Filosofia della Scienza riassunto PDF

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appunti filosofia della scienza secondo semestre a.a 2016-2017 professoressa Lupacchini Univesità degli studi di Bologna...

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L’IRRAZIONALE 1.1 Il sogno di Pitagora. Pitagora e i suoi discepoli, secondo la leggenda, stabilirono il legame tra aritmetica e musica, tramite la scoperta dell’armonia tra le note delle corde pizzicate: le armonie si producono quando i rapporti tra le lunghezze delle delle corde sono date da piccoli numeri interi. Vedere i numeri nella musica fu una “rivelazione” per i Pitagorici, pensarono di conseguenza che i numeri e l’armonia pervadessero l’interno universo, cioè che tutto è numero. In seguito, guardando la geometria, si accorsero che il mondo “razionale” era minacciato. 1.2 Il teorema di Pitagora. Il Teorema di Pitagora dice che il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costuiti sui due cateti. Qualunque terna, di numeri positivi, che soddisfa l’equazione a2 + b2 = c2 è la terna dei lati di un triangolo rettangolo. Ce ne sono infinite, chiamate Terne Pitagoriche che, già dal 1800 d. C., i Babilonesi erano in grado di ottenere. I valori di a venivano ricavati dal fatto che c2 - b2 è sempre il quadrato di un numero naturale. Le coppie sono elecante seguendo l’ordine dei valori di b/a che decresce. Così, nel mondo geometrico razionale, c’è una lacuna: in cima alla scala non c’è un triangolo a = b. Si scoprì un mondo irrazionale. 1.3 Triangoli irrazionali. Prendendo i lati perpendicolari del triangolo rettangolo, l’ipotenusa c corrisponde all’equazione c2 = 12 + 12 = 2. Quindi c è √2, radice quadrata di 2. I Pitagorici hanno scoperto che √2 come rapporto tra due numeri naturali non esiste, e bisognava dimostrarlo. Ci si serve della dimostrazione per contraddizione o reductio ad absurdum. Per dimostrare che √2 non era un rapporto tra numeri naturali, si suppone che lo sia (per costruire l’argomento) e si deduce una contraddizione. L’assunzione risulta falsa, come si voleva dimostrare. √2 è chiamato irrazionale. ”Irrazionale e assurdo” Logos (rationalis) = linguaggio, spiegazione, ragione, numero; alla radice della parola logica. Per i Pitagorici il numero costituiva il miglior mezzo di spiegazione, quindi logos = rapporto, calcolo. Algos (irrationalis) = opposto di razionale; quantità non esprimibili come rapporti di numeri naturali. Da Simon Stevin, il numero non esprimibile come rapporto di numero naturale, al posto di irrazionale, viene chiamato incommensurabile. 1.4 L’incubo di Pitagora. Per superare l’incubo, i greci cercarono di sviluppare una geometria non-numerica, che studia quantità chiamate grandezze, che includono lunghezza, area e volume. Grandezze che implicano numeri ma, per esempio, la lunghezza non ha tutte le proprietà dei numeri: il prodotto di due lunghezze non è una lunghezza, ma un rettangolo. Per dimostrare l’aree uguali di due figure, basta tagliare a pezzi una

figura, e riassemblarli per formare l’altra area. E’ più complicato, invece, per il concetto di volume: i greci consideravano il prodotto di tre lunghezze a, b, c come una scatola con lati a, b, c perpendicolari, e misuravano i volumi mediante scatole. Nascono almeno due problemi: -La misura del volume è il cubo, ma non tutti i poliedri possono essere tagliati in numero finito di pezzi che, riassemblati, formano un cubo. -Non sappiamo visualizzare lo spazio con più di tre dimenzioni. Element di Euclide, divisi in 13 libri (300 a. C.): separazione tra geometria e teoria dei numeri. Libro V, spiega la relazione tra grandezze e numeri naturali, chiave per trattare le grandezze come numeri, quindi per calcolare l’irrazionale. L’impresa non riesce del tutto. 1.5 Spiegare l’irrazionale Cogliere la differenza tra numeri irrazionali e numeri razionali, sta nel confrontare gli irrazionali con ciò che conosciamo, ovvero con i razionali. Eudosso: Un irrazionale è dato da i numeri razionali minori e maggiori di esso. I numeri razionali vengono espressi in frazioni, quindi un numero irrazionale è dato dalle frazioni decimali minori e maggiori di esso. Il posto vuoto nei razionali occupato √2 ha la “dimensione di un punto” e dobbiamo cercare di restringere questi vuoti sempre più verso lo zero. √2 tra i due insiemi è descritto come decimale infinito, ma i greci non conoscevano nemmeno quelli perchè un oggetto infinito sembrerebbe il risultato di un processo che non ha fine. Alla fine di tutto, i greci trovarono, per esprimere √2, un processo che offre una spiegazione migliore di quella delle frazioni decimali. 1.6 La frazione continua per √2 Algoritmo di Euclide: vuole mettere √2 in relazione con una frequenza prevedibile di numeri. Trovare una misura comune di due grandezze a e b. c è una misura comune di a e b se a = mc e b =nc (dove m e n sono due numeri naturali). Chiave dell’algoritmo a - b = (m - n) c. L’algoritmo cerca una misura comune ‘continuando a sottrarre la grandezza più piccola da quella più grande.’ Ci interessiamo ad a e b che non hanno una misura comune, in questo caso l’algoritmo va avanti per sempre, in modo tale da farci capire perchè. Siamo fortunati quando a = √2 e b = 1, perchè l’algoritmo diventa periodico, quindi torna statico: tagliando via due quadrati dal rettangolo si ottiene un altro rettangolo della stessa forma, e così via. Usiamo √2 + 1, perchè la periodicità arriva prima. Periodicità nelle frazioni continue e decimali 1.7 Dai numeri razionali ai numeri reali I decimali infiniti risolvono il problema di rappresentare tutti i punti della linea, quindi li usiamo come intermediari per arrivare ad un concetto di numeri reali, compatibile con l’aritmetica dei numeri

razionali. √2 x √3 = √6 I decimali infiniti completano tutta la linea riempiendo ogni buco. Come si presentano i buchi nell’insieme dei numeri razionali. Consideriamo l’insieme Q+ (razionali non negativi). Un buco si presenta dove l’insieme Q+ si spezza in due insiemi L e U, con: - Ogni elemento di L è minore di ogni elemento di U; - L non ha un elemento massimo e U non ha un elemento minimo. Questa separazione, con queste proprietà è chiamata sezione di Dedekind: possiamo riempire i buchi semplicemente riconoscendoli come oggetti matematici. Aritmetizzazione: costruire tutta la matematica sulla base dei numeri naturali e degli insiemi. Numeri reali Sezione per definire i numeri reali. Le sezioni L e U rappresentano sia i numeri razionali che quelli irrazionali, come: - Se L ha un elemento massimo, o U ha un elemento minimo, r, allora (L, U) rappresenta il numero razionale r. - Se L non ha un elemento massimo e U non ha un elemento minimo allora (L, U) rappresenta un numero irrazionale. (L, U) è sia un buco nei razionali, sia qualcosa che lo riempie. 1.8 Come visualizzare le sezioni di Dedekind Visualizziamo i numeri interi sulla linea. Estendiamo fino ai punti razionali, ma i punti razionali sono densi: ce ne sono infiniti in un qualsiasi intervallo di linea. Per risolvere la densità abbiamo bisogno di concetti infiniti che ci avvicinino ai punti irrazionali tramite i razionali: i decimali infiniti, che ci danno una semplice rappresentazione numerica dei punti sulla linea, adeguata per descrivere l’ordinamento dei punti; ma non sono adatti a fare calcoli. Problema risolto dalle Sezioni di Dedekind. L’ARGOMENTO DIAGONALE Tutto, in matematica, è infinito. Euclide dimostra che qualsiasi sequenza di numeri finita è incompleta; mostra come trovare un numero primo diverso da tutti gli altri. La lista è infinita, ma ciascun elemento ha una posizione finita, quindi l’insieme può essere numerato. Cantor: l’insieme dei numeri reali non è numerabil; dimostra che qualsiasi lista infinita numerabile di numeri reali è incompleta. Argomento diagonale: trovare un numero reale diverso da ogni altro in una lista numerabile. (Dimostrare l’esistenza di insiemi non numerabili.) 1.1 Contare e numerabilità

Prima proprietà del mondo degli insiemi infiniti. Contare, che è un processo infinito, vuol dire sistemare gli oggetti in una lista in modo che ciasun oggetto dell’insieme dato occupi la posizione indicata da un intero positivo. Riguardo agli insiemi infiniti contarne una parte può essere un processo infinito proprio come contare tutto l’insieme (contare i numeri positivi pari, allo stesso passo di contare gli interi positivi), corrispondenza uno-uno. Insiemi infiniti numerabili Infinito numerabile: insieme in cui gli elementi possono essere messi in corrispondenza uno-uno -> da Cantor cardianlità. Negli insiemi finiti, i due hanno la stessa cardinalità se e solo se hanno lo stesso numero di elementi. Negli insiemi infiniti numerabili, la cardinalità viene considerata lo stesso con il “numero” di elementi, chiamato numero transferito (“aleph zero”). 1.2 C’è una taglia unica per l’infinito? Hotel Hilbert di Gamow. 1.3 L’argomento diagonale di Cantor

5. GEOMETRIA La geometria di Euclide si basa su riga e compasso. 5.1 Numeri e geometria Euclide fece la geometria senza un concetto generale di numero. 5.2 La teoria Euclidea degli angoli Euclide utilizza l’angolo retto come unità di misura e il concetto di uguaglianza tra gli angoli. Strumenti: congruenza dei triangoli e assioma delle parallele. Assioma delle parallele. Somma degli angoli di un triangolo. Teorema del triangolo isoscele. -> Pappo. L’angolo in un semicerchio. 5.3 Teoria euclidea dell’area Il concetto di ‘intero positivo’ non bastava a descrivere tutte le misure della geometria. Si iniziò ad usare la lunghezza, ma esse non possono essere moltiplicate. Non andavano bene per volume e area, e i Greci svilupparono la teoria dell’area.

”Nozioni comuni” di uguaglianza dei triangoli 1. Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche tra loro. 2. Se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali. 3. Se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali. 4. Cose che coincidono tra loro sono tra loro uguali. 5. Il tutto è maggiore della parte. Poligoni qualsiasi di area uguale sono “uguali”. Il concetto di volume L’uguaglianza è definita aggiungendo e sottraendo pezzi identici, un parallelepipedo è uguale alla scatola con la stessa altezza, larghezza e profondità....