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Resoluci´on Ejercicios I Taller Dise˜no de Experimentos Angel David Cujia, Cesar Augusto Guzm´an Febrero de 2016 1. Ejercicio 3-12 Se estudian cuatro diferentes tipos de dise˜ no de un circuito digital de computadora para comparar la cantidad de ruido presente. Se obtienen los siguientes datos Dise˜...

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Resoluci´on Ejercicios I Taller Dise˜no de Experimentos Angel David Cujia, Cesar Augusto Guzm´an Febrero de 2016

1.

Ejercicio 3-12

Se estudian cuatro diferentes tipos de dise˜ no de un circuito digital de computadora para comparar la cantidad de ruido presente. Se obtienen los siguientes datos Dise˜ no del circuito 1 2 3 4

Ruido 19 20 80 61 47 26 95 46

observado 19 30 8 73 56 80 25 35 50 83 78 97

a) ¿La cantidad de ruido presente es la misma para los cuatro dise˜ nos? Utilizar α = 0, 05 b) Analizar los residuales de este experimento, ¿Se satisfacen los supuestos del an´ alisis de varianza? c) ¿Qu´e dise˜ no del circuito se seleccionara para usarlo? El ruido bajo es mejor. Soluci´ on Sea Yij = µ + τi + ǫij , con i = 1, 2, 3, 4 y j = 1, 2, 3, 4, 5, donde τi corresponde al efecto del dise˜ no del circuito i, Yij el ruido observado para el circuito i en el ensayo j, ǫij ∼ N (0, σ 2 ) e independientes 4 P y con τi = 0. i=1

a) Para comprobar si la cantidad de ruido presente es la misma para los cuatro dise˜ nos, procedemos a hacer la siguiente prueba de hip´ otesis: H0 : τ1 = τ2 = τ3 = τ4 = 0 H1 : τk 6= 0 para alg´ un k ∈ {1, 2, 3, 4}

Al realizar el an´ alisis del modelo, utilizando IBM SPSS Statistics 22 con un nivel de significancia α = 0, 05, se obtienen los siguientes resultados:

1

donde observamos una significancia de 0,000, la cual es menor que α = 0, 05; por tanto, se tiene evidencia para rechazar H0 y afirmar que al menos uno de los cuatro dise˜ nos de circuito tiene un efecto diferente sobre el ruido. b) El An´ alisis de los datos con IBM SPSS Statistics 22, arroja los siguientes resultados para la Prueba de igualdad de Levene de varianzas de error :

Donde observamos una significancia de 0,311; por lo tanto, no se rechaza la hip´ otesis nula de igualdad de las varianzas de los errores. Por otra parte, la gr´ afica de residuos est´andar versus pronosticados no presenta ninguna tendencia; por tanto, se acepta la independencia de los residuos.

c) A trav´es de IBM SPSS Statistics 22, se obtienen las pruebas de Student-Newman-Keuls y HSD Tukey, las cuales se muestran a continuaci´ on

2

El an´ alisis de subconjuntos homog´eneos arroja que en caso de desear seleccionar el dise˜ no de circuito que genere menor ruido, se deber´ıa seleccionar las opciones 1 o 3, entre las cuales no existe una diferencia significativa en cuanto a los efectos de los tratamientos.

2.

Ejercicio 3-13

Se pide a cuatro qu´ımicos que determinen el porcentaje de alcohol met´ılico en cierto compuesto qu´ımico. Cada qu´ımico hace tres determinaciones, y los resultados son los siguientes: Qu´ımico Porcentaje de alcohol met´ılico 1 84, 99 84, 04 84, 38 2 85, 15 85, 13 84, 88 3 84, 72 84, 48 85, 16 4 84, 20 84, 10 84, 55 a) ¿Los qu´ımicos difieren significativamente? Utilizar α = 0, 05 b) Analizar los residuales de este experimento. Soluci´ on Sea Yij = µ + τi + ǫij , con i = 1, 2, 3, 4 y j = 1, 2, 3, donde τi corresponde al efecto del qu´ımico i, on j, ǫij ∼ N (0, σ 2 ) e Yij el porcentaje de alcohol met´ılico medido por el qu´ımico i en la determinaci´ 4 P independientes y con τi = 0. i=1

a) Para comprobar si no hay diferencia significativa en el porcentaje de alcohol met´ılico medido por los cuatro qu´ımicos, procedemos a hacer la siguiente prueba de hip´ otesis: H0 : τ1 = τ 2 = τ3 = τ 4 = 0 H1 : τk 6= 0 para alg´ un k ∈ {1, 2, 3, 4}

Al realizar el an´ alisis del modelo, utilizando IBM SPSS Statistics 22 con un nivel de significancia α = 0, 05, se obtienen los siguientes resultados:

donde observamos una significancia de 0,081, la cual es mayor que α = 0, 05; por tanto, no se tiene evidencia para rechazar H0 y afirmar que los qu´ımicos difieren.

3

b) La prueba de igualdad de Levene de varianzas de error arroja una significancia de 0,329; por tanto, podemos afirmar que no existe evidencia para rechazar la hipotesis nula de la igualdad de las varianzas de los errores.

Al observar el gr´ afico de residuos est´andar versus pronosticados, no identificamos ninguna tendencia, por tanto podemos afirmar que los residuos son independientes.

Por ultimo, la prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra, arroja una significancia de 0,200; por tanto, no se rechaza la normalidad de los residuos.

3.

Ejercicio 3-14

Se someten a estudio tres marcas de bater´ıa. Se sospecha que las vidas (en semanas) de las tres marcas son diferentes. Se prueban cinco bater´ıas de cada marca con los resultados siguientes:

4

Semanas de vida Marca 1 Marca 2 Marca 3 100 76 108 96 80 100 92 75 96 96 84 98 92 82 100 a) ¿Las vidas de estas tres marcas son diferentes? b) Analizar los residuales de este experimento. c) Construir la estimaci´on de un intervalo de confianza de 95 % para la vida media de la bater´ıa marca 2. Construir la estimaci´on del intervalo de confianza de 99 % para la diferencia media entre las vidas de las bater´ıas marcas 2 y 3. d) ¿Qu´e marca seleccionar´ıa el lector para usarla? Si el fabricante remplazara sin cargo cualquier bater´ıa que dure menos de 85 semanas, ¿qu´e porcentaje esperar´ıa reemplazar la compa˜ n´ıa? Soluci´ on Sea Yij = µ + τi + ǫij , con i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3, 4, 5, donde τi corresponde al efecto de la marca de la bater´ıa i, Yij las semanas de vida de la bater´ıa marca i en el ensayo j, ǫij ∼ N (0, σ 2 ) e independientes 3 P y con τi = 0. i=1

a) Para comprobar si no hay diferencia significativa en las semanas de vida de cada marca, procedemos a hacer la siguiente prueba de hip´ otesis: H0 : τ1 = τ2 = τ3 = 0 H1 : τk 6= 0 para alg´ un k ∈ {1, 2, 3}

Al realizar el an´ alisis del modelo, utilizando IBM SPSS Statistics 22 con un nivel de significancia α = 0, 05, se obtienen los siguientes resultados:

Donde observamos una significancia de 0.000, la cual es menor que α = 0, 05; por tanto, se tiene evidencia para rechazar H0 y afirmar que existe al menos una de las marcas tiene un efecto diferente en la vida u ´til de las bater´ıas. b) Con la prueba de igualdad de Levene de varianzas de error probamos las siguientes hip´ otesis: H0 : La varianza de los errores de las semanas de vida es igual entre las marcas de bater´ıas.

5

H1 : La varianza de los errores de las semanas de vida no es igual entre las marcas de bater´ıas. El an´ alisis realizado con IBM SPSS Statistics 22, arroja los siguientes resultados:

Entonces con una significancia de 0, 912 > α = 0,05, podemos afirmar que no existe evidencia suficiente para rechazar la hip´ otesis nula H0 de la igualdad de las varianzas de los errores. Al observar el gr´ afico de pronosticados versus los residuos est´andar, no identificamos ninguna tendencia, por tanto podemos afirmar que los residuos son independientes.

Por ultimo, con la prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra probamos el supuesto de normalidad de los errores, obteniendo los siguientes resultados

La significancia es de 0,200; por tanto, no se rechaza H0 y se acepta la que los errores se distri´ buyen normalmente. Esto se confirma con la gr´ afica P-P:

6

c) Un intervalo de confianza de 100(1 − α) % para la media µi en el tratamiento i−´esimo es:

y¯i. − tα/2,N −a n a P P

Donde M SE =

SSE N −a

=

r

M SE 6 µi 6 y¯i. + tα/2,N −a n

r

M SE n

(yij −¯ yi. )2

i=1 j=1

N −a

Ahora bien, usando IBM SPSS Statistics 22, un intervalo de confianza del 95 % para la vida media de la bater´ıa marca 2 es:

Por otro lado, el intervalo de confianza para la diferencia de medias es: y¯i. − y¯j. − tα/2,N −a

r

2M SE 6 µi − µj 6 y¯i. − y¯j. + tα/2,N −a n

r

2M SE n

Para un contenido probabil´ıstico de 99 % y usando los m´etodos de comparaci´on de medias de Tukey y Scheffe para la diferencia media entre las vidas de las bater´ıas marcas 2 y 3, obtenemos:

d) ¿Qu´e marca seleccionar´ıa el lector para usarla? Si el fabricante remplazara sin cargo cualquier bater´ıa que dure menos de 85 semanas, ¿qu´e porcentaje esperar´ıa reemplazar la compa˜ n´ıa? Los estad´ısticos descriptivos de las semanas de vida de las diferentes marcas de bater´ıas son: 7

Teniendo en cuenta esta informaci´ on, elegir´ıa la marca 3 por su mayor duraci´on. La media de vida de esta marca es 100.4 semanas y su varianza es 15.60. Suponiendo normalidad, entonces la probabilidad de fallo antes de 85 semanas es: Z=

P (¯ yi. 6 85) = P



y¯i. − µi √ σ ˆ

85 − 100.4 Z6 √ 15,6



= P (Z 6 −3,899) = 0,00005

Luego el 0,005 % de las bater´ıas fallar´an antes de las 85 semanas.

4.

Ejercicio 3-15

Se est´an investigando cuatro catalizadores que pueden afectar la concentraci´on de un componente en una mezcla l´ıquida de tres componentes. Se obtienen las siguientes concentraciones: 1 58,2 57,2 58,4 55,8 54,9

Catalizador 2 3 56,3 50,1 54,5 54,2 57 55,4 55,3

4 52,9 49,9 50 51,7

a) ¿Los cuatro catalizadores tienen el mismo efecto sobre la concentraci´on? b) Analizar los residuales de este experimento. c) Construir la estimaci´on de un intervalo de confianza de 99 % para la respuesta media del catalizador 1. Soluci´ on Sea Yij = µ + τi + ǫij , con i = 1, 2, 3, 4 y j = 1, 2, ..., nk , k = 5, 4, 3, 4 donde τi corresponde al efecto del catalizador i, Yij concentraci´on del componente para el catalizador i en el ensayo j, ǫij ∼ N (0, σ 2 ) 4 P e independientes y con τi = 0. i=1

a) Para comprobar si los cuatro catalizadores tienen el mismo efecto sobre la concentraci´on, procedemos a hacer la siguiente prueba de hip´ otesis: H0 : τ1 = τ2 = τ3 = τ4 = 0 H1 : τk 6= 0 para alg´ un k ∈ {1, 2, 3, 4} 8

Al realizar el an´ alisis del modelo, utilizando IBM SPSS Statistics 22 con un nivel de significancia α = 0, 01, se obtienen los siguientes resultados: Donde observamos una significancia de 0.001, la cual es menor que α = 0, 01; por tanto, se tiene evidencia para rechazar H0 y afirmar que existe al menos un catalizador que tienen un efecto diferente en la concentraci´on del componente, es decir los cuatro catalizadores no tienen el mismo efecto en la concentraci´on del componente. b) Con la prueba de igualdad de Levene de varianzas de error probamos las probamos el supuesto de igualdad de varianzas, obteniendo los siguientes resultados:

Arroja una significancia de 0, 160 > α = 0,01; por tanto, podemos afirmar que no existe evidencia suficiente para rechazar la hip´ otesis nula de la igualdad de las varianzas de los errores. Al observar el gr´ afico de pronosticados versus los residuos est´andar, no identificamos ninguna tendencia, por tanto podemos afirmar que los residuos son independientes.

Por ultimo, con la prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra probamos las siguientes hip´ otesis: H0 : Los errores de la concentraci´on del componente de los catalizadores son normales.

9

H1 : Los errores de la concentraci´on del componente de los catalizadores no son normales. La tabla arroja el siguiente resultado:

La significancia es de 0, 200 > α = 0,01; por tanto, no se rechaza la normalidad de los residuos. ´ Esto se confirma con el Gr´ afico P − P :

c) Un intervalo de confianza de 100(1 − α) % para la media µi en el tratamiento i−´esimo es:

y¯i. − tα/2,N −a a P n P

Donde M SE =

SSE N −a

=

r

M SE 6 µi 6 y¯i. + tα/2,N −a n

r

M SE n

(yij −¯ yi. )2

i=1 j=1

N −a

Ahora bien, usando IBM SPSS Statistics 22, un intervalo de confianza del 99 % para la respuesta media del catalizador 1 es:

10

5.

Ejercicio 3-16

Se llevo a cabo un experimento para investigar la eficacia de cinco materiales aislantes. Se probaron cuatro muestras de cada material con un nivel elevado de voltaje para acelerar el tiempo de falla. Los tiempos de falla (en minutos) se muestran abajo: Material 1 2 3 4 5

110 1 880 495 7

Tiempo de falla 157 194 178 2 4 18 1256 5276 4355 7040 5307 10050 5 29 2

a) ¿Los cinco materiales tienen el mismo efecto sobre el tiempo de falla? b) Graficar los residuales contra la respuesta predicha. Construir una gr´ afica de probabilidad normal de los residuales. ¿Qu´e informaci´ on transmiten estas gr´ aficas? c) Con base en la respuesta del inciso b, realizar otro an´ alisis de los datos del tiempo de falla y sacarlas conclusiones apropiadas. Soluci´ on Sea Yij = µ + τi + ǫij , con i = 1, 2, 3, 4, 5 y j = 1, 2, 3, 4, donde τi corresponde al efecto del material i, Yij el tiempo de falla (en minutos) para el circuito i en el ensayo j, ǫij ∼ N (0, σ 2 ) e independientes 5 P y con τi = 0. i=1

a) Para comprobar si los cinco materiales tienen el mismo efecto sobre el tiempo de falla, procedemos a hacer la siguiente prueba de hip´ otesis: H 0 : τ1 = τ2 = τ3 = τ4 = τ5 H1 : τk 6= 0 para alg´ un k ∈ {1, 2, 3, 4, 5}

Al realizar el an´ alisis del modelo, utilizando IBM SPSS Statistics 22 con un nivel de significancia α = 0, 05, se obtienen los siguientes resultados:

donde observamos una significancia de 0,004, la cual es menor que α = 0, 05; por tanto, se tiene evidencia para rechazar H0 y afirmar que al menos uno de los materiales tiene un efecto diferente sobre el tiempo de falla. b) La gr´ afica de residuos est´andar versus pronosticados tiene una forma de apertura de embudo, lo que indica que las varianzas de las observaciones originales no es constante.

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El comportamiento observado en el gr´ afico P-P, implica que no es valido asumir la normalidad de los errores.

c) Trabajando con el logaritmo natural de los tiempos de falla, obtenemos los siguientes resultados:

Donde con una significancia de 0,000, podemos afirmar que existe diferencia en al menos uno de los efectos de los tratamientos. Cuando analizamos las gr´ aficas de residuos est´andar versus pronosticados, no observamos ninguna tendencia; por lo tanto, podemos aceptar la independencia de los errores.

12

La gr´ afica P-P presenta evidencia de la normalidad de los errores.

6.

Ejercicio 3-17

Un fabricante de semiconductores ha desarrollado tres m´etodos diferentes para reducir el conteo de part´ıculas en las obleas. Los tres m´etodos se prueban en cinco obleas y se obtiene el conteo de part´ıculas despu´es del tratamiento. Los datos se muestran abajo: M´etodo 1 2 3

31 62 53

10 40 27

Conteo 21 4 24 30 120 97

1 35 68

a) ¿Todos los m´etodos tienen el mismo efecto sobre el conteo promedio de part´ıculas? b) Graficar los residuales contra la respuesta predicha. Construir una gr´ afica de probabilidad normal de los residuales. ¿Hay motivo de preocupaci´on potencial acerca de la validez de los supuestos? c) Con base en la respuesta del inciso b, realizar otro an´ alisis de los datos del conteo de part´ıculas y sacar las conclusiones apropiadas. Soluci´ on Sea Yij = µ + τi + ǫij , con i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3, 4, 5, donde τi corresponde al efecto del m´etodo i, Yij el conteo de part´ıculas para el m´etodo i en el ensayo j, ǫij ∼ N (0, σ 2 ) e independientes y con 3 P τi = 0. i=1

13

a) Para comprobar si los tres m´etodos tienen el mismo efecto sobre el conteo de particulas en las obleas, procedemos a hacer la siguiente prueba de hip´ otesis: H0 : τ1 = τ2 = τ3 = 0 H1 : τk 6= 0 para alg´ un k ∈ {1, 2, 3}

Al realizar el an´ alisis del modelo, utilizando IBM SPSS Statistics 22 con un nivel de significancia α = 0, 05, se obtienen los siguientes resultados:

donde observamos una significancia de 0,006, la cual es menor que α = 0, 05; por tanto, se tiene evidencia para rechazar H0 y afirmar que al menos uno de los m´etodos tiene un efecto diferente sobre el conteo de part´ıculas en las obleas. b) La gr´ afica de residuos est´andar versus pronosticados tiene una forma de apertura de embudo, lo que indica que las varianzas de las observaciones originales no es constante. Por otra parte, el comportamiento observado en el gr´ afico P-P, implica que no es valido asumir la normalidad de los errores.

Una vez analizadas estas gr´ aficas, podemos afirmar que no se cumplen los supuestos para el modelo. c) Trabajando con la ra´ız cuadrada de los conteos de part´ıculas en las obleas, obtenemos los siguientes resultados:

14

Donde con una significancia de 0,003, podemos afirmar que existe diferencia en al menos uno de los efectos de los tratamientos. La gr´ afica de residuos est´andar versus pronosticados no presenta ninguna tendencia, por lo tanto se acepta el supuesto de independencia de los errores. Por otra parte, el comportamiento observado en el gr´ afico P-P, implica que es valido asumir la normalidad de los errores.

7.

Ejercicio 3-19 Demostrar que la varianza de la combinaci´on lineal

a P

ci yi. es σ 2

i=1

Soluci´ on

V

a X

ci yi.

i=1

!

a X

=

V (ci yi. ) =

i=1

a X i=1

donde V (yij ) = σ 2 ; por tanto V

a X i=1

8.

ci yi.

!

=

a X



c2i V 

c2i

ni X j=1

i=1

ni X j=1

a P

ni c2i

i=1



yij  =

σ2 = σ2

a X

a X

c2i

i=1

ni X

V (yij )

j=1

ni c2i .

i=1

Ejercicio 4-5

En un art´ıculo de Fire Safety Journal (.El efecto de dise˜ no de boquillas de estabilidad y el desempe˜ no de surtidores de agua turbulenta”Vol.4) se describe un experimento en el que se determin´o un factor 15

de forma para varios dise˜ nos diferentes de boquillas con seis niveles de la velocidad de flujo de salida del surtidor. El inter´es se centr´o en las diferencias potenciales entre los dise˜ nos de las boquillas, con la velocidad considerada como una variable perturbadora. Los datos se presentan a continuaci´ on: Dise˜ no de la boquilla 1 2 3 4 5

Velocidad del flujo de salida del 11, 73 14, 37 16, 59 20, 43 0, 78 0, 80 0, 81 0, 75 0, 85 0, 85 0, 92 0, 86 0, 93 0, 92 0, 95 0, 89 1, 14 0, 97 0, 98 0, 88 0, 97 0, 86 0, 78 0, 76

surtidor (m/s) 23, 46 28, 74 0, 77 0, 78 0, 81 0, 83 0, 89 0, 83 0, 86 0, 83 0, 76 0, 75

a) ¿El dise˜ no de la boquilla afecta el factor de la forma? Comparar las boquillas con un diagrama de dispersi´ on y un an´ alisis de varianza, utilizando α = 0,05. b) Analizar los residuales del experimento. Soluci´ on Sea Yij = µ + τi + βj + ǫij , con i = 1, 2, 3, 4, 5 y j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, donde τi corresponde al efecto del dise˜ no de boquilla i, βj efecto de la velocidad de flujo de salida j del surtidor en m/s, Yij el factor de 5 P forma de boquilla i a la velocidad de flujo de salida j, ǫij ∼ N (0, σ 2 ) e independientes, con τi = 0 i=1

y

6 P

βj = 0.

j=1

a) Usando IBM SPSS Statistics 22 se grafica el diagrama de dispersi´on de cada dise˜ no de boquilla versus los resultados del factor de forma para las diferentes velocidades de flujo de salida del surtidor:

Con esta gr´ afica se sospechar´ıa por observaci´ on que hay un efect...