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BIOESTATÍSTICA

PROBLEMAS PARA AS AULAS PRÁTICAS Ano Lectivo 2016/2017

Problema nº 1 Registou-se o número de colónias de bactérias existentes por cm2 numa placa de Petri com 100 cm2 de área, tendo-se obtido os seguintes resultados: Nº de colónias de bactérias Frequência

0 15

1 25

2 30

3 18

4 10

5 2

a) Determine as seguintes características amostrais: moda, média, mediana, quartis e desvio padrão. b) Represente graficamente os dados através de um diagrama de barras. Problema nº 2 Com o objectivo de estudar a taxa de colesterol total sérico foram analisados, por um método enzimático, os soros de 54 voluntários, não remunerados e gozando de boa saúde, extraídos aleatoriamente da população de alunos da Faculdade de Farmácia de Lisboa. Os resultados obtidos (em mg/dl), já ordenados, são os seguintes: 150 153 158 158 160 160

170 170 175 179 180 180

180 183 190 195 200 200

200 201 203 210 210 211

212 213 215 218 220 220

220 222 227 230 230 231

234 235 235 235 237 240

240 240 241 245 245 246

247 247 249 249 250 250

a) Calcule a média, a mediana, o quantil Q1/3 e todas as medidas de dispersão. b) Construa uma tabela de frequências absolutas e relativas e de frequências acumuladas. c) Represente os dados por meio de um histograma. d) Construa a box-plot correspondente a esta amostra.

Problema nº 3 Na tabela seguinte estão representados os pesos (em decagramas) de tumores malignos extraídos do abdómen de 57 indivíduos. 68 43 49 49 36 42

50 30 22 45 69 51

65 32 27 30 36 31

46 27 25 24 44 23

12 43 27 51 27 19

79 28 16 12 25 22

42 74 42 23 32 31

21 49 24 57 63 25

a) Represente os dados com recurso a um diagrama de caule-e-folhas. b) Construa a box-plot correspondente a esta amostra.

Página nº1

38 28 28 28 38 43

23 12 47

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PROBLEMAS PARA AS AULAS PRÁTICAS Ano Lectivo 2016/2017

Problema nº 4 Os dados seguintes foram recolhidos durante uma experiência laboratorial em que cobaias foram inoculadas com um determinado agente patogénico. As variáveis em estudo são o tempo (em horas) decorrido após a inoculação e a temperatura (média) dos animais envolvidos (em graus Celsius). Tempo (x) 32 36 40 44 48 52 56 60 Temperatura (y) 40.3 40.7 41.0 41.1 41.4 41.6 41.8 41.9 a) Construa um diagrama de dispersão para representação dos dados. b) Se lhe parece existir uma relação linear entre a temperatura e o tempo decorrido após a inoculação, no intervalo temporal considerado, ajuste uma recta aos dados. c) Obtenha e comente o valor do coeficiente de correlação de Pearson. Determine r2 e explique o seu significado. d) Obtenha o valor da temperatura, 38 horas após a inoculação, predito pela recta. e) Suponha que, por lapso, foram omitidos os valores da temperatura registada às 24h (38.8⁰C) e às 28h (39.5⁰C). Construa um novo diagrama de dispersão com todos os dados agora disponíveis. Diga qual é a sua resposta à questão colocada em b). Problema nº 5 Sabendo que P(A) = 2/3 , P(B) = 1/2 e P( A  B ) = 1/3, determine: P(A – B), P( A  B ), P(A  B ), P( A  B ), P( A B ), P( A  B ). Problema nº 6 Sendo P(A) = 0.5 e P( A  B ) = 0.7, determine P(B) considerando que: a) Os acontecimentos A e B são independentes. b) Os acontecimentos A e B são mutuamente exclusivos. Problema nº 7 Uma clínica dispõe dos registos de 500 doentes a partir dos quais foram obtidas as seguintes percentagens relativamente à incidência das seguintes doenças: Artrite reumatoide (R), Asma (A) e Cirrose (C): R

A

C

ReC

AeC

ReA

ReAeC

60%

40%

10%

4%

6%

4%

2%

Qual a probabilidade de que um doente dessa clínica, escolhido ao acaso, sofra: a) das doenças A ou R b) somente de R e C d) de pelo menos uma das doenças e) de nenhuma delas.

Página nº2

c) somente de C

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Problema nº 8 Estudos epidemiológicos realizados numa certa região permitem afirmar que 25% dos indivíduos são hipertensos; sabe-se também que a prevalência da diabetes tipo 2 é igual a 10%. Além disso, entre os indivíduos diabéticos, 85% são hipertensos. a) Os acontecimentos “um indivíduo ser hipertenso” e “um indivíduo ser diabético” são disjuntos? São independentes? b) Determine a probabilidade de um indivíduo hipertenso ser diabético. c) Escolhido um indivíduo ao acaso naquela população e sabendo que não é diabético, determine a probabilidade de que o indivíduo seja hipertenso. Problema nº 9 Muitas mulheres fazem o teste de gravidez assim que há uma falha no período menstrual. Nessa altura precoce, a probabilidade de o diagnóstico ser correcto se estiver de facto grávida, P(+|G), é de 0.983, e no caso de não estar grávida, P(  | G ), é 0.988. Sabe-se que a falha do período menstrual apenas em 12% dos casos corresponde de facto a gravidez, em 1.5% dos casos deve-se a alterações de saúde que requerem vigilância médica e em 86.5% dos casos são meros atrasos sem qualquer significado. a) Qual é a probabilidade de obter resposta positiva no teste precoce de gravidez? b) Determine a probabilidade de, nessa fase precoce, um resultado positivo corresponder a gravidez. c) Se o resultado for negativo, nessa fase, qual é a probabilidade de afinal essa senhora estar grávida? Problema nº 10 Foi aperfeiçoado um teste para diagnosticar uma certa doença rara; o teste é capaz de diagnosticar a doença em 97% dos casos em que os indivíduos têm esta doença. Quando o mesmo teste é aplicado a indivíduos saudáveis, 5% deles são incorrectamente diagnosticados como tendo a doença. Quando é aplicado a indivíduos que têm outras doenças menos graves, o resultado é incorrecto em 10% dos casos. Sabe-se que as percentagens dos três tipos de indivíduos na população são 1%, 96% e 3%, respectivamente. Considere um indivíduo que foi seleccionado aleatoriamente na população e submetido ao teste. a) Calcule a probabilidade de que o indivíduo tenha realmente a doença, se o teste assim o indica. b) Se o teste der resultado negativo, determine a probabilidade de que o indivíduo não sofra dessa doença. Problema nº 11 Os testes tradicionais para diagnosticar o cancro da próstata dão origem a uma grande percentagem de falsos positivos, conduzindo a um elevado número de biópsias desnecessárias. Catalona et al. (1995) desenvolveram um teste ao sangue para melhorar

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este tipo de diagnóstico, o qual se baseia na percentagem de PSA (antigénio específico da próstata) livre. Este novo teste foi aplicado em 113 pacientes, com pelo menos 50 anos, os quais apresentavam uma concentração de PSA total acima dos limites normais. Através de um teste de referência (gold standard) sabe-se que dos 113 pacientes, 50 têm cancro da próstata. Os resultados da aplicação do novo teste são expressos da seguinte forma: T  , se a percentagem de PSA livre é menor ou igual a 20.3; T  , caso contrário. Os resultados obtidos encontram-se na tabela seguinte: Teste de Diagnóstico

  Negativo  T  Positivo T Total

Teste de Referência Tem doença Não tem doença



45

39



5 50

24 63

a) Determine a sensibilidade e a especificidade do novo teste. Comente os valores obtidos. b) Numa população de homens com pelo menos 50 anos, em que a prevalência de cancro da próstata é igual a 0.02, determine os valores preditivos do novo teste. Problema nº 12 Um teste para detectar a presença do VIH é usado numa população que está em risco elevado de contrair a infecção. Admite-se que 10% dos indivíduos dessa população são VIH positivos. O teste fornece um resultado positivo em 90% dos casos de pessoas que são VIH positivas e dá resultado negativo em 85% dos casos de pessoas que não são VIH positivas. a) Determine a percentagem de falsos positivos e a percentagem de falsos negativos que estão associadas a este teste. b) Suponha que, num determinado hospital onde são realizados os testes de detecção do VIH acima mencionados, o teste deu resultado negativo a vinte indivíduos no último mês. Qual é a probabilidade de que, no máximo, dois deles sejam VIH positivos? Problema nº 13 Com base na quantidade de vacinas vendidas anualmente, supõe-se que 16% dos Portugueses tomam a vacina contra a gripe. Durante um surto epidémico, a probabilidade de que um indivíduo vacinado não seja contagiado é de 0.99; um indivíduo não vacinado é contagiado com uma probabilidade igual a 0.18. Numa amostra de 30 indivíduos escolhidos ao acaso, admitindo-se que o que se passa com qualquer um dos indivíduos não é informativo sobre o que se passa com qualquer outro no que se refere à vacinação e susceptibilidade à gripe, calcule: a) A probabilidade de que mais do que dois indivíduos tenham sido vacinados. b) O valor médio e o desvio padrão do número de indivíduos contagiados durante um surto epidémico de gripe.

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Problema nº 14 Seja X a v.a. que representa a procura diária (em nº de embalagens) de determinado medicamento numa certa farmácia. A função massa de probabilidade de X é dada por: xi

0

1

2

3

4

P(X= xi)

0.05

a

b

0.35

0.25

a) Sabendo que o valor médio da procura diária do medicamento é 2.55, calcule a e b. b) Determine a variância da procura diária do medicamento. c) Seja Y = -2X+1. Determine o valor médio e a variância da v.a. Y. Problema nº 15 Admita que o número de doentes que chegam, por hora, ao serviço de urgência de um hospital segue uma distribuição de Poisson e chegam, em média, 3 doentes por hora. a) Determine a probabilidade de que, numa hora, (i) não chegue nenhum doente (ii) cheguem, pelo menos, 3 doentes. b) Determine o número esperado de doentes que chegam à urgência em cinco horas. Justifique a sua resposta. c) Determine a probabilidade de que, das 8h às 18h, haja dois períodos de uma hora em que não chegam doentes à urgência. Problema nº 16 Um fármaco recentemente colocado no mercado português é comercializado em embalagens de 100 comprimidos. Sabe-se que a probabilidade de encontrar um comprimido defeituoso é de 0.002. Determine o valor exacto e o valor aproximado da probabilidade de, numa embalagem comprada em qualquer farmácia, encontrar: a) Dois comprimidos defeituosos. b) Nenhum comprimido defeituoso. c) Pelo menos 98 comprimidos sem defeito. Problema nº 17 O tempo de recuperação de um doente asmático, após inalação de um fármaco em fase experimental, tem distribuição uniforme entre 0 e 5 minutos. a) Qual é a probabilidade de o doente não recuperar nos próximos 45 segundos? b) Determine a probabilidade de o tempo de recuperação ser superior a 2 minutos, sabendo que não excede 3.5 minutos. c) Qual é o tempo médio de recuperação para aquele tipo de doente? Problema nº 18 Admita que o peso (em kg) dos estudantes do sexo masculino de uma determinada faculdade é bem modelado por uma distribuição Gaussiana, com valor médio 75.5 kg e desvio padrão 7.5 kg. Foi escolhido um estudante ao acaso. Qual é a probabilidade de o estudante pesar Página nº5

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PROBLEMAS PARA AS AULAS PRÁTICAS Ano Lectivo 2016/2017

a) b) c) d)

Menos do que 77.5 kg? Entre 60 e 77.5 kg? Mais do que 92.5 kg? Menos do que 45 kg?

Determine o percentil 80 desta distribuição, i.e., o quantil de probabilidade 0.80. Problema nº 19 Admite-se que o nível de glicose no sangue dos diabéticos em hiperglicémia é uma v.a. com distribuição normal de valor médio 106mg/dl e desvio padrão 8mg/dl. a) Determine a probabilidade de que um diabético desse tipo, seleccionado aleatoriamente, apresente um nível de glicose entre 90mg/dl e 120mg/dl. b) Determine o nível de glicose abaixo do qual se situam 25% dos diabéticos. c) Considera preocupante que o nível de glicose de um diabético seja superior a 130mg/dl? d) Qual a probabilidade de, numa amostra de 9 diabéticos em hiperglicémia, a média amostral do nível de glicose estar entre 100mg/dl e 110mg/dl? e) Foram seleccionados aleatoriamente 50 diabéticos em hiperglicémia. Determine um valor aproximado da probabilidade de que mais de 35 desses indivíduos tenham nível de glicose superior a 100mg/dl. Problema nº 20 Os dados seguintes correspondem aos valores da albumina de 16 indivíduos saudáveis: 2.4 4.0

4.5 2.6

3.5 3.5

3.9 3.2

2.9 4.2

3.1 3.0

3.4 4.0

3.5 3.8

Obtenha intervalos de 90% e de 95% de confiança para o valor médio da albumina e compare as respectivas margens de erro. Admita que os dados provêm de uma população normal. Problema nº 21 A partir de uma amostra de dimensão 12, proveniente de uma população com distribuição normal, obteve-se como intervalo de 95% de confiança para o valor médio o intervalo (2.2,3.5). Qual é a média da amostra e qual é o seu desvio padrão? Problema nº 22 Com o objectivo de estudar a incidência do vírus da hepatite B na população médica e paramédica, foi feito um rastreio a 100 funcionários de vários hospitais que contactam usualmente com sangue e seus derivados. Encontraram-se 23 indivíduos cujo resultado deu positivo. a) Obtenha um intervalo de 99% de confiança para a proporção de indivíduos contagiados com o vírus da hepatite B na população considerada. b) Ao nível de significância  = 0.01, podemos concluir que a percentagem de indivíduos contagiados na população considerada é inferior a 25%?

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PROBLEMAS PARA AS AULAS PRÁTICAS Ano Lectivo 2016/2017

Problema nº 23 Retomando o problema da taxa de colesterol total sérico em estudantes da Faculdade de Farmácia, a) Determine um intervalo de 95% de confiança para o valor médio. b) Teste a hipótese de que o valor médio é igual a 200 mg/dl, ao nível de significância  = 0.05. Compare a sua resposta com a conclusão que pode ser obtida a partir do intervalo de confiança da alínea a) e comente. Problema nº 24 Mediu-se os níveis de estrona em 35 mulheres na fase de pós-menopausa. A média e o desvio padrão amostrais são 73 pg/ml e 16 pg/ml, respectivamente. Ao nível de significância  = 0.05, há evidência para afirmar que o nível médio de estrona nas mulheres na fase de pós-menopausa é superior a 70 pg/ml? Admita que os dados provêm de uma população gaussiana. Problema nº 25 Num estudo realizado para comparar a estreptoquinase com o medicamento habitual no tratamento de pacientes do sexo masculino que foram hospitalizados após um enfarte do miocárdio, consideraram-se dois grupos de pacientes: a um grupo foi administrada a dita substância e ao outro grupo (de controlo) foi dado o medicamento habitual. Verificou-se que 9 dos 200 pacientes que tomaram estreptoquinase e 13 dos 100 pacientes do grupo de controlo morreram no período de um ano após o enfarte do miocárdio. Averigúe se existe evidência de que a estreptoquinase é melhor que o medicamento habitual, ao nível de significância  = 0.05. Problema nº 26 Um técnico do Centro de Saúde de determinada região, interessado em averiguar se a artrite reumatóide atinge igualmente homens e mulheres, recolheu duas amostras aleatórias de indivíduos de ambos os sexos com mais de 65 anos, verificando que 411 dos 1012 homens e 535 das 1062 mulheres inquiridas sofriam daquele tipo de artrite. Pretende-se então averiguar se existem diferenças significativas entre homens e mulheres no que respeita a esta doença. a) Efectue o teste de hipóteses adequado, ao nível de significância  = 0.05. b) Obtenha um intervalo de 95% de confiança que permita responder à questão colocada. Qual a relação entre as conclusões a que chegou na alínea anterior e com base no intervalo agora obtido? Justifique a sua resposta. Problema nº 27 Realizou-se um estudo com o objectivo de comparar os valores da amilase sérica de indivíduos saudáveis e de indivíduos hospitalizados com um determinado sintoma. Foram então registados os valores da amilase sérica, medidos (em unidades/l) a 15 indivíduos saudáveis e a 22 indivíduos hospitalizados. Na tabela seguinte encontra-se um resumo dos resultados obtidos.

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PROBLEMAS PARA AS AULAS PRÁTICAS Ano Lectivo 2016/2017

Características Amostrais Média Desvio Padrão

Ind. hospitalizados 120 40

Ind. saudáveis 96 35

Admita que os dados provêm de populações normais e homocedásticas. Averigúe, ao nível de significância  = 0.05, se há evidência de que, em média, os valores da amilase sérica de indivíduos saudáveis e de indivíduos hospitalizados com esse sintoma diferem significativamente. Problema nº 28 Num estudo sobre dois medicamentos antidepressivos, mediu-se a concentração sérica de dopamina (em micro-gramas/cm3 de sangue) a cada um dos 16 doentes envolvidos no estudo, 15 minutos após tomarem o medicamento que lhes foi atribuído. De acordo com o protocolo experimental, os doentes tinham sido distribuídos aleatoriamente por dois grupos de 8 doentes cada e a cada grupo fora atribuído aleatoriamente um medicamento. Obtiveram-se os seguintes resultados:

medicamento experimental medicamento usual

média

variância amostral

36.8 30.1

57.9 49.2

Admita que os dados provêm de populações normais. a) Averigúe se há razão para duvidar da hipótese de homocedasticidade das populações, fazendo um teste de hipóteses apropriado, ao nível de significância  = 0.05. b) Há evidência para afirmar que o efeito do medicamento experimental é superior ao efeito do medicamento usual no que respeita à concentração sérica de dopamina? Tire conclusões ao nível de significância  = 0.05. Problema nº 29 Na seguinte tabela registam-se os valores da oxidase de monoamina (nmol/108 plaquetas/hora) de esquizofrénicos com diversos graus de distúrbios comportamentais . Esquizofrénicos indiferenciados (1) 4.1 5.2 6.8 7.3 7.4 7.8 7.8 8.4 9.7

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Esquizofrénicos com comportamento paranóide (2) 1.5 3.1 3.1 3.7 4.3 4.3 5.2 6.8 7.3

Esquizofrénicos paranóicos (3) 1.2 1.8 2.3 2.4 4.4 4.6 5.8 6.3 6.7

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PROBLEMAS PARA AS AULAS PRÁTICAS Ano Lectivo 2016/2017 9.7 9.9 10.7 10.8 11.9 12.3 14.2 14.5

7.4 7.7 7.8 8.6 10.1 10.6

6.8 9.3

Admita que os dados provêm de populações gaussianas e homocedásticas. a) Construa um intervalo de 95% de confiança para o valor médio da população da qual a amostra (1) foi obtida. Obtenha um intervalo de 95% de confiança para o desvio padrão da mesma população. b) Considere apenas as amostras (2) e (3). Com base na informação fornecida, construa um intervalo de 90% de confiança para a diferença entre os valores médios das duas populações. O que pode concluir a partir do intervalo obtido? Problema nº 30 Considere duas amostras independentes das populações X 1  N ( 1, 1 ) e X 2  N ( 2 ,  2 ) , respectivamente, de valores de um índice de tonicidade muscular, medido na região média do bíceps do braço esquerdo (que se toma como representativa da tonicidade muscular em geral) de indivíduos destros, 15 minutos após tomarem um comprimido que, na população X1 é de uma dose padrão de efedrina e cafeína, e na população X2 é um placebo. As dimensões das amostras das populações X1 e X2 são iguais a 13 e 9, respectivamente. A informação contida nessas amostras é resumida através das respectivas médias e variâncias amostrais:

x1  76.12, s12  17.66, x2  69.38, s22 ...