EXPERIMENTACIÓN FÍSICA I EXPERIMENTOS DE FÍSICA I LABORATORIO DE FÍSICA FUNDAMENTAL I PDF

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U n iversid ad d el V alle EXPERIMENTACIÓN FÍSICA I EXPERIMENTOS DE FÍSICA I LABORATORIO DE FÍSICA FUNDAMENTAL I Guías de prácticas DEPARTAMENTO DE FÍSICA UNIVERSIDAD DEL VALLE Febrero 2 007 Contenido pág. A. La calidad del dato en física experimental y su interpretación en la toma de decisiones…………...

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U n iversid ad d el V alle

EXPERIMENTACIÓN FÍSICA I EXPERIMENTOS DE FÍSICA I LABORATORIO DE FÍSICA FUNDAMENTAL I

Guías de prácticas

DEPARTAMENTO DE FÍSICA UNIVERSIDAD DEL VALLE

Febrero 2 007

Contenido A.

pág. La calidad del dato en física experimental y su interpretación en la toma de decisiones……………………………………………………………….……….….1 A.1. A.2. A.3. A.4. A.5. A.6. A.7. A.8. A.9. A.10. A.11. A.12. A.13. A.14. A.15. A.16. A.17. A.18. A.19. A.20.

Objetivo……………………………………………………………..………………………...1 Introducción…………………………………………………………………….……………1 Medición………………………………………………………………………………………1 Cálculo de errores…………………………………………………………….……..……...1 Cómo expresar un resultado…………………………………………………….………..2 Propagación de incertidumbres……………………………………………….…………3 Fundamentos del análisis de datos experimentales………………………….………7 Cómo descartar datos dudosos……………………………………………………….…9 Coeficiente de variación (CV) ………………………………………………….…………9 Curva de error gaussiana……………………………………………...………...………10 Prueba t de Student……………………………………………...…...…………..………11 Error de muestreo………………………………………………..…………..………....…13 Error porcentual…………………………………………………………..…………….…13 Intervalo de confianza………………………………………………………………....….13 Cómo decidir si en una serie de datos tomados se encuentra un valor esperado o "teórico"……………………………………………………………….14 Tipos de errores de medición…………………………………….………...………..….14 Normas para graficar……………………………………………………………………...15 Técnicas de linealización……………………………………………….………………..16 Planeación experimental……………………………………………...……………...….17 Presentación de casos…………………………………..………..………………..…….17

I.

Determinación de π…………………………………………………………………………….…..19

II.

Péndulo simpleπ………………………………………………………………………..…………..21

III.

Caída libre…………………………………………………………………………………..…….…24

1.

Carril de aire y fotodetector. Medición de la gravedad. …………………………………….27

2.

Tiro parabólico. Determinación experimental de una trayectoria…………………………33

3.

Conservación de la cantidad de movimiento lineal: colisiones…………….…………..…37

4.

Fuerzas concurrentes…………………….……………………………………………….………42

5.

Coeficiente de fricción…………….………………………………………………...…………….46

6.

Fuerza centrípeta………………………………………………………………………………......50

7.

Sistema masa-resorte. Comportamiento de la energía mecánicas…………………..…..54

8.

Medición de la velocidad de un proyectil: péndulo balístico………………………………61

9.

Momentos de fuerz…………………………………………………………………………….......66

10.

Movimiento de rotación y traslación……………….…………………………………………..69

ii

PROLOGO

Esta guias 2007 son una versión revisada a partir de las guías del 2003 adaptadas para la reforma de 2003. Estas guías de prácticas fueron diseñadas para ser utilizadas en la asignatura Experimentación Física I para estudiantes de los programas de estudio de la Facultad de Ciencias Naturales y Exactas (Matemáticas y Química) e Ingeniería. Las prácticas tiene en común el que están basados en diferentes conceptos y principios de mecánica y tienen por objetivo global mejorar la comprensión de estos conceptos y facilitar al estudiante el desarrollo de habilidades experimentales, tanto manipulativas como de interpretación y análisis de datos. Las guías son resultado de muchos años de experiencia que tiene el Departamento de Física en la docencia para los estudiantes de los cursos básicos de física de toda la Universidad. El acelerado avance de la ciencia y la tecnología, y la consiguiente necesidad de adecuar nuestros procesos docentes, han motivado a los profesores del Departamento a efectuar la modernización. Así pues, en la elaboración de estas guías no sólo está plasmado el esfuerzo de los pioneros del Departamento de Física, sino también de todos aquellos colegas que han tenido a su cargo esta asignatura durante los últimos años. Los editores de este material les agradecen por sus invaluables aportes. Así mismo agradecen a los asistentes de docencia, técnicos de laboratorio y estudiantes por sus observaciones y sugerencias, que han tenido en cuenta hasta donde ha sido posible. La metodología a seguir en el laboratorio es la siguiente: 1. Se conforman grupos de máximo tres estudiantes. La duración de la práctica es de tres horas (a menos que su profesor indique otra cosa), al final de la cual el grupo de práctica entrega un informe en donde se registran los datos experimentales, gráficas y los cálculos solicitados. 2. Cada sesión de laboratorio trabaja con un máximo de 7 grupos de práctica, esto es, se realizan en cada sesión 10 prácticas. No todas las prácticas son idénticas, esto significa que hay una programación para cada grupo. 3. Cada uno de los estudiantes debe traer preparados los temas sobre los cuales trata el experimento. 4. El profesor puede indicar modificaciones al procedimiento experimental o de análisis de datos, agregar o suprimir preguntas para responder en el informe, etc. 5. Es obligatoria la asistencia a todas las sesiones.

iii

Universidad del Valle Departamento de Física A. La calidad del dato en física experimental y su interpretación en la toma de decisiones A.1.

Objetivo

¾ Potenciar en el estudiante la actitud ante la toma y calidad de datos experimentales como un instrumento esencial para el entendimiento de la Física Experimental. ¾ Familiarizar al estudiante en la importancia de la calidad en la toma de datos experimentales. ¾ Presentar criterios orientadores sobre el análisis de los datos experimentales. ¾ Ofrecer elementos que ayuden a la toma de decisiones sobre fenómenos observados, equipos utilizados y análisis de datos procesados. A.2.

Introducción

La Física Experimental requiere una visión complementaria de por lo menos tres ejes temáticos como se ilustra en la fig. A.1: — Manejo conceptual de términos físicos. — Manejo adecuado de equipos o instrumentos. — Análisis de datos y toma de decisiones. El fundamento esencial en la interpretación de un fenómeno observado es la importancia en la toma y la calidad de los datos experimentales. A.3.

Medición

La medición es el proceso por el cual cuantificamos una propiedad o atributo del mundo sensible, esto es, intentamos, aunque nunca con éxito total, representar dicha propiedad mediante un número real, acompañado de la especificación de la unidad de medida. Las mediciones de magnitudes de longitud, área, volumen, tiempo y masa son realizadas por el hombre desde tiempos remotos. Las mediciones pueden ser de dos clases: directas e indirectas. En las primeras comparamos la magnitud con una referencia patrón la cual debe ser homogénea y reproducible. En cualquier libro de física el lector encontrará las definiciones vigentes de los patrones para las magnitudes fundamentales, a saber: longitud, tiempo, masa, intensidad de corriente, temperatura, intensidad luminosa, cantidad de sustancia. El conjunto de estas definiciones metrológicas, así como otras convenciones relacionadas, constituyen el llamado Sistema Internacional de Unidades (SI). Las mediciones indirectas se obtienen como resultado de algunos cálculos realizados con magnitudes medidas directamente. Es importante dar un tratamiento adecuado a estos cálculos, el cual mostraremos a continuación. A.4.

Cálculo de errores

En física, cuando se escribe que la longitud de una barra es 1,26 m, se está diciendo que estamos seguros de los dos primeros dígitos, el 1 y el 2: pero que puede haber un error en el último, el 6; podría ser 5 o 7. 1

Llamaremos cifras significativas de una medida al número de dígitos seguros más el dígito dudoso. En el ejemplo anterior, tenemos tres (3) cifras significativas. Si se reporta 1,260 m es que se tiene duda en el 0; esta medida es de cuatro (4) cifras significativas, y por lo tanto es más precisa. Escribir más cifras adicionales de las cuales no tenemos seguridad, ¡no tiene sentido! ¿Qué pasará en los cambios de las unidades? Si se encuentra que la distancia entre dos ciudades es 245,7 km, tendremos cuatro (4) cifras significativas. Y si escribimos la distancia en metros, ¿Será 245700 m? ¿Tendríamos ahora seis (6) cifras significativas y por tanto mayor precisión por un simple cambio de unidad? La notación en potencias de 10 nos indica la manera correcta de escribir un dato experimental: 245,7 × 105 m o 2,457 × 105 m. El número de cifras significativas lo dan los dígitos que multiplican la potencia de 10. La posición de la coma decimal no influye en el resultado. En la suma o resta de datos experimentales, por ejemplo: 23,6 m + 2,53 m, el dígito 3 se suma a un número desconocido y por lo tanto dará un dígito desconocido: concluimos que el resultado debe reportarse en las décimas, es decir: 23,6 m + 2,53 m = 26,1 m REGLA 1 La precisión de una suma o una resta es igual a la del número menos preciso de los que se suman o restan. Para las multiplicaciones y divisiones es conveniente escribir los factores en potencia de 10. Por ejemplo (354,6 m)(24,5 m) = (3,546 × 102)(2,45 × 10) m2 = (3,546)(2,45) × 103 m2 En el número de menor precisión, un error de una unidad en el último dígito, daría un error en el resultado de: (3,564)(0,01) = 0,03… lo que nos indica que el resultado tendrá un error en sus centésimas. En resumen, el resultado tendrá el mismo número de decimales que el número de menor precisión: (3.546)(2,45) × 103 m2=8,69 × 103 m2

REGLA 2. La cantidad de cifras significativas en un producto o cociente es igual a la cantidad más pequeña de cifras significativas en cualquiera de los números que se multiplican o se dividen. A.5.

Cómo expresar un resultado

Un resultado numérico se expresa por medio de: a. Error absoluto. Es la diferencia entre el valor medido u obtenido por cálculo y el valor real de la magnitud. Como no se conoce este último se habla de los límites superior e inferior de la magnitud. Por ejemplo, si medimos un objeto y encontramos una longitud de l = 92 cm con una regla dividida en milímetros y si podemos apreciar el con claridad cada milímetro, 2

diremos que el error absoluto es Δl = 0,1 cm y, por tanto, la “verdadera” longitud L está en el rango 92,0 - 0,1 < L < 92,0 + 0,1 cm, es decir la longitud L se reporta como: L = l ± Δl = 92,0 ± 0,1 cm. Error relativo}. Es la relación del error absoluto al valor real o medido de la magnitud. En el ejemplo anterior, el error relativo es:

ΔL Δl 0.1 ≈ = = 0,001 L l 92 Quedando el porcentaje de error de 0,1%. La precisión de una medida depende de su error relativo. Se dice que dos medidas son hechas con la misma precisión cuando los errores relativos de cada una de ellas son iguales. Evidentemente, se puede deducir el error absoluto, si se conoce el error relativo. En el ejemplo anterior, tenemos:

ΔL =

A.6.

0.1 L 100

Propagación de incertidumbres

El convenio para simbolizar una magnitud física es utilizar letras mayúscula del alfabeto latino, p. ej., A, P, X, etc., y se estará haciendo referencia a la definición de la magnitud física o magnitud por medir. De igual forma, el valor estimado de la misma magnitud física o resultado de medición es utilizar letras minúsculas del alfabeto latino, p. ej., a, p, x, etc. Las incertidumbres del resultado de medición se simbolizará por la letra mayúscula del alfabeto griego delta (Δ), p. ej., Δa, Δp, Δx, etc. A.6.1. Expresiones para determinar la propagación de incertidumbres Se describe un método sencillo e intuitivo para determinar la incertidumbre Δw del resultado de medición o estimación w de una magnitud física W que puede depender de otras variables (magnitudes físicas) X1, X2,…. Xn, etc. La incertidumbre Δw (en este caso, la incertidumbre combinada) se halla a través de una combinación lineal de las incertidumbres Δxi asociadas a las estimaciones (o mediciones xi) de las magnitudes Xi. Los cálculos que se presentan en esta sección no hacen ningún tipo de consideración sobre la función distribución de probabilidad} asociada a los intervalos de incertidumbre ni a los niveles de confianza de los resultados. Por tanto, las expresiones obtenidas pueden considerarse como una primera aproximación a la incertidumbre de medición. a.

Suma

Sea la magnitud física W=X+Y con sus respectivos resultados de medición w=x+y

(A.1)

Si las incertidumbres de los resultados de medición de X y Y son, respectivamente x ± Δx

y ± Δy 3

entonces wmáx = xmáx + ymáx

.

w + Δw = (x + Δx) + (y + Δy) = (x + y) + (Δx + Δy)

(A.2)

Comparando las ecuaciones (A.1) y (A.2}) obtenemos la incertidumbre del resultado de medición de una magnitud física cuando interviene una suma: Δw = Δx + Δy El mismo resultado se obtiene calculando wmín. b.

Resta

Sea la magnitud física W=X–Y con sus respectivos resultados de medición w=x–y

(A.3)

Si las incertidumbres de los resultados de medición de X y Y son, respectivamente

entonces

x ± Δx

y ± Δy wmáx = xmáx - ymín

w + Δw = (x + Δx) – (y – Δy) = (x – y) – (Δx + Δy)

.

(A.4)

Comparando las ecuaciones (A.3) y (A.4) obtenemos la incertidumbre del resultado de medición de una magnitud física cuando interviene una suma: Δw = Δx + Δy El mismo resultado se obtiene calculando wmín. Se concluye que, cuando una magnitud W se define como la suma o la resta de otras dos magnitudes X y Y, la incertidumbre del resultado de medición w de la magnitud W, puede calcularse, en ambos casos como:

Δw = Δx + Δy

c.

(1.5)

Producto

Sea la magnitud física W = XY con sus respectivos resultados de medición w = xy

(A.6) 4

Si las incertidumbres de los resultados de medición de X y Y son, respectivamente

entonces

x ± Δx

y ± Δy

wmáx = xmáxymáx

w + Δw = (x + Δx)(y + Δy)

= (xy) + (yΔx + xΔy + ΔxΔy)

.

(A.7)

Comparando las ecuaciones (A.6) y (A.7) se tiene que Δw = yΔx + xΔy + ΔxΔy En la mayoría de los casos, las incertidumbres suelen ser pequeñas comparadas con los resultados, por tanto, para estos casos, el último término del lado derecho de la ecuación (A.7) se puede despreciar Δw = yΔx + xΔy La incertidumbre relativa de una medida se define como

Δw w Entonces, se tiene que la incertidumbre relativa del resultado de medición de una magnitud física cuando interviene un producto:

Δw Δx Δy = + w x y

d.

División

Sea la magnitud física

W=

con sus respectivos resultados de medición

w=

X Y

x y

(1.8)

Si las incertidumbres de los resultados de medición de X y Y son, respectivamente

entonces

x ± Δx

y ± Δy

w máx = w + Δw =

x máx y mín

x + Δx y − Δy

por tanto 5

x + Δx −w y − Δy x + Δx x = − y − Δy y yΔx + xΔy ≈ y2

Δw =

donde se ha hecho la aproximación y(y – Δy) ≈ y2, suponiendo que Δy ฀ y. Finalmente, calculando la incertidumbre relativa del resultado de medición de una magnitud física cuando interviene una división:

Δw Δx Δy = + w x y

Se concluye que, cuando una magnitud W se define como el producto o la división de otras dos magnitudes X y Y, la incertidumbre del resultado de medición w de la magnitud W, puede calcularse, en ambos casos como:

Δw Δx Δy = + w x y e.

(A.9)

Producto de potencias

Inicialmente, consideremos la magnitud física W = X2 de la regla del producto se infiere que

Δx Δw =2 x w Generalizando este resultado tenemos que cuando una magnitud W se define como la potencia de otra magnitud X, la incertidumbre relativa del resultado de medición w de la magnitud W, puede calcularse como:

Δx Δw =n x w

Por último, consideremos la magnitud física W = Xm Yn Zp Se concluye que, de la regla para la potencia y de la regla del producto (o la división, en caso que el exponente sea negativo), cuando una magnitud W se define como el producto de potencias de otra magnitudes Xm Yn Zp, la incertidumbre del resultado de medición w de la magnitud W, puede calcularse como:

Δz Δy Δx Δw =m +n +p z y x w

(A.10) 6

Una forma sencilla de obtener la ec. (A.10) es recordar las propiedades del logaritmo natural: ln(xm yn zp) = m ln(x)+ n ln(y) + p ln(z) y su derivada total

por tanto,

d(ln(W) = d(ln(x m y n z p ) = m

dW W

dz dy dx +n +p z y x

ahora se “transforma” el operador d → Δ, por tanto se obtiene la ec. (A.10). Ejemplo A.1. Reportar el volumen de una esfera si su diámetro es de D = 4,23 ± 0,01 cm. Sabemos que e volumen V de una esfera es

V= El error sería:

por tanto,

4 3 4 ⎛D⎞ πr = π⎜ ⎟ = 39,629 603 25 3 ⎝2⎠ 3 3

ΔV ΔD 0,01 =3 =3 = 7,092 198 58 4,23 D V ΔV = 0,281 061 016 cm3

correspondiente a los resultado obtenidos en una calculadora científica convencional. Recordando la regla 2 de la pág. 3, el volumen que debe reportarse es: V = 39,6 ± 0,3 cm3 A.7.

Fundamentos del análisis de datos experimentales

Cuando se obtiene una serie de datos experimentales, debemos tener presente: ¾ ¾

La Información incluye Datos. Los Datos no necesariamente incluyen Información.

Definamos algunos conceptos básicos del análisis estadístico. A.7.1. La media Es el resultado obtenido de la suma de todos los datos individuales y dividiendo entre el número total de datos. Si x1, x2, x3,…, xN son los datos individuales y N el número total de datos, la media, denotada por el simbolo μ, se define como:

μ=

1 N ∑ x Ni = 1 i

(A.11)

7

Ejemplo A.2. Las medidas (ordenadas ascendentemente) del periodo (en segundos) de un péndulo simple son: 1,98; 2,02; 2,07; 2,09 y 2,16 ⇒ µ = 2,06. A.7.2. Principales características de la media 1.

El cálculo de la media se basa en todos los valores de un conjunto de datos. Por tanto, es fuertemente afectada por los valores extremos. Por ejemplo, si tenemos los valores: 1,95; 1,95; 1,95, 1,95 y 5,95

⇒

µ = 2,75.

El valor 5,95 ha elevado la media en 0,8. 2.

∑ (x μ = ∑ (x

a. μ =

i

b.

i

− μ ) = 0.

Tiene dos propiedades matemáticas:

− a) es mínima cuando a = µ.

A.7.3. Medidas de dispersión Muchas veces podemos tener dos métodos para calcular una magnitud física, p. ej.: 9 9

Un método (llamaremos A), es medir el periodo de un péndulo, Otro método (llamaremos B), es medir la altura como función del tiempo en una caída libre,

y la magnitud por medir es la gravedad (g) en un determinado lugar. Supongamos que los datos de g (m/s2), con el Método A, son: 11,0; 11,0; 11,2 y 11,3; y los datos con el Método B fueron: 9,5; 10,0; 11,0 y 11,2. Necesitamos una medida que cuantifique la variabilidad de los dos métodos. A.7.4. Varianza (σ2 o s2) y desviación estándar (σ o s) El grado al cual los datos tienden a esparcirse alrededor de un valor medio se denomina dispersión. Las definiciones más comunes de cuantificar la dispersión es la varianza, que se denota con el símboloσ2, y la desviación estándar, que se denota con el símbolo σ:

σ2 =

1 n ∑ (x i − x ) n i= 1

σ =

σ2

(A.12)

donde N es el número de datos (muy grande). De igual forma, se define la varianza muestral, qu...