Final 5 2011, Fragen und Antworten PDF

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LAND BRANDENBURG Ministerium für Bildung, Jugend und Sport

Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung

Zentralabitur 2010

Mathematik Leistungskurs Lehrerheft Aufgaben und Erwartungshorizonte

LAND BRANDENBURG

Ministerium für Bildung, Jugend und Sport

Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung

Zentrale schriftliche Abiturprüfung

2010

Mathematik Leistungskurs Erwartungshorizonte Die Beschreibungen der erwarteten Leistungen enthalten keine vollständigen Lösungen, sondern nur kurze Angaben. Hier nicht genannte, aber gleichwertige Lösungswege sind gleichberechtigt. Die aufgeführten Lösungswege zeigen immer nur eine Variante auf. Für andere Lösungswege oder Lösungsansätze, die logisch dargestellt werden und zu richtigen Zwischen- oder Endergebnissen führen, sind die vorgesehenen Bewertungseinheiten (BE) entsprechend zu vergeben. Wird jedoch der dargestellte Lösungsweg vom Prüfling verwendet, so sind die BE in der angegebenen Weise aufzuteilen. Damit die Möglichkeit besteht, den eigenen didaktischen Aspekten bei der Bewertung genug Raum zu geben, werden in der Regel die BE nicht kleinschrittig zugeordnet. Die Summe der BE pro Teilaufgabe – z. B. 3.1 a) – ist verbindlich. Sind Zwischenergebnisse nicht korrekt ermittelt worden und die sich auf diesen Zwischenergebnissen aufbauenden weiteren Lösungswege schlüssig und nicht mit neuen Fehlern versehen, so sind die BE entsprechend zu erteilen (Folgefehler). Dieses Vorgehen ist nicht anzuwenden, wenn eine offensichtlich nicht sinnvolle Lösung unkommentiert bleibt oder der Lösungsweg durch den Fehler erheblich einfacher geworden ist. Die Verwendung von entsprechenden Operatoren in den Aufgabenstellungen erfordert vom Prüfling schriftliche Erläuterungen seiner Überlegungen. Bei der Bewertung dieser Erläuterungen, auf deren Darstellung im Erwartungshorizont weitgehend verzichtet wird, kann die Lehrkraft ihren pädagogischen Spielraum nutzen und sich an ihrer bisherigen Unterrichtspraxis orientieren. Im Erwartungshorizont wird teilweise auf formale mathematische Vollständigkeit verzichtet, wenn diese vom Schüler in der Regel nicht unbedingt zu erwarten ist.

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Mathematik Leistungskurs

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010

Länder Berlin und Brandenburg

Aufgabe 1.1: Skihalle Gegeben ist die Funktionenschar fa mit fa (x ) = (x + a ) ⋅ e a − x , x ∈ IR; a ∈ IR, a > 0 . Der Graph der Funktion fa sei Ga . In der Anlage sind einige Graphen Ga dargestellt. a) Ermitteln Sie die Nullstelle von fa , die Koordinaten und Art des Extrempunktes sowie die Koordinaten des Wendepunktes von Ga in Abhängigkeit vom Parameter a. Auf den Nachweis der Existenz des Wendepunktes wird verzichtet. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente ta . Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von fa für x → ∞ und x → −∞ . [Kontrollergebnis: fa ' ( x ) = (− x − a + 1) ⋅ ea −x ]

(

)

b) Alle Extrempunkte Ea 1 − a| e 2a −1 der Graphen G a liegen auf dem Graphen einer Funktion h . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung für h und zeichnen Sie den Graphen von h In das vorhandene Koordinatensystem. c) Weisen Sie nach, dass für alle Funktionen fa die Gleichung fa ( x ) + fa ' (x ) = ea −x gilt. Ermitteln Sie eine Stammfunktion von fa . [Kontrollergebnis: Fa (x ) = ( −1 − a − x ) ⋅ e a −x + c ] d) Berechnen Sie den Inhalt der zwischen Ga und der x-Achse liegenden Fläche über dem Intervall [− a ; 2 − a] . e) Der Graph der Funktion f1 beschreibt für x ≥ 0 im Modell das Profil der Skipiste in einer Skihalle (1 LE = 10 m). Das Profil des Hallenbodens liegt auf der x-Achse. Der Querschnitt des Unterbaus der Piste ist ein rechtwinkliges Trapez, das begrenzt wird durch die beiden Koordinatenachsen, einer Parallelen zur x-Achse durch den Wendepunkt W1(1| 2 ) von G1 und der zugehörigen Wendetangente t1(x) = - x + 3. Der Raum oberhalb des Unterbaus wird mit Kunstschnee aufgefüllt, bis die gewünschte Profilform der Piste erreicht ist. Berechnen Sie, wie viele Kubikmeter Kunstschnee für eine Piste von 25 m Breite und einer waagerechten Länge von 60 m hergestellt werden müssen.

Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile

Seite 3 von 25

Aufgabenteil

a)

b)

c)

d)

e)

Summe

BE

19

6

6

4

5

40

Mathematik Leistungskurs

10_Ma_L_A1.1_V1

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010

Länder Berlin und Brandenburg

Name: .........................................................

Anlage zu Aufgabe 1.1

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Mathematik Leistungskurs

10_Ma_L_A1.1_V1

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010

Länder Berlin und Brandenburg

Erwartungshorizont zu Aufgabe 1.1: Skihalle Teilaufgabe

a)

Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

BE/AB I

II

Nullstelle: f a ( x) = 0 , x = − a

1

Ableitungen: fa ' ( x ) = (− x − a + 1) ⋅ ea −x , fa ' ' ( x ) = ( x + a − 2)ea −x

4

III

Bestimmung des Extrempunktes:

f a ' ( x) = 0 : (1 − x − a )e a − x = 0 ⇔ x = 1 − a fa ' ' (1 − a) = −e 2 a −1 < 0 ; fa(1 − a) = e 2a−1 , Ha (1− a | e 2a −1)

5

Ermitteln des Wendepunktes:

f a ' ' ( x) = 0 : (x + a − 2)e a − x = 0 ⇔ x = 2 − a fa (2 − a) = 2e 2a− 2 , Wa (2 − a | 2e 2a − 2 )

4

fa ' (2 − a ) = −e 2 a−2 Wendetangente: ta ( x) = −e 2 a− 2 ⋅ x + e 2 a− 2 ⋅ (4 − a)

lim f a ( x ) = 0 , lim fa ( x ) = −∞

x →∞

b)

3 2

x → −∞

Ha (1 − a | e 2a −1) , x = 1 − a ⇔ a = 1 − x , Ortskurve: h( x ) = e 1− 2x

3

Ergänzung der Zeichnung durch den Graphen von h :

3 c)

a −x

fa (x ) + fa ' (x ) = (x + a )e

∫ f ( x)dx = ∫ ( e

a −x

a

a −x

+ (1− x − a )e

a −x

=e

− fa ' ( x))dx = −ea − x − f a( x ) + c

= −e a −x − (a + x )e a −x + c = (− 1− a − x )e a −x + c

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2

Mathematik Leistungskurs

4

10_Ma_L_E1.1_V1

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010

Teilaufgabe

d)

Länder Berlin und Brandenburg

BE/AB

Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

I

III

Fläche unter Ga : 2− a

A1 =

∫ f ( x)dx = −3e a

2a− 2

+ e 2a 4

−a

e)

II

Fläche unter dem Profil der Skipiste: 6

∫

[

1 A = f1( x )dx = (− x − 2) ⋅ e − x

]

6 0

= 2e − 8e− 5

0

Querschnittsfläche der Kunstschneeauflage:

A − 4 = 2e − 4 − 8e −5 ≈ 1,38 Volumen an Kunstschnee: 138 m2 ⋅ 25 m = 3450 m3

5

Summen der BE in den Anforderungsbereichen 16 19 5 Summe der BE

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Mathematik Leistungskurs

40

10_Ma_L_E1.1_V1

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010

Länder Berlin und Brandenburg

Aufgabe 1.2: Brückenträger Gegeben sind die Funktionen fa mit der Gleichung fa (x ) =

a x2 + 3 ; a ∈ IR . 2x −1

Die Graphen dieser Funktionen fa seien Ga . a) Geben Sie den Definitionsbereich von fa an und bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte von fa für x → + ∞ und x → − ∞ in Abhängigkeit von a für a ≥ 0 . b) Einer der Graphen Ga hat den lokalen Extrempunkt E(− 1| fa (− 1)) . Bestimmen Sie für diesen den Wert des Parameters a und die Art des Extrempunktes E. Der zum berechneten Parameterwert a = 1,5 gehörende Graph hat einen weiteren lokalen Extrempunkt. Ermitteln Sie dessen Koordinaten und die Art. [Kontrollergebnis: fa′ (x ) =

2 ax 2 − 2 ax − 6 ] (2x − 1)2

c) Zeigen Sie, dass sich alle Graphen Ga auf der y-Achse schneiden. Weisen Sie nach, dass die Graphen Ga in diesem gemeinsamen Punkt Sy auch eine gemeinsame Tangente t haben und ermitteln Sie deren Gleichung. d) Der Querschnitt eines Brückenträgers entspricht in guter Näherung modellhaft der Fläche, die der Graph G1 und die Geraden

- 8

- 0,5

x = − 8 und x = − 0,5 mit der x-Achse einschließen. Berechnen Sie die Größe dieser Fläche auf zwei Dezimalstellen gerundet.

e) Berechnen Sie im Intervall −8 ≤ x ≤ −4 den mittleren Anstieg von G1 . Zeigen Sie, dass die untere Begrenzung des Brückenträgers aus Teilaufgabe d) auch sehr gut durch eine Gerade beschrieben werden kann, indem Sie nachweisen, dass sich der mittlere Anstieg und der maximale Anstieg von G1 in diesem Intervall um weniger als 0,02 unterscheiden.

Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile

Seite 7 von 25

Aufgabenteil

a)

b)

c)

d)

e)

Summe

BE

4

17

3

7

9

40

Mathematik Leistungskurs

10_Ma_L_A1.2_V2

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010

Länder Berlin und Brandenburg

Erwartungshorizont zu Aufgabe 1.2: Brückenträger Teilaufgabe

a)

BE/AB

Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

I

Definitionsbereich: x ∈ R, x ≠ 0,5

II

III

1

Verhalten der Funktionswerte für x → ± ∞ :

lim fa ( x ) = +∞ für a > 0 , lim f a ( x ) = −∞ für a > 0 , x→ − ∞

x →+ ∞

lim fa ( x ) = 0 für a = 0

3

x →± ∞

b)

Ableitungsfunktion: fa′ (x ) =

2ax2 − 2ax − 6 2 (2x − 1)

3

Ermitteln des Parameters a für gegebenen Extrempunkt E:

fa′ ( −1) = 0 ; a = 1,5 Art des Extrempunktes E:

f 1′′,5(x ) =

27 ; f1′,′5 (−1) < 0 ; E (− 1 | − 1,5) ist lokaler Hochpunkt. (2x − 1)3

8

Bestimmen weiterer Extrempunkte von G1,5 :

f1,′5 (x ) =

2

3x − 3x − 6 ; f1′,5 (x ) = 0 ; x1 = − 1 , x 2 = 2 2 (2x − 1)

f1,′′5 (2) > 0 , lokale Minimalstelle ; f1,5 (2) = 3 ; T (2 | 3) c)

6

Schnittpunkt mit der y-Achse : S y (0 | −3) ist unabhängig von a. Tangente in Sy : mt = fa′(0) = − 6 , Gleichung für t: y = − 6x − 3

d)

3

Flächenberechnung:

1 1 13 (x 2 + 3) : (2x − 1) = x + + 2 4 8x − 4 − 0,5

A=

∫

−8

= − e)

− 0,5

1 13 ⎞ 1 13 ⎡1 ⎤ ⎛1 ln 8 x − 4 ⎥ ⎜ x+ + ⎟ dx = ⎢ x2 + x + − 2 4 8 4 4 4 8 x ⎣ ⎦− 8 ⎝ ⎠

225 13 + (ln 8 − ln 68 ) ≈17,54 FE 16 8

Mittlerer Anstieg (Sekantenanstieg): mS =

7

f1(− 8) − f1(− 4) 70 = − 8 − ( −4) 153

Lokaler Anstieg: 2 x 2 −2 x −6 26 m(x ) = f1′(x ) = , m ′(x ) = f1′′(x ) = 2 − x x (2 −1) 3 (2 1)

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Mathematik Leistungskurs

5

10_Ma_L_E1.2_V2

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010

Teilaufgabe

Länder Berlin und Brandenburg

BE/AB

Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

I

II

III

26 = 0 hat keine Lösung, d.h. der maximale (2 x − 1)3 Anstieg liegt an der Randstelle x = −8 oder x = − 4 138 34 f1′( −8) = ; f1′(− 4 ) = ; f ′ (− 8) > f 1′(− 4 ) 81 1 289 Der maximale Anstieg liegt bei x = −8 . Die Gleichung

Maximaler und durchschnittlicher Anstieg von G1 unterscheiden sich 52 im gegebenen Intervall um ( < 0,02) . 2601

4

Summen der BE in den Anforderungsbereichen 16 20 4 Summe der BE

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Mathematik Leistungskurs

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10_Ma_L_E1.2_V2

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010

Länder Berlin und Brandenburg

Aufgabe 2.1: Haus am Hang Die Ebene E ist durch die Gleichung y +10 z = 0 gegeben. E stellt einen Hang dar, auf dem ein Haus errichtet werden soll. Wegen der Hanglage des Grundstücks müssen ein Fundament und eine zur x-y-Ebene parallele, rechteckige Bodenplatte mit den Eckpunkten A(10 | 4 | 0,5) , B (0 | 4 | 0,5 ) , C (0 | −5 | 0,5 ) und D(10 | − 5 | 0,5) gebaut werden, auf der das Haus aufgestellt werden kann. Das Dach des Hauses reicht an zwei Seiten bis auf die Bodenplatte herunter (sog. „Nur-Dach-Haus“). Die vordere und die hintere Dachspitze sind durch die Punkte S (5 | 4 | 8 ) und T (5 | −5 | 8) gegeben. Eine Längeneinheit entspricht 1 m. a) Weisen Sie nach, dass die Punkte C und D direkt auf dem Hang liegen. Zeichnen Sie das Haus in das vorgegebene Koordinatensystem ein. b) Die Hangneigung wird durch die in E verlaufenden Geraden h und k verdeutlicht. Die Gerade h geht durch die Punkte D und P (10 | 4 | −0,4 ) , und k verläuft parallel zu h durch C . Geben Sie für h und k eine Geradengleichung an und ergänzen Sie in Ihrer Zeichnung beide Geraden. c) Die Geschossdecke verläuft 2,5 m oberhalb der Bodenplatte. Berechnen Sie die vier Eckpunkte der Decke und die Größe der Deckenfläche. d) An der Giebelseite ABS soll eine Terrasse mit den Eckpunkten A, B , F (0 | 7 | 0,5 ) und G(10 | 7 | 0,5) gebaut werden. Dazu wird eine senkrechte Begrenzungsmauer ringsum die Terrasse bis zur Höhe der Bodenplatte errichtet und der entstehende Hohlraum mit Erde verfüllt. Zeichnen Sie die Terrasse und die Begrenzungsmauer in Ihre Zeichnung ein. Berechnen Sie das Volumen der benötigten Erde. Die Wandstärke der Begrenzungsmauer soll nicht berücksichtigt werden. e) Die Dachspitze S wirft an sonnigen Tagen einen Schattenpunkt S’ auf den Boden der Terrasse. Die Richtung der Sonnenstrahlen ändert sich mit der Zeit t und ist durch ⎛ −5t ⎞ ⎟ ⎜ r ( t ) = ⎜ (1 + t ) ⋅ 1,5 ⎟ gegeben. ⎜ − 7,5 ⎟ ⎠ ⎝ Geben Sie die Koordinaten des Schattenpunktes S’ in Abhängigkeit von t an. Berechnen Sie zwischen welchen zwei Punkten sich der Schattenpunkt in einer Stunde ( 0 ≤ t ≤ 1 ) bewegt. Beschreiben Sie die Lage dieser Punkte auf der Terrasse und die Bewegungslinie des Schattenpunktes. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile

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Aufgabenteil

a)

b)

c)

d)

e)

Summe

BE

4

4

7

8

7

30

Mathematik Leistungskurs

10_Ma_L_A2.1_V1

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010

Länder Berlin und Brandenburg

Name: .........................................................

Anlage: Haus am Hang

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Mathematik Leistungskurs

10_Ma_L_A2.1_V1.doc

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010

Länder Berlin und Brandenburg

Erwartungshorizont zu Aufgabe 2.1: Haus am Hang Teilaufgabe

a)

BE/AB

Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

I

Punktprobe für C und D liefert: − 5 +10 ⋅0,5 = 0 , somit C, D ∈ E .

II

III

1

3 b)

⎛ 0 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ h: x = ⎜ − 5 ⎟ + r ⋅ ⎜ 9 ⎟ ; r ∈ IR und k : x = ⎜ − 0,9 ⎟ ⎜ 0,5 ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ − 5 ⎟ + s ⋅ ⎜ 9 ⎟ ; s ∈ IR ⎜ − 0,9⎟ ⎜ 0,5 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2

2 c) Dachkante g AS

⎛10 ⎞ ⎜ ⎟ : x = ⎜ 4 ⎟+ r ⎜0,5 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ − 5⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ 0 ⎟ ,r ∈ IR , ⎜ 7,5 ⎟ ⎝ ⎠

1

Eckpunkt S1 als Durchstoßpunkt von gAS durch Deckenebene D: z = 3 :

1 ⎛ 25 ⎞ ⇒ S1 ⎜ 4 3⎟ , 3 3 ⎝ ⎠ Eckpunkte S2 , S3 , S4 unter Ausnutzung der Symmetrie des Hauses: ⎞ ⎛ 25 ⎞ ⎛5 ⎞ ⎛5 − 5 3 ⎟, S 2⎜ 4 3 ⎟, S 3 ⎜ − 5 3 ⎟,S 4 ⎜ ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝3 Deckenfläche: 3 = 0,5 + 7,5 r ⇒ r =

AD = S1S2 ⋅ S2 S3 =

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20 ⋅9 = 60 m2. 3

Mathematik Leistungskurs

6

10_Ma_L_E2.1_V1

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010

Teilaufgabe

Länder Berlin und Brandenburg

BE/AB

Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

I

II

III

d)

2 Die Höhendifferenz von A und B zum Hang E ist d A = d B = d ( A, P ) = 0,9 ; die Höhendifferenz von F und G zum Hang E ermittelt man z. B. aus den Projektionspunkten von F und G in E : FE 0 7 f ,G E 10 7 g ,

(

) (

)

FE ∈ E ⇒ 7 + 10f = 0 ⇒ f = −0,7 ; somit sind die Höhendifferenzen: d F = d G = f + 0,5 = 1,2 ,

4

dA + dF ⋅ 3 = 3,15 , 2 Volumen der Erde: V = 3,15 ⋅10 = 31,5 , es werden 31,5 m³ Erde benötigt.

2

Querschnittsfläche der Terrasse: A =

e)

Gerade des Sonnenstrahls durch S: ⎛ − 5t ⎞ ⎛ 5⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ : g t x = ⎜ 4⎟ + r ⋅ ⎜ (1+ t ) ⋅ 1,5 ⎟ ; r ∈ IR , ⎜ − 7,5 ⎟ ⎜ 8⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ aus der Gleichung der Terrassenebene z = 0,5 ⇒ r =1 ,

(

Schattenpunkt: S' 5 − 5 t 5,5 + 1,5 t 0,5

(

)

)

3

(

)

Anfangspunkt : S0 ' 5 5,5 0,5 , Endpunkt: S 1 ' 0 7 0,5 ,

⎛ 10 4 + 7 1 ⎞ ⎟, S 0 ' ist der Mittelpunkt M der Diagonalen AF: M ⎜⎜ 2 2 ⎟⎠ ⎝ 2 S1 ' ist der Eckpunkt F ; der Schattenpunkt bewegt sich vom Mittelpunkt der Terrasse auf der Diagonalen AF in die Ecke F .

4

Summen der BE in den Anforderungsbereichen 2 Summe der BE

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Mathematik Leistungskurs

9

4

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10_Ma_L_E2.1_V1

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010

Länder Berlin und Brandenburg

Aufgabe 2.2: Dreieck, Viereck, Quader Gegeben sind die Punkte Am ( 5 | 3 m +1| −1), Bm( −1| 2 | 2 m +1) für m ∈ /R und C ( − 1|1| − 1). a) Gegeben sind die Eckpunkte A −2 , B −2 und C eines Dreiecks. Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels A− 2CB −2 . Untersuchen Sie, ob auch die Punkte A −3 , B −3 und C Eckpunkte eines Dreiecks sind. b) Die Geraden g m verlaufen durch den Punkt C und die Punkte Am. Die Geraden hm verlaufen durch den Punkt C und die Punkte B m. Stellen Sie eine Gleichung für die Geradenschar fm auf, die durch den Punkt C und sowohl zu g m als auch zu hm orthogonal verläuft. Prüfen Sie, ob Geraden fm existieren, die I) zur y-z-Ebene parallel verlaufen, II) zur z-Achse parallel verlaufen. c) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D des Parallelogramms A1B1CD . Berechnen Sie eine Höhe dieses Parallelogramms. d) Die Punkte Am und Bm seien die Eckpunkte von Quadraten. Zeigen Sie, dass ein m ∈ /R existiert, so dass das Quadrat einen extremalen Flächeninhalt hat. e) Für − 1 ≤ m ≤ 31 bilden die Punkte Am eine Kante eines Quaders und die Punkte Bm eine zweite Kante dieses Quaders. Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte dieses Quaders an.

Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile

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Aufgabenteil

a)

b)

c)

d)

e)

Summe

BE

7

8

7

4

4

30

Mathematik Leistungskurs

10_Ma_L_A2.2_V1

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010

Länder Berlin und Brandenburg

Er...