASIGNATURA CARRERA

PROFESO R FECHA

ALUMNO (a)

PUNTAJE

NOTA

ASEGURATE DE LEER LAS INSTRUCCIONES. Muestra todo tu trabajo. Indica claramente tu respuesta. PROHIBIDO USAR TOTO TIPO DE ARTICULOS ELECTRONICOS (celular, cámaras, filmadoras, etc.)

1)

(10 puntos) La producción de una factoría se realiza en cuatro máquinas, M1, M2, M3 y M4. Diariamente la producción de cada una de las máquinas es la siguiente: M1 M2 M M 4 TOTAL 3

60 500 350 250 1700 0 Además, sabemos que los porcentajes de piezas defectuosas producidas por cada una de las máquinas son:

M1

M2

M3

M4

4%

a) b)

3,5 4,6 2% % % Si las piezas se almacenan conjuntamente, ¿cuál es la probabilidad de que al seleccionar una pieza al azar ésta sea defectuosa? Se ha seleccionado una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida en la máquina M2?

2)

(10 puntos) En unos grandes almacenes el 50% de los clientes pagan en efectivo, el 40% con tarjeta de crédito y el 10% con cheques. Se pide: Probabilidad de que de los 10 próximos clientes que realizan una compra, 6 paguen en efectivo o con tarjeta o con cheque.

3)

(10 puntos) En una zona minera, el 15% de los trabajadores son analfabetos. Dada una muestra aleatoria de 25 trabajadores de esta zona, ¿cuál es la probabilidad de que el número de analfabeto sea:  ¿Tres o más?  ¿Entre 1 y 3 inclusive?  ¿Menos de 5 pero más de 2?

4)

(10 puntos) A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a una central se modela como una variable aleatoria de Poisson. Suponga que, en promedio, se reciben 10 llamadas por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en una hora? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban tres o menos llamadas en una hora? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas? d) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en 30 minutos?

5)

(10 puntos) Cierta máquina produce cerrojos cuya longitud obedece a una ley de probabilidad 2

normal de parámetros: μ=10 y σ =0 , 01 . Si los cerrojos tienen largos que difieren de 10,05 en más de 0,12cm se consideran defectuosos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cerrojo producido por esta máquina sea defectuoso? b) Si se ajusta la máquina anterior para que la probabilidad de que el largo exceda de 10,12 sea de 0,0401 y la de que el largo no sobrepase de 9,98 también sea de 0,0401. Calcular el largo esperado y la varianza del largo de los cerrojos. TOTAL: 50 PUNTOS

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1)

DESARROLLO 1 (10 puntos) En una ciudad se publican tres periódicos ( A, B y C). Se sabe que un 60% de la población está suscrito al periódico A, un 40% al B, un 30% al C, un 20% a A y B, un 15% a A y C, un 25% a B y C, y un 10% a los tres periódicos. ¿Qué parte de la población está suscrita al menos a un periódico? Solución: Sean A, B y C los sucesos comprar el periódico A, B y C respectivamente. La pregunta se puede interpretar como qué parte de la población está suscrita a A o a B o a C. Lo que en la notación de sucesos equivale a la unión de los tres sucesos.

P ( A∪B∪C )=P ( A ) +P ( B) +P ( C )−P ( A∩B )−P ( A∩C ) −P ( B∩C )+P ( A ∩B ∩C ) =0,6+ 0,4 + 0,3−0 , 25−0,2−0 , 15+0 , 10=0 ,80 El 80% de la población está suscrita al menos a un periódico. 2)

(10 puntos) Cuatro técnicos se encargan regularmente de las reparaciones de una línea de producción automatizada en caso de fallas. Josefina, quien se ocupa del 20% de las fallas, realiza una reparación incompleta 1 vez de 20; Tomas quien atiende el 60% de las fallas realiza una reparación incompleta 1 vez de 10; Griselda quien atiende el 15% de las fallas hace una reparación incompleta 1 vez de 10 y Carlos quien se ocupa del 5% de las fallas realiza una reparación incompleta 1 vez de 20. Para el siguiente problema con la línea de producción, atribuido en él diagnostico a una reparación inicial incompleta ¿Cuál es la probabilidad de que tal reparación inicial haya sido hecha por Josefina?. Solución Sean los eventos: J

=

P

El

evento

que

indica

Josefina

se

ocupa

de

las

P ( J ) =0,2

fallas

( J )=201 =0 , 05

T = El evento que indica Tomás se ocupa de las fallas

P ( T )=0,6

P y

G = El evento que indica Griselda se ocupa de las fallas

P C

y

RI

( RI T )=101 =0,1 P ( G ) =0 , 15

y

P ( C ) =0 ,05

y

(RI G )=101 =0,1 =

El

evento

que

indica

Carlos

se

ocupa

de

las

fallas

( C)=201 =0 , 05

P RI

RI = El evento que indica el técnico realiza una reparación incompleta El evento solución de una reparación incompleta es:

RI ≡( J ∩RI )∪ ( T ∩RI ) ∪ ( G∩RI ) ∪ (C ∩RI ) Entonces, la probabilidad de realizar una reparación incompleta es::

P (RI ) = P { ( J∩ RI )∪ (T ∩ RI ) ∪( G∩RI ) ∪( C ∩ RI ) } RI RI RI RI =P ( J ) P + P( T ) P + P (G )P + P( C ) P J T G C ¿ ( 0,2 ) ( 0 , 05) + ( 0,6 ) ( 0,1) +( 0 , 15) ( 0,1 )+ ( 0 , 05 ) ( 0 ,05 )=0 , 0875

( )

( )

( )

( )

Luego: P

3)

( RI )= J

P ( J) P

(RI J )= ( 0,2 ) (0 , 05) =0 , 1142857

P (RI )

0 , 0875

(10 puntos) En un almacén hay 6000 piezas de las cuales 900 son defectuosas. Se seleccionan aleatoriamente (sin reemplazamiento) 10 piezas. a) Calcular la probabilidad de que al menos una esté en mal estado. b) Calcular la probabilidad de que a lo más una esté en buen estado. Solución a):

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(

X ~ B 10 ; Sea la v.a X = nº de piezas defectuosas en las 10 seleccionadas, o sea:

P (X≥1 )=1−P ( X=0 )=1−

( )⋅0 ,15 ⋅0 ,85 10

0

10

900 6000

)

=1−0 , 1969= 0 ,8031

0

Solución b):

(

Y ~ B 10; Sea la v.a Y = nº de piezas no defectuosas en las 10 seleccionadas, o sea:

()

P (X≤1 ) =

10

( )⋅0 , 85 ⋅0 ,15 =1 , 476∗10

⋅0 , 850⋅0 , 1510 +

0

4)

10

1

)

−6

2

(10 puntos) El número de fallas por hora en un determinado mecanismo sigue una distribución de Poisson de media 1,5. a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguna falla durante una hora? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguna falla durante tres horas? Solución: a)

X = número de fallas durante una hora, o sea:

X ~ IP ( 1,5 ) −1,5

1,50 =1−0 , 2231=0 , 7769 0!

e P ( X≥1 ) =1−P ( X...