Examen Parcial S01 - 2021-2 Solucionario PDF

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CÁ CÁL LCUL CULO OI S EM EMESTRES ESTRES A ACADÉM CADÉM CADÉMIICO 20 202 21 – 2 _ _ _ __ _____ ___ ______ ___ ______ ___ _____ ____ ______ ___ _____ __ ____ __ _____ ___ _____ __ _____ ___ ______ ___ ______ ___ _____ __ ____ __ _____ ___ _____ __ _____ ___ ______ ___ ______ ___ _____ __ ____ __ _______ _____ __ _____ ___ _____ ____ ______ ___ _____ __ ______ ____ ______ __ _____ ___ _____ __ ____ __ _____ ___ _____ __ ____ __ _____ ___

U N IVE VERSI RSI RSIDA DA DAD D N A CION ONA A L MA YOR DE S AN MA RC RCOS OS U N I VE VER RSIDA SIDAD D DEL PE PERÚ RÚ RÚ.. DEC DECA A NA DE A AMÉ MÉ MÉR RICA F AC U LTA LTAD D DE ING INGE E NIE NIER RÍA DE SSIS IS ISTE TE TEMA MA MAS S E INFOR INFORMÁ MÁ MÁTI TI TIC CA

EX AME AMEN N P ARCI RCIAL AL

• •

La duración de la siguiente evaluación es de 120 minutos. Las respuestas deben ser justificadas considerando el proceso, las que no tengan procesos se consideran con nota cero. • Cargue su archivo solucionario en el CLASSROOM dentro del tiempo indicado (30 minutos adicionales como máximo) • Se calificará con nota cero a los solucionarios presentados fuera del intervalo de tiempo establecido. ______________________________________________________________________________ 01. Dado las funciones:

  x− 3 . f (x ) =  2 x  

; x  6;10 a) [3p] Redefinir la función y determine ( f . g ) ( x)

 x − 1 ; x  − 6;4  g (x ) =  x x − 1 ; x  4;8 

b) [1p] Grafique y determine el dominio de la función ( f . g ) ( x) . Solución (a):

 x − 3 . f ( x) =  x2  x − 3 ; x  3 x −3 =  3 − x ; x  3

 ( x − 3).  f ( x) = (3 − x).  2 x 

; x  6;10  x − 3 ; x  3;6  x− 3 =   3 − x ; x   0;3 



; x  6;10  1 ; −2  x  2  sgn (4 − x ) =  0 ; x = − 2 ; 2  −1; ( x  2) 

−1; x  3; 6

2

 1 ; 4− x2  0  sgn (4 − x 2 ) =  0 ; 4 − x 2 = 0  −1; 4 − x 2  0 

 1 ; −2  x  2  2 sgn (4 − x ) =  0 ; x = − 2 ; 2  −1; ( x  2)

)

)

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1 ; x  0; 2  = 0 ; x = 2 −1; x  2;3 

CÁ CÁL LCUL CULO OI SSEM EM EMEST EST ESTR RES A ACADÉM CADÉM CADÉMIICO 20 202 21 – 2 _ _ _ __ _____ ___ ______ ___ ______ ___ _____ ___ ______ ___ _____ __ ____ __ ____ __ _____ ___ ______ ___ _____ __ ______ ____ ______ __ _____ ___ ______ ___ ______ ___ _____ __ ____ __ _____ ___ _____ __ _____ ___ _____ __ ____ __ _____ ___ _____ __ _____ ___ ______ ___ ______ ___ ______ ___ ______ ___ _____ __ _____ ___ _____ __ ____ __ _____ ___ ______ ___ _____ __ _____ ___ _____ __

( x − 3). − 1 ; x  3;6  (3 − x). − 1 ; x  2;3

x −3 .

; x=2

0   (3 − x). 1

; x  0; 2

 x 2 − x; x  4;8  g (x ) =  x − 1 ; x  1; 4   1− x ; x  − 6;1

  x − 1 ; x  − 6; 4 g (x ) =   x x −1 ;x  4;8

 x4 − x3  − x 3 + 4 x 2 − 3x  2 Por tanto: ( f . g ) ( x) =  − x + 4 x − 3  2  x − 4x + 3  0  02. Sea f ( x) =

 x 2 ; x  6;10  3 − x ; x  3;6   Entonces: f ( x) =  x − 3 ; x  2;3  0 ; x =2  3 − x ; x  0; 2  

; x 6;8 ; x  4;6  ; x  1;2 ; x   0;1 ; x= 2

x2 −3 x 2 − 16

a) [1p] Calcule el Lím 𝑓(𝑥) 𝑥→−∞

b) [3p] Determine las ecuaciones de las asíntotas y grafique. Utilice límites. Solución (a):

lim

x →− 

3 1− 2 x 2 −3 x 2 −3 1 x = lim = lim = − lim = − = − x →− 1 0 16 x 2 − 16 x →−  x 1 16 x →−  x 1 16 1− 2 − 2 − − 2 x x x x

x2 −3

Solución (b): *) Asíntotas Verticales: lim

x →4

x2 − 3 x 2 −16

=

13 = 0

y

lim

x → −4

x2 − 3 x2 −16

=

Por tanto: las AV son x =  4 *) Asíntotas Horizontales:

lim

x →+

3 1− 2 1 x2 − 3 x2 − 3 x = lim = lim = lim = = x 2 − 16 x → + x 1 16 x → + x 1 16 x →+ 1 1 16 0 − 2 − 2 − 2 x x x x x2 − 3

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13 = 0

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lim

x →− 

3 1− 2 1 x 2 −3 x 2 −3 x = lim = lim = − lim = − = − 2 →− →−  x →− x x 0 16 9 1 9 x − 16 1− 2 x 1− 2 − x 1− 2 x x x x

x2 −3

Por tanto: No existe asíntotas horizontales *) Asíntotas Oblicuas: y = m x + b

3 1− 2 f (x ) x2−3 x 2−3 x 2−3 1 x m = lim = lim = lim = lim = lim = =1 2 →+  →+ →+  →+  x →+ x x x x x 16 16 16 1 x x − 16 x x 1− 2 x 2 1− 2 1− 2 x x x  x 2 − 3 − x x 2 −16   x 2 −3  b = lim  f (x ) − m x  = lim  − x  = lim   2 x→+  x→+  x x 2 − 16  x − 16  →+     x (x − x 2 − 16)   x (x − x 2 − 16) FR  3 lim lim = lim   − =   2 2 2 x→+  x − 16 x − 16 FR   x→+  x − 16 x→+     x (x 2 − (x 2 − 16))  16 x = lim  =  = xlim 2 x→+  →+  16 x − 16 FR  2  x 1 − 2 ( x + x − 16) x 16 x 16 16 = lim = lim = =0 x→+  16  16  x→+  16  16   2 x 1 − 2 1 + 1 − 2  x 1 − 2 1 + 1 − 2  x  x  x  x  Entonces: y = x

3 1− 2 f (x ) x2−3 x 2−3 x 2− 3 x = − 1 = −1 m = lim = lim = lim = lim = − lim x →+ x →−  x →+ x 1 16 x →+  16 16 x x 2 − 16 x →− x x 1− 2 1− 2 − x 2 1− 2 x x x  x 2 − 3 + x x 2 − 16   x2 − 3  b = lim  f ( x) − m x  = lim  + x  = lim   x→ −  x→ −  x 2 x 2 −16   x −16  → −    x (x + x 2 − 16)   x (x + x 2 − 16)FR 3 lim lim = lim   − =  2 x→ −  x 2 −16 x 2 − 16 FR   x→ −  x − 16 x→+  

  

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 x ( x 2 − ( x 2 −16))  16 x = lim  =  = lim 2 x→−  x→−  16 2 x − 16 FR   − x 1 − 2 ( x − x − 16) x 16 x 16 16 = lim = lim =− =0 →+  x→+  x  16  16  16  16  − x 2 1 − 2 1 + 1− 2  − x 1− 2  1+ 1− 2  x  x  x  x   x ( x + x 2 −16)   x (x + x 2 −16) FR  3 = lim  − lim = lim    x→−  x 2 − 16 x 2 − 16 FR   x→−  x 2 − 16 x→+     x ( x 2 − ( x 2 −16))  16 x lim = lim = =   2 x→−  x − 16 FR  x→−  − x 1 − 16 ( x − x 2 − 16)  x2 16 x 16 16 lim = lim = = − =0 x→+   16  16  x→+  16  16  2 − x 1 − 2 1 + 1− 2  − x 1− 2 1+ 1 − 2  x  x  x  x  Entonces: y = − x Gráfico:

03. En la imagen se observa el contorno de un resorte que se estira por las fuerzas que se le aplican, modelada por la función 𝑓 (𝑡 ) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛( 𝐵𝑡 − 𝐶) , que mide (en metros) la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central, que consideramos el origen, después de t segundos, siempre que el sentido positivo sea considerado hacia arriba.

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CÁ CÁL LCUL CULO OI SSEM EM EMEST EST ESTR RES A ACADÉM CADÉM CADÉMIICO 20 202 21 – 2 _ _ _ __ _____ ___ ______ ___ ______ ___ _____ ___ ______ ___ _____ __ ____ __ ____ __ _____ ___ ______ ___ _____ __ ______ ____ ______ __ _____ ___ ______ ___ ______ ___ _____ __ ____ __ _____ ___ _____ __ _____ ___ _____ __ ____ __ _____ ___ _____ __ _____ ___ ______ ___ ______ ___ ______ ___ ______ ___ _____ __ _____ ___ _____ __ ____ __ _____ ___ ______ ___ _____ __ _____ ___ _____ __ a) [1p] Encuentre el modelo de la vibración del resorte que está trasladada al plano e indique su dominio. b) [2p] Halle e interprete el lim  t→

6

f (t ) 3 − cos ( t) 2

Solución (a): Dada 𝑓(𝑡 ) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑡 + 𝐶), debemos hallar los valores de 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝐴 es la amplitud de la f unción 𝑓(𝑡): Según la imagen vemos que: 𝐴 = 2 Se observa que el punto (0;−1) ∈ 𝑓 → 𝑓(0) = 2 𝑠𝑒𝑛(− 𝐶 ) = −1 → 𝑠𝑒𝑛 (𝐶 ) =

1

2

1

Luego: 𝐶 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (2) =

𝜋

6

Ahora nos f alta hallar B, por la gráfica Podemos ver que la función se repite cada2  , Obteniendo: T = 2   Si T = Por tanto: f ( t ) = 2 sen (t −

Solución (b):

 6

) ; t  0; 2

h →0





2 sen ( t − ) 6 = L = lim  3 t→ 6 − cos (t ) 2 L = lim

2 = 2  B = 1 B

Hacemos: h = t −

2 sen ( h)

 3 − cos ( h + ) 2 6

= lim

h →0

 6

 t = h+

 6

2 sen ( h)

   3  − cos ( h) cos ( ) − sen( h) sen( )  2  6 6 

= lim

h →0

2 sen ( h) 3 3 cos(h) sen (h) − + 2 2 2

3 3 cos(h) sen (h) − + 2 1 3 1− cos( h) 1 3 1− cos ( h) 1 2 2 2 lim lim = lim = + lim = + 0 0 0 0 h h h h → → → → L 2 sen ( h) 4 sen ( h) 4 4 sen ( h) 1 + cos( h)  4

1 3 1 3 1 1 sen 2 ( h) sen ( h) lim lim = + = + = 0+  L = 4 0 0 h h → → 4 1+ cos(h) 4 4 L 4 sen ( h)1+ cos(h) 4 2sen (t − Por tanto: lim  t→

6



) 6 =4 3 − cos ( t) 2

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CÁ CÁL LCUL CULO OI SSEM EM EMEST EST ESTR RES A ACADÉM CADÉM CADÉMIICO 20 202 21 – 2 _ _ _ __ _____ ___ ______ ___ ______ ___ _____ ___ ______ ___ _____ __ ____ __ ____ __ _____ ___ ______ ___ _____ __ ______ ____ ______ __ _____ ___ ______ ___ ______ ___ _____ __ ____ __ _____ ___ _____ __ _____ ___ _____ __ ____ __ _____ ___ _____ __ _____ ___ ______ ___ ______ ___ ______ ___ ______ ___ _____ __ _____ ___ _____ __ ____ __ _____ ___ ______ ___ _____ __ _____ ___ _____ __ Gráficamente: Podemos interpretar que el resorte no suf re una deformación debido a una fuerza externa en su amplitud cuando el tiempo tiende a cero se mantiene 1 metro. 04. Un cable sostenido por dos torres eléctricas tiene f orma parabólica y su punto medio se ubica a 20 metros sobre la carretera. Si la altura de cada torre es de 50 metros y la distancia entre ambas es de 300 metros, entonces a) [2p] Según la información grafique en el plano cartesiano y Modele la ecuación que describe la forma del cable b) [1p] Encuentra la longitud de dos soportes verticales (h), situados de manera que dividan el ancho en cinco espacios iguales. Solución (a):

El cable tiene la forma parabólica y = ax 2 + bx + c

H2

H1

H1

30

H2

90

(0; 20)  y  20 = c  y = ax 2 + bx + 20

(150;50)  y  50 = a (150) + b (150) + 20  30 = 22500 a + 150 b  1 = 750 a + 5 b ...(1) 2

( −150;50)  y 

50 = a ( −150) + b (−150) + 20 2



30 = 22500 a− 150 b



1 = 750 a− 5 b ...(2)

De (1) y (2): 2 = 1500 a  a =

1 ;b=0 750

Por tanto: y =

x2 + 20 750

Solución (b): Reemplazamos 30 2 90 + 20 = + 20 = 23, 6 750 75 2 90 810 + 20 = + 20 = 30,8 (90; h 2 )  y  h 2 = 750 75 (30; h 1)  y  h 1 =

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 x tan     2 

x →1

b) [4p] Empleando propiedades y criterios para calcular límites, Determine el valor deP =

A = lim  →

x

3

1 − 4cos 2( x)



y B = lim x →5

8 sen ( x − ) 3

A ; siendo B

2− x − 1 3

1− 3 − x − 1

Solución (a):

lim (2 − x )

  x tan    2 

x →1

= 1  Hacemos: 1 + u = 2 − x  u = 1 − x

x  lim (1−x ) tan 

1 x →1 x  2   x lim (1−x ) tan  u x →1  2  Calculamos por separado L = lim (1 − x ) tan ( ) u e lim (1 ) + =   u → 0  x →1 2   Hacemos: h = x −1  x = h + 1 h h h cot an ( ) cos ( ) lim cos ( ) x  h h →0 2 = lim 2 2 ) = lim L = − lim (x − 1) tan ( ) = − lim h tan ( + = 0 0 0 x→1 h h h → → → h 1 1  h 2 2 2 sen ( ) sen ( )  2 2 h h lim 2 h → 0 ( h ) 2   x 2 tan x   1 2 L = − lim (x − 1) tan ( ) = = Por tanto: lim (2 − x )  2  = e  → x 1 x→1   2 2

Solución (b): *) Calculamos A:

Hacemos: h = x −

 3

 x =h+

 3

    1 − 4  cos ( ) cos ( h) − sen( ) sen( h)  1 4cos ( ) h − + 2 1 − 4cos ( x) 1 1 3 3   3 A = lim = lim = lim → → 0 0 h h  8 sen( h) sen ( h) x→ 3 8 sen ( x − ) 8 3 2



2

2

1  3 1 − 4  cos ( h) − sen ( h)  2 2 1− cos ( h) − 2 3 sen ( h)cos ( h) + 3 sen ( h)  2 2 1 1   A = lim = lim 8 h →0 8 h →0 sen ( h) sen ( h)

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A=

1 1 3 lim sen ( h) + 2 3 lim cos ( h) − 3 lim sen( h)  = 2 3  = h →0 h →0  8 8  h →0 4

Calculamos B:

B = lim x →5

B = lim x →5

2−

x− 1

1 − 3 − x −1 3

= lim x →5

(4 − ( x −1)) FR D    1 − (3 − x −1) FRN

( x − 5) FR D (2 + x − 1) (4 − (x −1)) FR N

Por tanto: P = −

3

= − lim x →5

= lim

x →5

(5 − x) FR D ( − 2 + x −1) FR N

= lim

x →5

( x − 5) FR D (2 − x − 1) FR N

(1 + 3 − x − 1 + (3 − x − 1) 2 ) (2 + x − 1) 3

(2 + x −1)

3 12

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=−3...