Final 5 2015, Fragen und Antworten PDF

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Ministerium für Bildung, Jugend und Sport

Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft

Zentralabitur 2015

Mathematik Leistungskurs

Aufgaben Erwartungshorizont

Ministerium für Bildung, Jugend und Sport

Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft

Zentrale schriftliche Abiturprüfung

2015

Mathematik Leistungskurs Erwartungshorizonte Die Beschreibungen der erwarteten Leistungen enthalten keine vollständigen Lösungen, sondern nur kurze Angaben. Hier nicht genannte, aber gleichwertige Lösungswege sind gleichberechtigt. Die aufgeführten Lösungswege zeigen immer nur eine Variante auf. Für andere Lösungswege oder Lösungsansätze, die logisch dargestellt werden und zu richtigen Zwischen- oder Endergebnissen führen, sind die vorgesehenen Bewertungseinheiten (BE) entsprechend zu vergeben. Wird jedoch der dargestellte Lösungsweg vom Prüfling verwendet, so sind die BE in der angegebenen Weise aufzuteilen. Damit die Möglichkeit besteht, den eigenen didaktischen Aspekten bei der Bewertung genug Raum zu geben, werden in der Regel die BE nicht kleinschrittig zugeordnet. Die Summe der BE pro Teilaufgabe – z. B. 3.1 a) – ist verbindlich. Sind Zwischenergebnisse nicht korrekt ermittelt worden und die sich auf diesen Zwischenergebnissen aufbauenden weiteren Lösungswege schlüssig und nicht mit neuen Fehlern versehen, so sind die BE entsprechend zu erteilen (Folgefehler). Dieses Vorgehen ist nicht anzuwenden, wenn eine offensichtlich nicht sinnvolle Lösung unkommentiert bleibt oder der Lösungsweg durch den Fehler erheblich einfacher geworden ist. Die Verwendung von entsprechenden Operatoren in den Aufgabenstellungen erfordert vom Prüfling schriftliche Erläuterungen seiner Überlegungen. Bei der Bewertung dieser Erläuterungen, auf deren Darstellung im Erwartungshorizont weitgehend verzichtet wird, kann die Lehrkraft ihren pädagogischen Spielraum nutzen und sich an ihrer bisherigen Unterrichtspraxis orientieren. Im Erwartungshorizont wird teilweise auf formale mathematische Vollständigkeit verzichtet, wenn diese vom Schüler in der Regel nicht unbedingt zu erwarten ist.

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Mathematik Leistungskurs

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Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2015

Länder Berlin und Brandenburg

Aufgabe 1.1: Kelchglas In der Abbildung 1 ist ein Trinkglas in Kelchform ohne Stiel und Fuß dargestellt. Die seitliche Profillinie eines solchen Glases lässt sich mathematisch mithilfe einer Exponentialfunktion f der Form 2

− f ( x ) = −a ⋅ e bx modellieren, a, b ∈ IR , a > 0, b > 0 . Das Koordinatensystem wird gemäß der Abbildung 1 festgelegt, für die Achseneinheiten gilt: 1 LE = 1 cm.

Die Profillinie des Glases ändert ihr Krümmungsverhalten bei x = −2 und bei x = 2 . Außerdem ist ein Tiefpunkt T (0 | −12) erkennbar. a) Untersuchen Sie die Graphen aller möglichen Funktionen f in Abhängigkeit von a und b auf relative Extrempunkte und deren Art sowie auf Wendepunkte. Für die Berechnung der Wendestellen genügt die Verwendung der notwendigen Bedingung.

Abbildung 1

[Kontrollergebnis für die Berechnung der zweiten Ableitung: f ′′(x ) = ( 2ab − 4 ab 2 x 2 ) ⋅ e −bx ] 2

b) Geben Sie alle Bedingungen an, die von der Funktion f erfüllt werden müssen, damit der Graph von f die Profillinie des Glases darstellen kann. Berechnen Sie für die Profillinie des Glases die Parameter a und b. 2

[Kontrollergebnis: fGlas ( x ) = −12 ⋅ e −0,125 x ] Das Kelchglas hat eine Höhe von 10 cm. Berechnen Sie den Umfang und die Größe der Kreisfläche der Öffnung. c) Für x ≥ 0 ist der Graph von fGlas in der Anlage eingezeichnet. * Für x ≥ 0 besitzt fGlas eine Umkehrfunktion fGlas .

Zeichnen Sie als Spiegelachse die Gerade zu y = x in die Anlage ein und zeichnen Sie * . den Graphen der Umkehrfunktion fGlas * . Bestimmen Sie eine Gleichung der Umkehrfunktion fGlas * ( x ) = 8 ⋅ ln(12) − ln( −x ) mit − 12 ≤ x < 0 ] [Kontrollergebnis: fGlas * rotiert für − 12 ≤ x ≤ −2 um d) Der Graph von fGlas die x-Achse. Dabei entsteht als Rotationskörper das Kelchglas in waagerechter Lage (siehe Abbildung 2). Berechnen Sie das Volumen des Glases. Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden, dass für x < 0 gilt: ln( −x) dx = −x + x ⋅ln( −x ) + C .

∫

Abbildung 2

Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben Teilaufgabe

a)

b)

c)

d)

Summe

BE

13

11

8

8

40

Anlage

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Anlage zu Aufgabe 1.1: Kelchglas

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Erwartungshorizont zu Aufgabe 1.1: Kelchglas Teilaufgabe

a)

BE/AB

Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

I

II

III

Relative Extrema können nur existieren, wenn f ′( x) = 0 erfüllt ist. 2

f ′( x ) = 2abx ⋅ e −bx , 2abx ⋅e

−bx 2

2

= 0 ⇔ 2 abx = 0 ∨ e −bx = 0 ⇔ x = 0

3

2

f ′′( x ) = ( 2ab − 4ab 2 x 2 ) ⋅ e −bx , f ′′(0) = 2ab > 0 ; wegen f ′(0 ) = 0 und f ′′(0 ) > 0 ist null relative Minimalstelle; f (0) = −a , T (0 | −a)

5

Notwendig für Wendestellen ist f ′′( x ) = 0 : 2

2

2 2 −bx −bx =0 = 0 ⇔ 2ab − 4ab x = 0 ∨ e (2ab − 4ab 2 x 2 ) ⋅ e 2ab 1 ⇔ x2 = ⇔x=± , f ( ± 12 b ) = −a ⋅ 1e ≈ − 0,6 a , 2 4 ab 2b

 1 − 0,6 W 1  − 2b  b)

   1 a  , W 2  − 0,6 a     2b

5

Wegen des Tiefpunktes muss f (0 ) = −12 und f ′(0) = 0 gelten. Damit x = ±2 Wendestellen sind, muss f ′′ ( ±2) = 0 erfüllt sein. 2

f (0) = −12 : − 12 = −a ⋅ e − b0 ⇔ a = 12 −b0 2

f ′(0 ) = 0 : 0 = 2ab ⋅ 0 ⋅ e

⇔ 0= 0 2

f ′′ ( ±2) = 0: 0 = ( 2ab − 4ab 2 ⋅ 22 ) ⋅ e −b2 ⇔ 0 = 2ab − 16ab2 ⇔ b =

1 8

6

Für die Oberkante des Glases gilt y = −2 : 2

− 2 = −12 ⋅ e −0,125 x

⇔ x 2 = 8 ⋅ ln(6 ) , also rKreis = 2 2 ⋅ ln(6 ) .

uKreis = 4π 2 ⋅ ln(6 ), uKreis ≈ 24 cm , AKreis = 8π ⋅ ln(6) ; AKreis ≈ 45 cm 2

5

c)

Zeichnung des Graphen der Umkehrfunktion durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden:

4 Herleitung der Gleichung der Umkehrfunktion aus der

 y x2 Funktionsgleichung von f : y = −12 ⋅ e −0,125 ⇔ − 8 ⋅ ln −  = x2  12   x  ) Der Variablentausch liefert y 2 = − 8 ⋅ ln  −  ⇔ y = ± 8 ⋅ ln (− 12 x ;  12  * ( x ) = 8 ⋅ ln (− Entscheidung für y = fGlas

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12 x

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)

4

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Teilaufgabe

d)

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Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

BE/AB I

II

III

−2

VGlas = π ⋅

∫ 8 ⋅ (ln(12) − ln( − x)) dx

−12

VGlas = 8π ⋅ [ x ln(12) − ( x ln( − x ) − x) ] VGlas = 8π ⋅ [x ln(12) − x ln( − x) + x ]

−2 −12

4

−2

−12

V Glas = 8π ⋅[ − 2 ln(12 ) + 2 ln(2) − 2 −( − 12 ln(12) +12 ln(12) −12) ] V Glas = 8π ⋅( − 2 ln(6 ) + 10) , V Glas ≈ 161cm 3

4

Summen der BE in den Anforderungsbereichen 17 19 4 40 Summe der BE

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Aufgabe 1.2: Designersessel Gegeben ist die Funktionenschar fa mit

fa( x) = ax 3 − 14ax 2 + 3,42x ; a ∈ IR , a > 0 . Drei Graphen der Schar sind in der Abbildung dargestellt. a)

Weisen Sie nach, dass alle Graphen der Schar bei x n = 0 dieselbe Steigung haben. Einer der Graphen der Schar hat außer x n = 0 genau eine weitere Nullstelle. Berechnen Sie den Parameterwert dieser Funktion gerundet auf zwei Nachkommastellen.

b)

Jeder Graph der Schar hat genau einen Wendepunkt. Bestimmen Sie seine Koordinaten und weisen Sie damit nach, dass alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur y-Achse liegen. Geben Sie die Gleichung dieser Geraden an. Einer der Graphen der Schar hat an der Stelle x e = 3 einen Hochpunkt. Bestimmen Sie für die zu diesem Graphen gehörende Funktion fa die Funktionsgleichung. 5 cm

y

Der abgebildete Designersessel hat Seitenflächen, die für 0 ≤ x ≤ 9 aus der Fläche unter dem Graphen von f0,06 der gegebenen Funktionenschar (oberster Graph in der oberen Abbildung) und für 9 < x ≤ 9,5 aus einem angesetzten Rechteck von 5 cm Breite bestehen (1 LE = 10 cm).

x

c)

Bestimmen Sie die Gesamthöhe des Sessels und ermitteln Sie, wie hoch der Sessel an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche ist (Angaben in cm).

d)

Berechnen Sie die Größe der in der Abbildung sichtbaren Seitenfläche (Angabe in m 2 ). Diese Seitenfläche enthält auch die 5 cm breite Rechteckfläche am hinteren Rand. Die Seitenfläche soll grafisch neu gestaltet werden. Für die Grafik wird ein achsenparalleles Rechteck der Größe 85 cm x 30 cm benötigt. Untersuchen Sie, ob ein solches Rechteck auf die Seitenfläche passt.

e)

Für jede Stelle x 1 im Fußbereich ( x1 < 3 ) gibt es eine Stelle x 2 im Lehnenbereich ( x2 > 6,3 ) mit gleicher Steigung. Weisen Sie für f0,06 nach, dass für je zwei x-Werte x 1 und x 2 , bei denen die Steigung 28 gleich ist, gilt: x 1 + x 2 = . 3

Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben Teilaufgabe

a)

b)

c)

d)

e)

Summe

BE

9

11

7

8

5

40

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Erwartungshorizont zu Aufgabe 1.2: Designersessel Teilaufgabe

a)

BE/AB

Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

I

1. Ableitung: f a′( x) = 3 ax 2 − 28 ax + 3,42 Steigung bei x n = 0: fa′(0) = 3,42 ist unabhängig von a, somit haben alle Graphen der Schar im Punkt O(0 | 0) die gleiche Steigung.

II

III

3

Die Bedingung für Nullstellen f a ( x ) = 0 führt für x n ≠ 0 auf 3,42 ax 2 − 14ax + 3,42 = 0 bzw. x 2 − 14x + =0 . a Da die Gleichung eindeutig lösbar sein soll, muss gelten: 49 = Daraus ergibt sich: a = b)

3,42 . a

3,42 ≈ 0,07 . 49

6

2. Ableitung: fa′′( x) = 6 ax − 28 a Ermitteln der Koordinaten des Wendepunktes: 14 f a′′(x ) = 0 führt auf x w = (unabhängig vom Parameter a ). 3  14 5488  5488 a + 15,96  fa ( x w ) = − a + 15,96 , W a  | − 27 27  3 

5

Weil die Wendestellen unabhängig von a sind, liegen die Wende14 . punkte auf einer Parallelen zur y-Achse mit der Gleichung x = 3

2

Bestimmung der Funktionsgleichung:

fa′(3 ) = 0 führt auf 27 a − 84 a + 3,42 = 0 , aufgelöst a =

f0,06 (x ) = 0,06x 3 − 0,84x 2 + 3,42x c)

3,42 = 0,06 ; 57 4

Berechnung der Gesamthöhe: f 0,06 ( 9) = 6,48 ; Sesselhöhe ist 64,8 cm. Berechnung des lokalen Tiefpunktes: Die notwendige Bedingung f0′,06 ( x) = 0 für Extremstellen ergibt

14 5 ± ; da x 1 = 3 die in Aufgabenteil b) gegebene 3 3 19 Maximalstelle ist, muss x2 = die Minimalstelle sein. 3  19  Berechnung der Sitzhöhe: f 0,06   ≈ 3,2 ; Sitzhöhe: 32 cm. 3  x 1;2 =

d)

7

Flächenberechnung: 9

∫

[

A = ( f0,06 ( x ))dx + A R = 0,015 x4 − 0,28 x3 + 1,71x 2

]

9 0

+ 0,5 ⋅ 6,48

0

A = 32,805 + 3,24 = 36,045 Die Seitenfläche ist 3604,5 cm2 ≈ 0,36 m 2 groß.

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4

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Teilaufgabe

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Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

noch d) Die Breite des Rechtecks könnte 30 cm sein, da die Sitzhöhe 32 cm ist. Das Rechteck müsste sich von der hinteren Kante ( x = 9,5) bis nach vorne zu x = 1 erstrecken. Da f0,06 (1) = 2,64 < 3 , passt ein so großes Rechteck nicht auf die Seitenfläche. e)

(

2

I

II

III

4

)

− x2 = 1,68⋅ ( x1 − x2 ) ; f 0′,06 (x 1 ) = f 0′,06 (x 2 ) führt auf 0,18 ⋅ durch Division mit ( x1 − x2 ) ≠ 0 ergibt sich: 28 0,18 ⋅( x1 + x 2) = 1,68 ⇔ x 1 + x 2 = 3 2 x1

BE/AB

5

Summen der BE in den Anforderungsbereichen 16 19 5 Summe der BE 40

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Aufgabe 2.1: Campingzelt Im Bild ist ein Campingzelt mit fünfeckiger Grundfläche dargestellt, von dem die Punkte A(3 | 4 | 0) , B (4 | 3,5 | 0 ) , C(5 | 4 | 0) , D( 5 | 6,5 | 0) und E(4 | 4 | 1,5) gegeben sind (Skizze nicht maßstabsgerecht, 1 LE = 1 m ). Die Punkte E und F sind Anfangs- und Endpunkt der zum Erdboden parallel verlaufenden oberen Zeltkante. Das Zelt hat eine Höhe von 1,50 Metern und ist symmetrisch zur Ebene durch die Punkte E, B und F.

F E

L* D

A C

B

a) Die fünfeckige Grundfläche dieses Zeltes wird von dem gleichschenkligen Dreieck ABC und dem Rechteck mit den Seitenlängen AC und CD gebildet. Ermitteln Sie die Größe der Grundfläche. b) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung für die Ebene H , in der die Zeltfläche BCE dieses Zeltes liegt. [Kontrollergebnis für H : − 3 x + 6 y − 2 z = 9 ] c) Im Punkt L( 7,25 | −0,625 | 9,75) ist ein punktförmig gedachter Lautsprecher installiert, der auf der Zeltfläche BCE den Schattenpunkt L* erzeugt. Die einfallenden Sonnenstrahlen werden vereinfacht als parallel angenommen und  − 2   verlaufen in Richtung des Vektors  3  .  − 6   Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes L* sowie die Größe des Winkels, unter dem die Sonnenstrahlen auf die Zeltfläche BCE treffen. d) Die obere Kante der „Eingangsöffnung des Zeltes“ liegt in der Ebene CDFE und verläuft im Abstand von 50 Zentimetern parallel zur Zeltkante EF . Prüfen Sie, ob ein Kind mit 1,15 m Körpergröße aufrecht, also ohne sich bücken zu müssen, durch diesen Eingang gehen kann. e) Im Inneren des Zeltes haben die Camper eine kleine Lampe aufgehängt. Diese befindet sich genau 25 cm unter dem Mittelpunkt der Zeltkante EF mit F( 4 | 6,5 | 1,5) . Prüfen Sie, ob der Sicherheitsabstand von 0,2 m zur Zeltfläche CDFE eingehalten wird.

Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben

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Teilaufgabe

a)

b)

c)

d)

e)

Summe

BE

7

5

7

4

7

30

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Erwartungshorizont zu Aufgabe 2.1: Campingzelt Teilaufgabe

a)

Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

BE/AB I

II

III

Ermitteln der Grundfläche:

AC = 2 LE, CD = 2,5 LE (aus Koordinatenvergleich der Punkte) ARe = 5 FE

3

Der Mittelpunkt MAC ist Fußpunkt der Höhe des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit der Basis AC.

MAC (4 | 4 | 0 ) , hAC = 0,5 LE (aus Koordinatenvergleich der Punkte 1 MAC und B), A ∆ = ⋅ 2⋅ 0,5 = 0,5 FE 2 Die Grundfläche des Campingzelts hat eine Größe von 5,5 m 2. b)

Koordinatengleichung der Ebene H:

 1   0      nH = BC × BE =  0,5 ×  0,5  0   1,5     

 0,75    = − 1,5   0,5   

Koordinatengleichung von H: 3 x − 6 y + 2 z = −9 c)

4

5

Bestimmung der Koordinaten von L*:

 7,25   − 2       Geradengleichung für Sonnenstrahl durch L: x =  − 0,625  + r  3   9,75   − 6      Durchstoßpunkt Gerade - Ebene H: 3( 7,25 − 2 r) − 6( − 0,625 + 3 r) + 2(9,75 − 6 r) = −9 ; r = 1,5 Der Schattenpunkt von L ist L * (4,25 | 3,875 | 0,75 ).

Ermitteln des Winkels: sinα =

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− 2 − 3       3  ⋅ 6  − 6 − 2       − 2 − 3       3  ⋅ 6   − 6 − 2    

Mathematik Leistungskurs

=

4

36 ; α ≈ 47,3° 49

3

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Teilaufgabe

d)

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Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

BE/AB I

II

III

Prüfen, ob das Kind aufrecht durch die „Tür“ gehen kann: Es sei P ein Punkt auf der Geraden durch die Oberkante:  1  4    1 0,5  ⋅  0  ; P(4,28 | 4 | 1,08 ) ⋅ EC =  4  + OP = OE + 0,5 ⋅ 3,25  EC   1,5  −1,5    1,08 < 1,15 Da die z-Koordinate von P kleiner ist als das Kind groß ist, kann das Kind nicht aufrecht durch die „Türöffnung“ gehen.

e)

4

Abstand der Lampe zur Zeltfläche CDFE:

E( 4 | 4 | 1,5) , F ( 4 | 6,5 | 1,5) , also: M EF ( 4 | 5,25 | 1,5) Die Lampe befindet sich im Punkt R(4 | 5,25 | 1,25) .

 − 1 5  0         Gleichung der Ebene E durch E, C und F: x =  4  + u  2,5  + v  0   1,5  0  0        bzw. 1,5 x + z = 7,5 ; d( R; E) =

1,5 ⋅ 4 + 1,25 − 7,5 3,25

≈ 0,139 , 0,139 < 0,2

Der Sicherheitsabstand von 0,2 m wird nicht eingehalten, da der Abstand zur Zeltflächenebene E mit 0,139 m kleiner ist.

7

Summen der BE in den Anforderungsbereichen 12 14 4 Summe der BE 30

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Aufgabe 2.2: Berliner Gaslaterne In Berlin gibt es so genannte Schinkellaternen, die zum Teil noch mit Gas betrieben werden (siehe Foto 1). Der verglaste Laternenkopf ist ein (umgedrehter) regelmäßiger, sechsseitiger Pyramidenstumpf mit pyramidenförmiger Abdeckung. Die Zierelemente werden nicht beachtet. Das Koordinatensystem wird so gelegt, dass der Laternenfuß im Punkt O(0|0|0) liegt. Die Gehwegfläche entspricht der x-y-Ebene. Von folgenden Eckpunkten des Pyramidenstumpfes (siehe Foto 2) sind die Koordinaten bekannt: A(7 | −7 3 | 320 ) , B(14 | 0 | 320 ) ,

C (7 | 7 3 | 320 ) , D(24 | 0 | 360 ) . 1 LE = 1 cm.

(Foto 1)

(Foto 2)

a)

Die Geraden, auf denen die schrägen Kanten des verglasten Laternenkopfes liegen, schneiden sich in einem Punkt auf der z-Achse. Berechnen Sie dessen Koordinaten.

b)

Die Glasscheibe mit den Eckpunkten A, B und D liegt in einer Ebene E 1 . Die Glasscheibe mit den Eckpunkten B, C un...