Exos Mathématiques L1 PDF

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Exercices de mathématiques...

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Licence 1 Sciences de la Vie

Outils math´ ematiques - 2020 2021

´ ´ 1 - NOMBRES REELS, FONCTIONS USUELLES, ETUDE DES FONCTIONS Exercice 1. R´esoudre dans R les in´equations suivantes et repr´esenter l’ensemble des solutions sur la droite r´eelle 6(x + 1) < x − 3 ;

2 x+3 4x + 7 < 3x − 1 ; ≥ 8 ; > 0 ; x2 + 2x + 3 ≥ 0 ; x2 − 2x + 1 ≤ 0. 5 x x+2

Exercice 2. R´esoudre dans R les in´equations suivantes |x − 3| ≤ 2 ; |x − 4| ≥ 3 ; |x + 5| > 2 ; |3x + 6| < 3 ; |2x + 3| ≤ 4x. Exercice 3. Simplifier puis calculer sans exposants : (a) (d)

104 × 33 9 × 16 × 25

22 × 33 × 44 (2 + 3)(4 + 5) (c) 66 52 × 32 r 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 4+5 (e) (f ) 2 2+3 2+3+4 7+9 5 ×3 ×2 (b)

108 × 1000 5 × 5 × 25 × 1000000 × 64

Exercice 4. Simplifier puis calculer : (a)

 1 −3/2 49

(d) (0.64)−0.5

 32 −2/5  1 −0.8 (c) 243 32  27 2/3 √ (f ) 7 0.0078125 (e) 64

(b)

Exercice 5. Simplifier les expressions : √ 2 √ √ p 3 5 5 4 4 8 F = p√ 3 2

√ √ √ 4 5 3 2 643 85 √ E= √ √ 3 5 16 164 20 2048 Exercice 6.

1. On se donne deux r´eels a, b > 0. Simplifier le plus possible l’expression X suivante : √ a3 b7 X= √ 1 . b (a6 b9 ) 3 2. On se donne deux r´eels a, b > 0. Simplifier le plus possible l’expression Y suivante : √    b − 3 log10 (a) − a + log10 (10a) . Y = log10 a3 b4 − 8 log10 Exercice 7.  10 1. Trouver l’exposant entier n tel que 10n = 1010 (1010)10 (1010 )10 .  10 1010 (1010 )10 (1010)10  2. Calculer A =  10 √  10  (103 ) . On ´ecrira le nombre sans fractions ou op´erations. 10 100555 (2−1 ) 50

3. On utilise le logarithme en base 10. On pose T = 10 milliards. Calculer S = log10 (T ), puis R = log10 (S).

1

Exercice 8. L’effectif d’une population, sous certaines conditions, peut ˆetre mod´elis´e a` l’aide d’une fonction exponentielle. Si y0 > 0 est ´egal `a l’effectif a` l’instant t0 et r > 0 est le “taux de reproduction logarithmique”, alors `a l’instant t l’effectif peut ˆetre estim´e par y(t) = y0 ert . 1. Quelle est la relation entre z(t) = ln(y(t)) et la variable t ? Que repr´esente-t-il le param`etre r dans cette relation ? 2. Calculer, en fonction de r, le temps td tel que y(t + td ) = 2y(t). Si r = 0, 1665, calculer la valeur de td . Interpr´eter ce r´esultat. Exercice 9. (1) Dans un rep`ere orthonom´e (O; ~i, ~j), tracer les graphes des fonctions suivantes: (a) x 7→ x2 (b) x 7→ x3 (c) x 7→ x−1 (d ) x 7→ x−2 1/4 −1/2 (e) x → 7 x (f ) x → 7 x (g) x 7→ x4/3 (h) x → 7 x−2/3 (2) Calculer les d´eriv´ees des fonctions pr´ec´edentes, puis ´ecrire les ´equations des tangentes aux courbes repr´esentant les fonctions au point d’abscisse x = 1. Tracer ces tangentes. Exercice 10. D´eterminer pour quelles valeurs de x dans R les expressions suivantes sont d´efinies, puis les ´ecrire avec un seul ln : ln(x2 − 1) − ln(x + 1),

ln(x + 2) + ln(x − 2),

ln(x2 + 2x + 1) − ln(x + 1).

Dans les exercices suivants (11 `a 16), ´etudier une fonction f consiste a ` a) D´eterminer le domaine de d´ efinition (si ce n’est pas pr´ ecis´ e) ; b) Calculer f ′ (x) (en rappelant pourquoi la d´ eriv´ ee existe) ; c) D´eterminer le signe de f ′ (x) ;

Exercice 11.

d) Calculer les limites de f aux bornes du domaine de d´ efinition ; e) Donner le tableau de variations de f ; f) D´ essiner le graphe de la fonction.

On pose pour x > 0, f (x) = x +

1 ´ . Etudier f . Donner l’´equation et dessiner x

les tangentes aux points d’abscisse x = 1 et x = 2. 48 ´ Exercice 12. Etudier . la fonction x 7→ x3 + x 1 ´ Exercice 13. Etudier la fonction x 7→ x + ln(x) + . x 4 ´ Exercice 14. On pose pour x > 0 : f (x) = x + 2 . Etudier f . Donner l’´equation de la x tangente en x = 1 et en x = 2. 1 Exercice 15. Etudier la fonction f de R∗+ dans R d´efinie par x 7→ f (x) = x1/3 + 1/3 . x Montrer que le graphe de f admet un point d’inflexion dont on calculera les coordonn´ees. (Un point d’inflexion est un point du graphe pour lequel la d´eriv´ee seconde s’annule et change de signe.) 1 ´ la fonction f de R∗+ dans R d´efinie par x 7→ f (x) = x + √ . Exercice 16. Etudier x Indication : Pour d´eterminer le signe de la d´eriv´ee de f , on pourra ´etudier la fonction √ g : x 7→ g(x) = 2x x − 1. 2...