Solucionario S08.s1 - Repaso Examen parcial PDF

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SOLUCIONARIO: MATERIAL DE REPASO EXAMEN PARCIALEJERCICIOS PROPUESTOS1. Dados los vectores ortogonales ��⃗ = (�� + 1, 3�� − 3); ��⃗⃗ = (1 − ��)��⃗ + ����⃗ , con ��∈ℤ. Determine el módulo del vector ��⃗⃗ = (3��, �� + 3). Resolución: Dado que ��⃗ y ��⃗⃗⃗ son ortogonales, entonces: (�� + 1, 3�� − 3). (1...

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SOLUCIONARIO: MATERIAL DE REPASO EXAMEN PARCIAL EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dados los vectores ortogonales  = (𝑥 + 1, 3𝑥 − 3);  = (1 − 𝑥) + 𝑥 Determine el módulo del vector  = (3𝑥, 𝑥 + 3). Resolución: Dado que  y 󰇍 son ortogonales, entonces: (𝑥 + 1, 3𝑥 − 3). (1 − 𝑥, 𝑥) = 0

, con 𝑥∈ℤ.

(𝑥 + 1)(1 − 𝑥 ) + 𝑥(3𝑥 − 3) = 0 (1 − 𝑥 2 ) + 3𝑥 2 − 3𝑥 = 0 2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = 0

𝑥 = , 𝑥 = 1, pero 𝑥∈ℤ 1

2

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑛𝑡𝑜: 𝑥 = 1

Luego: 󰇍 = (3,4)

󰇍 ‖ = √25 = 5 ‖

2. Dada la recta 𝐿1: 3𝑥 + (𝑚 − 1)𝑦 = 7 − 2𝑛 pasa por el punto (3,−1) y que es perpendicular a la recta 𝐿2: 4𝑦 = 𝑥 − 4. Determine los valores de 𝑚 y 𝑛. Resolución: Como la recta 𝐿1 pasa por el punto (3,−1) , entonces: 3(3) + (𝑚 − 1)(−1) = 7 − 2𝑛 9 − 𝑚 + 1 = 7 − 2𝑛

3 = 𝑚 − 2𝑛

Como 𝐿1 es perpendicular a 𝐿2, el producto de sus pendientes es igual a -1.

De 𝐿1 : m1 = −3 𝑚−1 De 𝐿2 : m2 = 1 4

Luego, reemplazamos 4 = 𝑚 en 7

−3 1 ( ) ( ) = −1 𝑚−1 4 3 =1 4𝑚 − 4 3 = 4𝑚 − 4 7 =𝑚 4 3 = 𝑚 − 2𝑛 2𝑛 = 𝑚 − 3 7 2𝑛 = − 3 4 −5 2𝑛 = 4 −5 𝑛= 8

3. Determine si la recta 𝐿1 que pasa por (−1,0,3) y (3,−2,5) y la recta 𝐿2: 𝑃 = (−2,1,0) + 𝑡(4,0, −1) se interceptan o se cruzan. En caso se intercepten, halle el punto de intersección. En caso se crucen, determine la distancia entre dichas rectas Resolución: 𝐿1: 𝑃 = (−1,0,3) + 𝑘(4, −2,2) 𝐿2: 𝑃 = (−2,1,0) + 𝑡(4,0, −1)

Podemos notar que las rectas no son paralelas, dado que sus vectores dirección tampoco lo son; entonces las rectas se cruzan o se interceptan.

−1 1 Para ello calcularemos: [(−1,1, −3). (4, −2,2). (4,0, −1)] = | 4 −2 4 0

Por tanto, las rectas se cruzan.

Luego, podemos hallar la distancia entre dichas rectas:

−3 2 | = −14 −1

𝐿1: 𝑃 = (−1,0,3) + 𝑘(4, −2,2)

𝐿2: 𝑃 = (−2,1,0) + 𝑡(4,0, −1) 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍 󰇍2 = (−1,1, −3) 𝑃 1𝑃

 𝑣× 𝑤 󰇍󰇍 = | 4 4

𝑣 = (4, −2,2)

󰇍 = (4,0, −1) 𝑤

 𝑘 −2 2 4 | ,− | − 2 2 | = (| 0 −1 4 0 −1

𝑑(𝐿1, 𝐿2) =

2 4 |,| −1 4

− 2 |) = (2,12,8) 0

|(−1,1, −3). (2,12,8)| 14 7√53 7 = = = ‖(2,12,8)‖ 53 2√53 √53

4. Determine si las rectas 𝐿1 y 𝐿2 se interceptan o se cruzan. En caso se intercepten, halle el punto de intersección. En caso se crucen, determine la distancia entre dichas rectas

Resolución: De 𝐿1: 𝑃1 = (3, 1, −1) 𝑣1 = (2, −5, 1) De 𝐿2: 𝑃2 = (1, −2, 0) 𝑣2 = (2, 3, −1) Podemos notar que las rectas no son paralelas, dado que sus vectores dirección tampoco lo son; entonces las rectas se cruzan o se interceptan.

−2 Para ello calcularemos: [(−2, −3,1). (2, −5, 1). (2, 3, −1)] = | 2 2

Por tanto, las rectas se cortan.

−3 −5 3

1 1|=0 −1

Luego, podemos hallar el punto de intersección entre dichas rectas. Para ello debemos tener las rectas en su forma paramétrica: 𝑥 = 3 + 2𝑡 𝐿1: {𝑦 = 1 − 5𝑡 𝑧 = −1 + 𝑡

1 − 5𝑡 = −2 + 3𝑟

1 − 5(1 − 𝑟) = −2 + 3𝑟

1 − 5 + 5𝑟 = −2 + 3𝑟 2𝑟 = 2 𝑟=1

𝑡 = 1−𝑟 = 1−1= 0

𝑥 = 1 + 2𝑟 𝐿2: {𝑦 = −2 + 3𝑟 𝑧 = −𝑟 −1 + 𝑡 = −𝑟 𝑡 = 1−𝑟

Luego reemplazamos los valores de r y t en cualquiera de las ecuaciones paramétricas y obtenemos el punto de intersección P entre dichas rectas. Por lo tanto el punto P es (3,1,-1). 5. Hallar un punto simétrico a 𝑃(2,1,−1) respecto a la recta Resolución:

Paso 1: Determinamos la ecuación del plano 𝜋 que contiene al punto P y es perpendicular a la recta 𝐿1 , por tanto, el vector dirección de la recta va a ser la normal del plano. 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 1 5𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 + 𝐷 = 0 2 Como el punto P(2,1,−1) pertenece al plano, entonces:

Luego, la ecuación del plano es:

1 5(2) − 4(1) + (−1) + 𝐷 = 0 2 11 𝐷=− 2 5𝑥 − 4𝑦 +

1 11 =0 𝑧− 2 2

Paso 2: Calculamos las coordenadas del punto I: intersección del plano 𝜋 con la recta 𝐿1 . Como el punto I pertenece a la 𝐿1 , sus coordenadas satisfacen la ecuación de la recta: 𝑥 = 2 + 5𝑡 𝑦 = 2 − 4𝑡 1 𝑧=2+ 𝑡 2 A su vez, también deben satisfacer la ecuación del plano: 1 11 1 =0 5(2 + 5𝑡) − 4(2 − 4𝑡) + (2 + 𝑡) − 2 2 2 10 + 25𝑡 − 8 + 16𝑡 + 1 +

11 1 =0 𝑡− 2 4

165 5 𝑡− =0 2 4

Luego:

𝑡=

2 33

𝑥 = 2 + 5(

2

76 33 )= 33 2 𝑦 = 2 − 4 ( ) = 58 33 33 67 1 2 𝑧=2+ ( )= 33 2 33

Por tanto, el punto I = ( 33 , 33 , ) 76 58 67 33

Paso 3: Determinamos las coordenadas del punto 𝑃′ (I es el punto medio de P y su simétrico 𝑃′ ). 𝑃 + 𝑃′ 𝐼= 2 2(

2𝐼 − 𝑃 = 𝑃 ′

76 58 67 , , ) − (2,1, −1) = 𝑃 ′ 33 33 33 (

86 83 167 ) = 𝑃′ , , 33 33 33

6. Determine la ecuación paramétrica de la recta que pasa por 𝐴(5,1,−1) e intercepta en un ángulo recto a la recta 𝐿1 :

Resolución:

𝑥+2 2

=

=

𝑦−3 −1

𝑧+2 5

Sea B el punto de intersección entre las rectas y dado que ambas son perpendiculares, entonces: 󰇍𝐵𝐴 󰇍󰇍󰇍 . (2, −1,5) = 0

(5 − 𝑥, 1 − 𝑦, −1 − 𝑧). (2, −1,5) = 0

2(5 − 𝑥 ) − 1(1 − 𝑦) + 5(−1 − 𝑧) = 0 4 = 2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧

Ahora escribimos la ecuación de la recta 𝐿1 en su forma paramétrica para poder obtener x, y, z en función de un parámetro y así poder reemplazar en la ecuación 4 = 2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 Luego, reemplazamos en: 4 = 2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧

𝑥 = −2 + 2𝑡 𝐿1: { 𝑦 = 3 − 𝑡 𝑧 = −2 + 5𝑡

4 = 2(−2 + 2𝑡) − (3 − 𝑡) + 5(−2 + 5𝑡) Entonces:

𝑥 = −2 + 2 ( 10) = −3/5

7/10 = 𝑡

7

7 󰇍󰇍󰇍󰇍 = (5 − 𝑥, 1 − 𝑦, −1 − 𝑧) = (5 + 3 , 1 − 23 , −1 − 3) = (28 , −13, −5 ) 𝑦 = 3 − ( 10) = 23/10 → 𝐵𝐴 10 5 2 5 10 2

𝑧 = −2 + 5 ( ) = 3/2 7

10

Tenemos: 𝐿2: A(5,1, −1)

󰇍𝐵𝐴 󰇍󰇍󰇍 = (28 , −13, −5 ) 5 10 2

Por lo tanto: 𝐿2:

28 𝑡 5 13 − 10 𝑡 5

𝑥 = 5+

𝑦=1

𝑧 = −1 − 𝑡 { 2

7. Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos 𝐴(1,−3,2) y 𝐵(0,1,1) y es paralelo a la recta 𝐿2:{3𝑥−2𝑦+1=0 2𝑥+3𝑧−3=0. Resolución:

3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 2𝑥 + 3𝑧 − 3 = 0

Vamos a parametrizar la ecuación, asignándole a 𝑥 = 𝑡 , entonces: 3𝑡 − 2𝑦 + 1 = 0 →

Obtenemos:

2𝑡 + 3𝑧 − 3 = 0 → 𝑥=𝑡

3 1 𝑡+ =𝑦 2 2

−2 𝑡+1 =𝑧 3

3 −2 ) 2 3

De donde el vector dirección 𝑣 es (1, ,

A(1, −3,2) 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 Para el plano tenemos:{𝐴𝐵 = (−1,4, −1) 3 −2 𝑣 = (1, , ) 2

3

Calculamos el vector normal del plano  −1 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐴𝐵 × 𝑣 = | 1

Luego:

 4 3 2

1

3𝑡 +2 2 2 𝑧 = 1 − 3𝑡

𝑦=

𝑘 4 −1 3 | = (| −2 2 3

−1 −1 −2 | , − | 1 3

− 1 −1 −2| , | 1 3

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0

−7 5 11 𝑧+𝐷= 0 𝑥− 𝑦− 2 6 3

4 −7 5 11 3|) = ( , − , − ) 6 3 2 2

Como A(1, −3,2) pertenece al plano: 5 11 −7 (2) + 𝐷 = 0 (1) − (−3) − 2 6 3 𝐷=

Por lo tanto, la ecuación del plano es:

43 6

5 11 43 −7 𝑥− 𝑦− 𝑧+ =0 6 3 2 6

𝜋: 7𝑥 + 10𝑦 + 33𝑧 − 43 = 0

8. Hallar la ecuación general del plano que pasa por los puntos (0,−2,5) y (−1,3,1) y es perpendicular al plano 2𝑧 = 5𝑥 + 4𝑦. Resolución:

, para lo cual hallaremos el producto vectorial Para hallar la ecuación del plano 𝜋2 necesitamos 𝑛 󰇍󰇍󰇍󰇍2 󰇍󰇍󰇍 , donde 𝑛 󰇍󰇍𝑛󰇍1 × 󰇍𝐴𝐵 󰇍󰇍1 es el vector normal del plano 𝜋1 . 󰇍󰇍󰇍󰇍1 = (5,4, −2) 𝑛

󰇍𝐴𝐵 󰇍󰇍󰇍 = (−1,5, −4)

 󰇍󰇍󰇍󰇍 = | 5 󰇍󰇍󰇍󰇍2 = 󰇍󰇍𝑛󰇍󰇍1 × 𝐴𝐵 𝑛 −1

 𝑘 4 4 − 2 | = (| 5 5 −4

−2 5 |,−| −1 −4

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0

Luego:

− 2 | , |5 − 4 −1

4 |) = (−6 ,22, 29 ) 5

−6𝑥 + 22𝑦 + 29𝑧 + 𝐷 = 0

Como (0,−2,5) pertenece al plano 𝜋2 : −6(0) + 22(−2) + 29(5) + 𝐷 = 0 𝐷 = −101

Por lo tanto, la ecuación del plano 𝜋2 es: −6𝑥 + 22𝑦 + 29𝑧 − 101 = 0 6𝑥 − 22𝑦 − 29𝑧 + 101 = 0

9. Si la base de un tetraedro es un triángulo de vértices (1,2,1), 𝑆(−4,2,−1) y 𝑇(−5,5,3); Hallar la longitud de la altura del tetraedro trazada desde el vértice 𝐷(4,2,−3) a la base. Resolución:

Primero, vamos a determinar la ecuación del plano determinado por los puntos R, S y T. Para ello 󰇍󰇍󰇍 × 󰇍𝑇 󰇍󰇍󰇍 . necesitamos la normal al plano, la cual podemos hallar efectuando el producto vectorial 𝑛󰇍 = 󰇍𝑆 󰇍󰇍󰇍 × 𝑇 󰇍󰇍󰇍󰇍 = |−5 𝑛󰇍 = 󰇍𝑆

Luego:



−6

Como R(1,2,1) pertenece al plano :

 0

𝑘 0 − 2 | = (| 3 3 2

−2 −5 |,−| 2 −6

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0

6𝑥 + 22𝑦 − 15𝑧 + 𝐷 = 0

− 2 −5 |,| 2 −6

0 |) = (6 ,22, −15) 3

6(1) + 22(2) − 15(1) + 𝐷 = 0 Por lo tanto, la ecuación del plano es:

𝐷 = −35

6𝑥 + 22𝑦 − 15𝑧 − 35 = 0

Por último, utilizaremos la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

Con 𝐷(4,2,−3) y plano 6𝑥 + 22𝑦 − 15𝑧 − 35 = 0

78√745 |6(4) + 22(2) − 15(−3) − 35| 78√745 = = 𝑢 745 √745√745 √62 + 222 + (−15)2

Rpta: la longitud de la altura del tetraedro trazada desde el vértice 𝐷(4,2,−3) a la base es

78√745 745

𝑢

10. Hallar la ecuación del plano que es paralelo al plano 𝑃: 𝑥−3𝑦+5𝑧=8 y que está a 3 unidades del origen. Resolución:

Del gráfico podemos obtener:

𝑃′ : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0

𝑃′ : 1𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 + 𝐷 = 0

Dato del problema: el plano buscado está a 3 unidades del origen (0,0,0). Utilizaremos la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

|1(0) − 3(0) + 5(0) + 𝐷| √12 + (−3)2 + 52 |𝐷|

√35

Por lo tanto:

=3

=3

𝐷 = 3√35 ∨ 𝐷 = −3√35

𝑃′ : 𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 + 3√35 = 0

𝑃′ : 𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 − 3√35 = 0...