Fiche 0 - Notion de MathématiquesCE cours s;itndoiwf owpfiwef ooi2oe kjwoioie jnowihf woijoie iwejfoiwe oiwjefoi wjeno. owieffowi woi owefoih. weoief iojwijw jiefu. PDF

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Summary

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Description

TUTORAT PASS 2021/2022 UNIVERSITÉ DE PARIS

UE 4 : PHYSIQUE FICHE 0 NOTIONS DE MATHEMATIQUES Il s’agit d’une fiche récapitulative non exhaustive des notions essentielles concernant vos cours. Cela ne remplace pas les capsules et vos notes se rapportant aux explications des professeurs. Il est primordial d’avoir compris ces notions avant tout « apprentissage par coeur » qui se révèlerait absolument improductif. Le meilleur moyen de réussir reste la compréhension, un apprentissage consciencieux des diapositives et un entraînement régulier (nous vous conseillons de vous rendre régulièrement aux examens blancs du tutorat).

ASSOCIATION POUR L'ACCÈS SANTÉ UNIVERSITÉ DE PARIS A2SUP Bureau T203 – 45 rue des Saints-Pères, 75006 Paris Bureau TP15 – 4 avenue de l’Observatoire, 75006 Paris Bureau 101 – 15 rue de l’Ecole de Médecine, 75006 Paris https://www.a2sup.fr/

Mot des RM : Coucou à toi et tout d’abord bravo d’avoir eu le COURAGE d’ouvrir cette fiche de mathématiques ! Que vient faire le vieux RM de Mathématiques dans ton cours de pré-rentrée de Physique ? Cette fiche est faite pour reprendre les notions principales que tu auras vues durant cette prérentrée. Elles te serviront à rentrer plus rapidement dans les raisonnements physiques et à préparer le terrain pour la future UE9 qui te guette au S2. L’objectif ici n’est pas que tu te bourres le crâne avec les formules, les méthodes, les définitions, etc. On s’en fiche que tu les apprennes par cœur, tu auras de nombreuses autres matières où il faudra apprendre bêtement ! Là je te demande plutôt d’essayer de comprendre les méthodes, les raisonnements que l’on adopte pour que tu puisses te les approprier et les réutiliser à ta sauce durant les entraînements ! Tu verras beaucoup de rappels de lycée car on souhaite que tu puisses te remettre sereinement dans le bain avant d’attaquer l’année qui t’attend ! Mon mot est déjà assez long pour ce que je voulais dire ^^’ Profite de la Physique et des Mathématiques pour réfléchir et te sortir du simple par cœur ! Force et honneur, l’A2SUP est avec toi ! Jocelyn Pochon RM de Mathématiques 2020-2021

SURTOUT N’APPRENDS PAS PAR CŒUR LA FICHE RÉCAP, ELLE DOIT TE RAPPELER LES NOTIONS QUE TU AS DU UN PEU OUBLIER, MAIS SURTOUT GARDE-LÀ AU CHAUD, ELLE TE SERVIRA DE RÉFÉRENCE QUAND TU AURAS UN DOUTE DANS L’ANNÉE !!!! Plein d’amour et de réussite 0

Cet item est-il cohérent ? ∆E L’item est incohérent. En effet, si 𝑣 (𝑧) = √2𝑧. 𝜌. 0.G alors :

𝑙𝑖𝑚 𝑣(𝑧 ) = 𝑙𝑖𝑚 √2𝑧. 𝜌. 0.G = 𝜌 0.G 𝑙𝑖𝑚 √2𝑧 = +∞

H→4A

∆E

H→4A

Car 𝑙𝑖𝑚 √𝑧 = +∞ H→4A

∆E

H→4A

Or la vitesse du jet ne devient pas infinie plus on monte en altitude. C’est donc comme ça que l’on peut utiliser les limites en physique.

VI-Géométrie Ces quelques formules devraient vous suffire pour vaincre la physique : Figure Carré (de côté 𝑐) Rectangle (de longueur 𝐿 et de largeur 𝑙) Triangle (de hauteur ℎ et de base b) Cercle (de rayon 𝑟 et de diamètre 𝑑) Cube (d’arrête 𝑐) Pavé droit (de hauteur h, longueur 𝐿 et de profondeur 𝑙) Prisme (de base 𝐵 et hauteur ℎ) Cône (de rayon 𝑅 et de hauteur ℎ)

Périmètre 4"𝑐 2𝑙 + 2𝐿 Somme des trois cotés 2𝜋𝑟 = "𝜋𝑑 / / / /

Sphère (de rayon R)

/

Cylindre (de rayon 𝑅 et de hauteur ℎ) Couronne infinitésimale (de rayon r et d’épaisseur 𝑑𝑟)

/

Aire 𝑐) 𝑙". 𝐿

ℎ". 𝑏 2 𝜋𝑑) 𝜋𝑟 ) = 4 6𝑐 ) 2(ℎ. 𝑙 + ℎ. 𝐿 + 𝐿. 𝑙) Surface latérale : périmètre de la base × ℎ 𝜋𝑅". r𝑅 ) + ℎ) 4𝜋𝑅)

Surface latérale : 2𝜋𝑅ℎ 2𝜋𝑟. 𝑑𝑟

Volume / / / / 𝑐$ ℎ". 𝑙". 𝐿 𝐵". ℎ

𝜋𝑅) ". ℎ 3 4 $ 𝜋𝑅 3 𝜋𝑅) ". ℎ

6

A noter qu’en cas de doute, une rapide analyse dimensionnelle permet d’attribuer la bonne formule à la bonne grandeur.

Deuxième partie : les équations différentielles en UE9 I.

Classification des équations différentielles.

Soit l’équation différentielle 𝑎 I( & + 𝑏 I( $ + 𝑐 I( + 𝑑𝑓 (𝑥 ) = 𝐾 I&C

-

I$C

IC

On appelle ordre de l’équation différentielle l’ordre de la dérivée de plus haut rang.

Ici, l’équation différentielle est donc du 3ème ordre puisqu’on observe la présence de -

I&C

.

I( &

On appelle second membre tout ce qui ne dépend pas de 𝑓 (𝑥 ) ou de ses dérivées.

Ici, le second membre correspond à K. -

On appelle coefficients de l’équation différentielle les facteurs situés devant la fonction 𝑓(𝑥) ou ses dérivées.

Ici les coefficients sont donc 𝑎 , 𝑏, 𝑐, et 𝑑. -

On parle d’équation différentielle linéaire si l’équation ne contient PAS de termes en

I C s𝑓 (𝑥 )t ni de termes en 𝑓 (𝑥 ) × I( ', c’est-à-dire, s’il n’y a pas de produit entre la B

'

fonction et ses dérivées, entre la fonction et elle-même, ou encore entre ses dérivées et elles-mêmes. Ici l’équation est linéaire. -

L’équation différentielle est dite à variables séparables si on peut mettre tout ce qui dépend de la variable x d’un côté de l’équation, et tout ce qui dépend de 𝑓(𝑥) de l’autre côté.

Ici l’équation n’est pas à variables séparables

II.

Équations à variables séparables.

Soit l’équation différentielle 𝑎 I( + 𝑏𝑓(𝑥) = 0, avec a et b des constantes. IC

On peut réécrire l’équation sous la forme 𝑎 I( = −"𝑏𝑓(𝑥) les variables sont bien séparables. IC

Si on divise de part et d’autre l’équation par 𝑓 (𝑥 ) et qu’on la multiplie par 𝑑𝑥 , on obtient # 𝑎 C(() 𝑑𝑓 = −"𝑏"𝑑𝑥. On a pu ici séparer les variables, on dit aussi qu’elle est sans second membre. La suite de la résolution passe par une intégration.

7

Résolution des équations différentielles en UE9 En UE 4, on va utiliser deux méthodes pour résoudre les équations différentielles : la méthode avec les bornes (pour les équations à variables séparables, si on a une condition initiale) et la méthode avec une constante (une méthode plus générale pour toute équation linéaire, en UE 4 on ne s’intéresse qu’aux équations du premier ordre).

I.

Résolution d’une équation à variables séparables avec la méthode des bornes

Lorsque l’on se trouve face à une équation à variables séparables avec une condition initiale, on peut résoudre l’équation très rapidement avec la méthode des bornes. Cette résolution se fait en 2 temps : a. Séparation des variables b. Intégration selon les bornes données par la condition initiale Reprenons l’équation précédente 𝑎 I( + 𝑏𝑓(𝑥) = 0 avec une condition initiale : 𝑓(0) = 5 IC

Dans un premier temps, on sépare donc les variables comme montré précédemment on obtient 𝑎 C(() 𝑑𝑓 = −"𝑏"𝑑𝑥 #

Il s’agira donc ensuite alors d’intégrer des deux côtés, pour obtenir la fonction 𝑓 : 𝑎u

1 𝑑𝑓 = −"𝑏" u 𝑑𝑥 𝑓(𝑥)

(Attention : si on sort 𝑎 et 𝑏 de l’intégrale, c’est parce qu’il s’agit de constantes)

Il suffit de résoudre cette intégrale en choisissant les deux bornes, qui dépendront d’une condition initiale.

Si on admet qu’ici 𝑓 (0) = 5 alors on peut résoudre l’équation avec ces bornes-ci nous permettant donc de retrouver 𝑓( 𝑥) en fonction de 𝑥 : On sait que ∫

#

C(()

( 1 𝑑𝑓 = −"𝑏" u 𝑑𝑥 , C(,)J* 𝑓(𝑥)

𝑎u

C(()

𝑑𝑓 = ln 𝑓 + 𝐶 or ici, ayant déjà des bornes, nous n’avons pas besoin de la

constante 𝐶, en effet, on ne recherche pas une primitive à une constante près, mais bien la primitive qui valide les conditions initiales ! On obtient alors : 𝑎[ln"(𝑓(𝑥)]C(() = −"𝑏"[ 𝑥](, *

8

En développant, on obtient :

𝑎s lns𝑓 (𝑥)t − ln(5 )t = −"𝑏"(𝑥 − 0)

En se rappelant des règles d’opération de la fonction logarithme, on sait que ln 𝑎 −

ln 𝑏 = ln ^ _ ' :

On fait passer 𝑎 de l’autre coté :

𝑓(𝑥) ⟺ 𝑎 ln { | = −𝑏"𝑥 5 ln{

𝑏 𝑓 (𝑥 ) | = − "𝑥 𝑎 5

Pour se débarrasser de la fonction ln on passe à l’exponentiel : :K( 𝑓 (𝑥) = 𝑒 "' 5

Enfin on fait passer 5 de l’autre côté pour obtenir

𝑓 (𝑥) = 5𝑒 "'K( :

9

II.

Résolution d’une équation linéaire du 1er ordre avec 2nd membre identifié avec la méthode avec une constante

Soit l’équation différentielle 𝑎 I( + 𝑏𝑓( 𝑥 ) = 𝐾 IC

Nous étudierons le cas général, pour lequel il n’est pas nécessaire que a et b soient constants. Pour résoudre cette équation nous allons procéder en deux fois :

A. On cherche la solution générale 𝒇𝟎(𝒙) de l’équation sans second membre B. On cherche une solution particulière 𝑭(𝒙) de l’équation avec second membre C. La solution générale 𝒇(𝒙) correspond à la somme de ces deux résultats de telle sorte que 𝒇 (𝒙) = 𝒇𝟎 ( 𝒙) + 𝑭(𝒙)

A. Solution générale de l’équation sans second membre (SGESSM)

L’équation sans second membre correspond à 𝑎 I( + 𝑏𝑓, (𝑥) = 0 IC

La solution générale de l’équation sans second membre est toujours : !

" $%& 𝑓!(𝑥 ) = 𝐴 × 𝑒 ∫" avec A une constante

Démonstration : On peut réécrire l’équation comme 𝑎 I( = " −𝑏𝑓, (𝑥) IC

Cette écriture va permettre de séparer les variables

1 𝑏 𝑑𝑓 = " − 𝑑𝑥 𝑎 𝑓, (𝑥)

On intègre de part et d’autre.

Attention, a et b ne sont pas forcément des constantes, nous sommes dans le cas général. u

1 𝑏 𝑑𝑓 = " −u 𝑑𝑥 𝑓, (𝑥) 𝑎

Ici nous n’intégrons pas avec des bornes, mais en utilisons des constantes d’intégration.

ln 𝑓, (𝑥) = " − ∫ ' 𝑑𝑥 + 𝐶 avec C la constante d’intégration. :

On pose 𝐶 = ln 𝐴

𝑏 ln 𝑓, (𝑥) − ln 𝐴 = " − u 𝑑𝑥 𝑎

En utilisant les propriétés du logarithme, 𝑓,( 𝑥) 𝑏 ln { | = " − u 𝑑𝑥 𝑎 𝐴 On passe à l’exponentielle de part et d’autre 𝑒

C (( ) >?M ( N O

="𝑒

: " ∫ I( '

10

On obtient finalement

I( 𝑓,(𝑥) = "𝐴 × 𝑒 " ∫' :

Dans le cas où a et b sont des constantes ET UNIQUEMENT DANS CE CAS, on a : 𝑓,(𝑥 ) = "𝐴 × 𝑒 " '.( :

car − ∫ ' 𝑑𝑥 = " − ( 𝑥) + 𝐶 :

:

'

Il est réellement important de comprendre la démonstration, elle permet de retrouver cette formule en un rien de temps, le jour de l’examen, on est parfois hésitant, prendre l’habitude de refaire les étapes intermédiaires, c’est super rassurant !

B. Solution particulière de l’équation avec second membre (SPEASM) La méthode ici employée dépendra de la nature du second membre. IC L’équation avec second membre correspond à 𝑎 I( + 𝑏𝑓(𝑥) = 𝐾 La solution particulière est dite « de la forme du second membre »

Le second membre K est une constante (le cas le plus fréquent en UE 4) Quand le second membre K est une constante, la solution particulière est une constante. On pose 𝐹 (𝑥) notre solution particulière. On remplace notre fonction 𝑓"par F dans notre équation initiale afin de déterminer la solution particulière. L’équation est alors :

𝑎

𝑑𝐹(𝑥) + 𝑏𝐹(𝑥) = 𝐾 𝑑𝑥

En sachant que 𝐹(𝑥) est une constante, sa dérivée est nulle. 𝑏𝐹(𝑥) = 𝐾

La solution particulière de l’équation avec second membre est donc : 𝐹(𝑥) =

𝐾 𝑏

C. Solution générale de l’équation différentielle.

La solution générale 𝑓(𝑥) de l’équation différentielle correspond à la somme de la solution générale sans second membre 𝑓, (𝑥) et d’une solution particulière de l’équation avec second membre 𝐹(𝑥).

Prenons l’exemple où la solution générale est "𝑓,(𝑥) = "𝐴 × 𝑒 G 𝐹(𝑥) = .

" .( ! &

et la solution particulière

+

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Nous savons que la solution générale est 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥 )+ 𝐹(𝑥) = 𝐴 × 𝑒 " &.( + G , + Pour trouver 𝐴 et 𝐾, nous nécessitons 2 conditions initiales. !

Admettons que 𝑓(0) = 5 et 𝑓 (1 ) = 8 (les conditions initiales seront données dans l’énoncé) Nous savons que 𝑓(0) = 𝐴 × 𝑒 "&., + !

G +

= 𝐴++ = 5 G

.# De même, 𝑓 (1) = 𝐴 × 𝑒 " & + + = 𝐴. 𝑒 "& + + = 8 !

G

G

!

Pour trouver 𝐴 et 𝐾, nous devons résoudre le système d’équations 𝐴 + + = 5 et 𝐴. 𝑒 "& +

Nous obtenons 𝐴 = Finalement,

$

! ) QR & "# S

et 𝐾 = 4 €5 −

𝑓 (𝑥) =

$

$

! ) Q R & "# S

! ) QR & "#S

G

•

× 𝑒 "& + 5 − !

!

.(

QR

G +

=8

$

! )&

"#S

Troisième partie : Trigonométrie et vecteurs I.

Rappel de trigonométrie a. Pythagore, Thalès et angles

On ne les présente plus, ce sont les deux gros théorèmes du lycée et même du collège. Et pourtant, OUI des questions peuvent tomber dessus. OUI vous devez les connaître et savoir les utiliser. Et OUI vous allez y arriver. Le théorème de Pythagore : « Dans tout triangle rectangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ». Autrement dit, pour un triangle ABC rectangle en B, 𝐴𝐶 ) = 𝐴𝐵) + 𝐵𝐶 ) , le côté le plus long étant toujours celui opposé à l’angle droit : l’hypoténuse. La réciproque est vraie, c’est-à-dire qu’un triangle vérifiant ce théorème, est rectangle. Le théorème de Thalès : Il a été utilisé par le mathématicien éponyme pour mesurer les pyramides ! L’idée, c’est de déterminer une grande distance, incalculable (par exemple la hauteur des pyramides) à partir d’une petite maquette. Pour cela, on utilise le rapport des côtés d’un même triangle : celui sur la maquette et celui dans la vie réelle. Dans notre exemple, ABC est la maquette et AMN est le vrai objet. D’après le théorème de NT NV TV Thalès, si BC et MN sont parallèles, condition absolument nécessaire, on a = = . NU

NW

UW

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Attention à l’erreur classique : on garde le même triangle en haut, on n’inverse pas ! (3ème figure)

Petite astuce : Pour les calculs, retenez aussi que la somme des angles d’un triangle vaut 180°, celle d’un quadrilatère en vaut 360° Application : Il ne s’agira jamais en PASS de déterminer si un triangle est rectangle, ou si deux droites sont parallèles, mais de calculer littéralement ou en application numérique la valeur d’un angle ou d’une distance, surtout en électrostatique où ils jouent un rôle particulier.

Propriétés des angles et des triangles Les angles des figures géométriques ne sont pas toujours donnés, et il faut parfois les déterminer à partir du schéma ! (Schéma que, encore une fois, vous devez absolument faire un début d’exercice). Ainsi, on retiendra que : • Si deux droites se croisent, les angles opposés deux à deux sont égaux (ici, 𝛼# et 𝛼$ ) • Si une droite croise deux droites parallèles, les angles face à face (interne-interne) (ici, 𝛼)et 𝛼$) et « regardant dans la même direction » (alterne-interne) (ici, 𝛼# et 𝛼)) sont égaux De manière générale, apprenez à visualiser le schéma ci-dessous. Cela vous aidera à retenir ces règles, et vous entrainera pour la visualisation tri-dimensionnelle, que ce soit en physique, mais aussi en chimie, biochimie… ou même plus tard en anatomie.

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Il est aussi utile de se rappeler qu’un angle plat vaut 180° ( 𝜋"rad), qui est aussi la somme des angles d’un triangle. Et comme un quadrilatère est deux triangles quelconques, on peut en déduire que la somme de ses angles vaut 360° (2𝜋 rad). b. Définition, relation de trigonométrie La trigonométrie met en relation les longueurs et les angles d’un TRIANGLE RECTANGLE. Pour cela, chaque côté est nommé selon sa position par rapport à l’angle étudié : - L’hypoténuse, le côté le plus long, opposé à l’angle droit. - Le côté adjacent, celui qui avec l’hypoténuse, forme l’angle. - Le côté opposé, celui qui reste, qui se trouve en face de l’angle étudié. Les relations de trigonométrie sont : pour un angle 𝛼 cos(𝛼 ) =

NIX'YRBZ [\]^ZéB`aR

sin( 𝛼) =

b]]^aé [\]^Z%éB`aR

b]]^aé 𝑡𝑎𝑛( 𝛼 ) = NIX'YRBZ

Moyen mnémotechnique : « CAH SOH TOA » (« Casse-toi ») Conséquences pratiques : Si vous connaissez l’angle et la longueur d’un des côtés, vous pouvez retrouver l’autre côté. En PASS, ces relations vous seront utiles notamment lorsque vous manipulerez des forces et des vecteurs. c. Opérations sur la trigonométrie Ces opérations sont très rares en PASS, et le plus souvent rappelées quand il y a besoin d’elles. Néanmoins, tout peut tomber, alors pour rappel : • cos ) + sin) = 1 • 𝑐𝑜𝑠"(𝑎 + 𝑏) " = 𝑐𝑜𝑠(𝑎 ). 𝑐𝑜𝑠(𝑏) − 𝑠𝑖𝑛( 𝑎). 𝑠𝑖𝑛(𝑏) • cos(𝑎 − 𝑏) = cos (𝑎 ) . cos(𝑏 ) + sin( 𝑎). sin"(𝑏) • sin (𝑎 + 𝑏) = sin( 𝑎) . cos (𝑏) + sin (𝑏 ) . cos"(𝑎) • sin (𝑎 − 𝑏) = sin( 𝑎) cos (𝑏 ) − sin(𝑏 ) cos"(𝑎) • 𝑐𝑜𝑠(2𝑎 ) = cos(𝑎 + 𝑎 ) = cos ) (𝑎) − sin) (𝑎) • sin( 2𝑎) = sin( 𝑎 + 𝑎 ) = 2 sin(𝑎) cos"(𝑎) d. Le cercle trigonométrique Les angles peuvent être notés sous différentes formes, soit en forme de degré (le classique, le tout simple), soit en radian. Il s’agit d’une méthode de mesure qui prend comme unité le rayon du cercle, qui mesurera donc 1 radian (abrégé 𝑟𝑎𝑑). On rappelle le périmètre d’un cercle de rayon 𝑟"étant 2𝜋𝑟 , si le rayon vaut un radian, le périmètre vaudra 2𝜋"𝑟𝑎𝑑. On gradue donc le cercle (comme un rapporteur), selon le sens inverse des aiguilles d’une montre (toujours, le sens dit trigonométrique). Pour convertir de radian à degré, retenez que 2𝜋"𝑟𝑎𝑑 = 360°.

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Cela va nous servir de « règle » pour déterminer l’angle. L’angle 𝛼 est formé par le segment fixe [OA], et le segment [OM] qui « pivote » selon la valeur de l’angle. La position du point M sur le cercle détermine la valeur de l’angle, par exemple : Exemple : ˆ est un angle droit, avec [OM] qui a pivoté dans le sens inverse (des aiguilles Si l’angle 𝐴𝑂𝑀 2 2 d’une montre), le point M se trouve sur . Donc on a 𝛼 = . )

)

/!\ La direction dans laquelle pivote [OM] est très importante ! Si [OM] a pivoté dans le sens trigonométrique, l’angle est POSITIF. SI [OM] a pivoté dans le sens des aiguilles, l’angle est NÉGATIF. Cette notation radiale prend en compte le sens d’ouverture de l’angle.

ˆ est un angle plat, avec [OM] qui a pivoté dans Exemple : Si 𝐴𝑂𝑀 le sens des aiguilles, 𝛼 = −𝜋. Dans cette illustration, on enroule notre règle autour du cercle indéfiniment, donc chaque fois que l’angle fait un tour de plus (2𝜋), les points se superposent. C’est pour cette raison qu’on adopte souvent la notation 𝐴[2𝜋] (lu « A modulo 2𝜋 »), pour désigner qu’on mesure un angle de 𝐴"𝑟𝑎𝑑, en faisant un certain nombre de tours en plus ou en moins. Lien avec la trigonométrie : On rappelle qu’un cosinus et un sinus sont toujours compris entre -1 et 1. En gardant le radian comme unité (et donc un rayon de notre cercle qui vaut 1), on remarque que les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point sont respectivement le 𝑐𝑜𝑠 et le 𝑠𝑖𝑛 de l’angle que forme ce point. On peut en quelque sorte comparer les axes sin et cos à un repère de dimension 1. Autrement dit, sur ce schéma, cos(𝛼) = 𝑥U et sin(𝛼) = 𝑦U . Mais encore, quelle est l’utilité ? C’est que l’abscisse et l’ordonnée de certains points sont connues (ou à connaître). Cela permet de connaître directement des cosinus ou des sinus qui ne seront pas donné dans les aides au calcul.

Exemple :

On rappel 𝑐𝑜𝑠 (𝛼) = 𝑥U, 𝑠𝑖𝑛(𝛼 ) = 𝑦U Pour un angle de 135°, le point M se trouve sur 𝑐𝑜𝑠 ^ _ = − $2 +

K √) )

, et 𝑠𝑖𝑛 ^ _ = $2 +

√)

$2 +

. On lit donc :

)

Beaucoup plus pratique que de trouver 𝑐𝑜𝑠(135°)

Apprenez ce cercle par cœur ! et n’hésitez pas à le refaire rapidement lorsque vous en avez besoin, cela peut vous faire gagner du temps !

15

II.

Les vecteurs (normes, composantes et produi...