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Ministerium für Bildung, Jugend und Sport

Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Familie

Zentralabitur 2018 Nachschreibtermin

Mathematik Leistungskurs

Aufgaben Erwartungshorizont

Ministerium für Bildung, Jugend und Sport

Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Familie

Zentrale schriftliche Abiturprüfung

2018

Mathematik Leistungskurs Hinweise Die Beschreibungen der erwarteten Leistungen enthalten keine vollständigen Lösungen, sondern nur kurze Angaben. Hier nicht genannte, aber gleichwertige Lösungswege sind gleichberechtigt. Die aufgeführten Lösungswege zeigen immer nur eine Variante auf. Für andere Lösungswege oder Lösungsansätze, die logisch dargestellt werden und zu richtigen Zwischen- oder Endergebnissen führen, sind die vorgesehenen Bewertungseinheiten (BE) entsprechend zu vergeben. Wird jedoch der dargestellte Lösungsweg vom Prüfling verwendet, so sind die BE in der angegebenen Weise aufzuteilen. Damit die Möglichkeit besteht, den eigenen didaktischen Aspekten bei der Bewertung genug Raum zu geben, werden in der Regel die BE nicht kleinschrittig zugeordnet. Die Summe der BE pro Teilaufgabe – z. B. 3.1 a) – ist verbindlich. Sind Zwischenergebnisse nicht korrekt ermittelt worden und die sich auf diesen Zwischenergebnissen aufbauenden weiteren Lösungswege schlüssig und nicht mit neuen Fehlern versehen, so sind die BE entsprechend zu erteilen (Folgefehler). Dieses Vorgehen ist nicht anzuwenden, wenn eine offensichtlich nicht sinnvolle Lösung unkommentiert bleibt oder der Lösungsweg durch den Fehler erheblich einfacher geworden ist. Die Verwendung von entsprechenden Operatoren in den Aufgabenstellungen erfordert vom Prüfling schriftliche Erläuterungen seiner Überlegungen. Bei der Bewertung dieser Erläuterungen, auf deren Darstellung im Erwartungshorizont weitgehend verzichtet wird, kann die Lehrkraft ihren pädagogischen Spielraum nutzen und sich an ihrer bisherigen Unterrichtspraxis orientieren. Im Erwartungshorizont wird teilweise auf formale mathematische Vollständigkeit verzichtet, wenn diese vom Schüler in der Regel nicht unbedingt zu erwarten ist.

_____________________________________________________________________________________________________ Seite 2 von 27 N_18_Ma_LK_LH Mathematik Leistungskurs

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Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Familie

Zentrale schriftliche Abiturprüfung

2018

Mathematik Leistungskurs Aufgabenvorschlag Hilfsmittel:

Nachschlagewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprache Formelsammlung, die an der Schule eingeführt ist bzw. für Berlin von der zuständigen Senatsverwaltung für die Verwendung im Abitur zugelassen ist. Taschenrechner, die nicht programmierbar und nicht grafikfähig sind und nicht über Möglichkeiten der numerischen Differenziation oder Integration oder des automatisierten Lösens von Gleichungen verfügen.

Gesamtbearbeitungszeit:

270 Minuten inkl. Lese- und Auswahlzeit

Aufgabenstellung 1 Thema/Inhalt:

Analysis

Hinweis:

Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 1.1 oder 1.2 zur Bearbeitung aus.

Aufgabenstellung 2 Thema/Inhalt:

Analytische Geometrie

Hinweis:

Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 2.1 oder 2.2 zur Bearbeitung aus.

Aufgabenstellung 3 Thema/Inhalt:

Stochastik

Hinweis:

Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 3.1 oder 3.2 zur Bearbeitung aus.

_____________________________________________________________________________________________________ Seite 3 von 27 N_18_Ma_LK_LH Mathematik Leistungskurs

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2018

Länder Berlin und Brandenburg

Aufgabe 1.1: Klettergarten Gegeben sind die Funktionen fa mit der Gleichung 1

fa ( x) = e 2

ax − a

1 − ax + a 2

+e

; x ∈ IR, a ∈ IR, a ≠ 0 . Die Graphen dieser Funktionen sind G a .

a) Begründen Sie, dass keine der Funktionen fa eine Nullstelle hat und geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von f a für x → +∞ und x → −∞ an. b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a die Koordinaten des Schnittpunktes von G a mit der y-Achse. Genau zwei Graphen G a schneiden die y-Achse im Punkt S y (0 | 174 ) . Bestimmen Sie für die zugehörigen Graphen die Parameterwerte. Nutzen Sie zum Lösen der Gleichung das Verfahren der Substitution und ersetzen Sie den Term e a durch die Variable z. c) Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art des lokalen Extrempunktes von G 1. Zeigen Sie, dass dieser Punkt auch für alle anderen Graphen G a der lokale Extrempunkt ist und dessen Art stets mit der des Extrempunktes von G1 übereinstimmt. d) Die Tangente an G 1 im Punkt P(0 | e +

1 e

)

sei t. Eine Gerade g schneidet t auf der

y-Achse. Die Geraden g und t schließen mit der x-Achse ein gleichschenkliges Dreieck ein. Die Basis des Dreiecks liegt auf der x-Achse. Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden g. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass das gleichschenklige Dreieck nicht rechtwinklig ist.

Einige Graphen G a sind in bestimmten Intervallen geeignet, Seile oder Querschnitte von Hängebrücken in einem Klettergarten zu modellieren. Im Folgenden gilt 1 LE = 0,75 m . Die x-Achse verläuft modellhaft in Höhe des Erdbodens. Die Dicke der Seile wird ebenso wie die Stärke der anderen Klettergeräte vernachlässigt.

e) Die Profillinie des Querschnitts einer Hängebrücke wird im Intervall

[ 0; 8 ]

durch den

Graphen G 0,5 modelliert. Berechnen Sie den Höhenunterschied zwischen dem Anfangs- und Endpunkt dieser Hängebrücke. Ermitteln Sie die Größe des Winkels, in dem die Hängebrücke am steilsten verläuft.

Fortsetzung auf der nächsten Seite

_____________________________________________________________________________________________________ Seite 4 von 27 N_18_Ma_LK_LH Mathematik Leistungskurs

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2018

Länder Berlin und Brandenburg

Fortsetzung von Aufgabe 1.1: Klettergarten f)

Die Querschnittsfläche unter der Hängebrücke von Teilaufgabe e) wird bei besonderen Events für Aufsteller unterschiedlicher Größen genutzt. Diese Aufsteller nehmen zusammen 60 Prozent der Querschnittsfläche unter der Hängebrücke ein. Berechnen Sie die Größe der durch die Aufsteller nutzbaren Fläche.

(

g) An einem Seil kann man vom tiefsten Punkt (2 | 2 ) des Seils zum Punkt Q − 1 | e 1 + e −1 des Seils klettern. Bestimmen Sie den Parameterwert a > 0 des Graphen G a , mit dem

)

das Kletterseil modelliert werden kann.

Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben Teilaufgabe

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Summe

BE

4

8

13

6

9

7

3

50

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Länder Berlin und Brandenburg

Erwartungshorizont zu Aufgabe 1.1: Klettergarten Teilaufgabe

a)

BE/AB

Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

I

Begründung: Da beide Summanden stets größer als null sind, kann auch die Summe nicht null sein. Damit kann keine Funktion fa eine Nullstelle haben.

II

III

2

Verhalten der Funktionswerte von fa für x → +∞ und x → −∞ : Für x → + ∞ streben die Funktionswerte von fa unabhängig von a gegen + ∞ . Für x → −∞ streben die Funktionswerte von f a unabhängig von a ebenfalls gegen + ∞ . b)

(

− Schnittpunkt mit der y-Achse: fa ( 0) = e a + ea , S y 0 | e −a + e a

Ermitteln des Parameterwertes a: e −a + e a = Substitution: e a = z ;

z1 = 4 , z2 =

1 17 17 +z= ⇔ z2 − z +1 = 0; 4 4 z

1 4

Ermitteln des Extrempunktes von G1 : f1(x ) = e 2 1

f 1′( x) =

f1′′(2 ) =

x −1

1 4

+e

1

5

− 12x +1

1 1x −1 1 − 1 x +1 1 12 x −1 1 − 12 x +1 − e , f 1′′(x ) = e 2 + e 2 e 4 4 2 2

f 1′(x ) = 0 ⇔

2

17 4

Nach Resubstitution erhält man a1 = ln 4 und a 2 = ln c)

)

2

3

1 1 12 x − 1 1 − 12 x +1 1 e = e ⇔ x − 1 = − x +1 , x = 2 2 2 2 2

1 > 0 , lokales Minimum, f 1(2 ) = 2 , T (2 | 2 ) 2

4

noch c) Nachweis, dass T (2 | 2 ) lokaler Tiefpunkt aller Graphen G a ist:

fa′( x ) = fa′( 2) =

1 ax a 1 12ax −a 1 − 12ax +a 1 1 − − 1 ax+ a , fa′′( x ) = a2 e 2 ae − ae + a2 e 2 2 2 4 4

1 0 1 0 ae − ae = 0 , 2 2

1 1 1 fa′′( 2) = a 2e 0 + a 2e 0 = a 2 > 0 für a ≠ 0 , lokales Minimum 4 4 2 fa (2) = e0 + e0 = 2 Der Punkt T (2 | 2 ) ist lokaler Tiefpunkt aller Graphen G a .

6

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Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2018

Teilaufgabe

d)

Länder Berlin und Brandenburg

BE/AB

Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

I

II

III

Bestimmen der Gleichung der Geraden g:

1 −1 1 1 e − e 2 2 Die Gerade g muss den entgegengesetzten Anstieg der Tangente haben. Wegen des Schnittpunktes mit t auf der y-Achse hat sie außerdem den y-Achsenabschnitt n = f1 (0 ) = e + e1 mt = f 1′(0 ) =

g: y =

1 (e − 2

1 e

)x + e + e1

4

Begründung: Das gleichschenklige Dreieck kann nur rechtwinklig sein, wenn die Basiswinkel, die den Schnittwinkeln von t und g mit der x-Achse entsprechen, eine Größe von 45° haben. Wegen mt = e)

1 −1 1 1 e − e ≠ −1 und mt ≠ 1ist das nicht möglich. 2 2

2

Höhenunterschied: f0,5 ( 8) = e 1,5 + e − 1,5 ≈ 4,705 LE , f 0,5 (0 ) = e−

d = f0,5( 8) − f0,5( 0) = 2,45 LE , 2,45 LE ⋅

0,5

+ e 0,5 ≈ 2,255 LE ,

0,75 m ≈ 1,84 m LE

Der Höhenunterschied beträgt circa 1,84 Meter.

4

Der Graph G 0,5 hat keine Wendestelle, daher kann die steilste Stelle nur an einer der beiden Randstellen des Intervalls liegen.

1 1,5 1 −1,5 ≈ 1,065 und e − e 4 4 1 1 f0′,5 (0 ) = e −0,5 − e0,5 ≈ − 0,26 ist es im Punkt V (8 | f0,5 (8 )) am 4 4 1 1,5 1 −1,5 ; α ≈ 46,8° steilsten. Es gilt: tan α = e − e 4 4

Wegen f0′,5 (8 ) =

f)

5

Querschnittsfläche unter der Hängebrücke: 8

A = f 0,5 (x )dx =

∫

0

∫(e

8

1x − 1 4 2

0

(

+e

− 1x + 1 4

2

)dx = 4e

1x 4

−

1 2

− 4e

− 1 x+ 4

1 2

8

  0

)

= 4e 1,5 − 4e − 1,5 − 4e − 0,5 − 4e 0,5 ≈ 21,2 FE 1 FE = 0,5625 m 2, 21,2 FE = 11,925 m 2 60 Prozent dieser Fläche entsprechen 7,155 m2 . Die durch die Aufsteller nutzbare Fläche hat eine Größe von 7,155 m2 .

7

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Teilaufgabe

g)

Länder Berlin und Brandenburg

BE/AB

Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

I

II

III

Bestimmen des Parameterwertes: Nach Einsetzen des Punktes Q − in die Funktionsgleichung von fa erhält man e 1 + e 1 = e

Durch einen Vergleich der Exponenten erhält man a =

− 32 a

2 . 3

3

a

+e2 . 3

Summen der BE in den Anforderungsbereichen 16 20 14 Summe der BE 50

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Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2018

Länder Berlin und Brandenburg

Aufgabe 1.2: Gleise Gegeben sind die Funktionen fa mit f a (x ) = 2x + ln(ax + 1) , a ∈ IR Die zugehörigen Graphen sind G a . a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f1 . Zeigen Sie, dass der Koordinatenursprung O gemeinsamer Punkt aller Graphen G a ist. Genau ein Graph G a schneidet die x-Achse außer im Koordinatenursprung auch noch im Punkt P(1 | 0) . Ermitteln Sie für diesen Graphen den zugehörigen Parameterwert a. b) Für eine reelle Zahl a ist der zugehörige Graph G a eine Gerade. Geben Sie für diesen Fall den Parameterwert an. Der Graph G− 4 hat genau einen lokalen Extrempunkt. Zeigen Sie, dass die 1. Ableitung der Funktion f−4 durch die Gleichung f−′4 (x ) = 2 + 4 (4 x − 1) 1 beschrieben werden kann. 1 Zeigen Sie, dass der Extrempunkt von G − 4 den x-Wert − hat. 4 Ermitteln Sie den zugehörigen y-Wert und weisen Sie ohne Zuhilfenahme der zweiten Ableitung nach, dass der zugehörige Extrempunkt ein lokaler Hochpunkt ist. −

c) Der Graph G a hat einen Extrempunkt an der Stelle x e = −

2+a , falls x e zum 2a

Definitionsbereich von fa gehört. Untersuchen Sie, für welche Parameterwerte a das der Fall ist. d) Bilden Sie unter Verwendung der Funktion fa′ : fa′ (x ) = 2 + a ⋅ (ax + 1) die zweite Ableitung der Funktion fa . Begründen Sie, dass die Krümmungsart eines Graphen G a in jedem seiner Punkte gleich ist. −1

Der Graph der Funktion G −4 und der Graph einer Funktion h, die man durch Spiegelung von G − 4 am Koordinatenursprung erhält,

modellieren im Intervall [− 0,5 ;0,5 ] den Verlauf der Gleise für eine Parkbahn. Vereinfacht wird die Breite der Gleise vernachlässigt. Es gilt: 1 LE = 100 m .

Fortsetzung auf der nächsten Seite _____________________________________________________________________________________________________ N_18_Ma_LK_LH Seite 9 von 27 Mathematik Leistungskurs

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2018

Länder Berlin und Brandenburg

Fortsetzung von Aufgabe 1.2: Gleise e) Geben Sie eine Gleichung für die Funktion h an. Begründen Sie, dass die Gleise im Koordinatenursprung eine gemeinsame Tangente besitzen, das heißt, dass die Gleise ohne Knick ineinander übergehen, unabhängig davon, aus welcher Richtung man kommt und in welche man weiterfährt. Ermitteln Sie die Gleichung einer quadratischen Funktion p derart, dass dieser Übergang ebenso ohne Knick erfolgen würde, wenn man h durch p ersetzt.

f)

Im Inneren der Fläche, die von G − 4 und der x-Achse im Intervall [− 0,5;0] eingeschlossen wird, soll ein Springbrunnen entstehen, dessen kreisförmige Grundfläche den Mittelpunkt M (− 0,3 | 0,1) hat. Ermitteln Sie eine Gleichung, mit der man den Punkt auf G − 4 bestimmen kann, der den geringsten Abstand zum Springbrunnenrand hat. Der Springbrunnen hat einen Durchmesser von sechs Metern. Der Rest der beschriebenen Fläche, die genauso groß ist wie die Fläche, die der Graph 2

1  der Funktion k : k( x) = − 3,552 ⋅  x +  + 0,222 im selben Intervall mit der 4  x-Achse einschließt, wird begrünt. Berechnen Sie die Größe dieser Grünfläche.

g) Parallel zur Tangente t an G −4 im Punkt U (− 0,5 | f −4( −0,5)) verläuft im Abstand von 20 Metern zum Punkt U ein geradliniges Teilstück eines Wanderweges, dessen Breite vernachlässigt wird. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Tangente t . Begründen Sie, warum der Punkt W (− 0,5 | f− 4 (−0,5) + 0,2 ) nicht auf dem beschriebenen Teilstück des Wanderweges liegen kann.

Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben Teilaufgabe

a)

b)

c)

d

e)

f)

g)

Summe

BE

6

11

3

5

9

10

6

50

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Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2018

Länder Berlin und Brandenburg

Erwartungshorizont zu Aufgabe 1.2: Gleise Teilaufgabe

a)

Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

BE/AB I

II

III

Definitionsbereich: x ∈ IR ∧ x > −1 Nachweis, dass O gemeinsamer Punkt ist: fa (0 ) = 0 + ln 1 = 0 Der Koordinatenursprung O(0 | 0) ist unabhängig von a und deshalb gemeinsamer Punkt aller Graphen G a .

4

Ermitteln des Parameterwertes: f a (1) = 0 ⇔ 2 + ln(a + 1) = 0 a = e −2 − 1 b)

2

Eine Gerade kann der Graph nur sein, wenn der Summand ln( ax + 1) entfällt, d.h., wenn ln(ax + 1) = 0 gilt. Das ist der Fall für a = 0 . Extrempunkt von G − 4 :

f−′4 (x ) = 2 +

1

f −4 (x ) = 2 x + ln (− 4 x + 1)

4 1 −1 = 2 + 4(4 x − 1) ⋅ ( −4) = 2 + − 4x + 1 4x − 1

3

4  1 = 0 w. z. z. w. f−′4  −  = 2 + ⋅ − 4 4 ( 14 ) − 1  

1  1 f−4  −  = − + ln 2 2  4

3

1 mit Hilfe des Monotoniekriteriums: 4 Testeinsetzungen in unmittelbarer Nähe der Extremstelle ergeben: −5 − f ′(− 0,25001) ≈ 4 ⋅ 10 > 0 und f ′(− 0,24999 ) ≈ −4 ⋅ 10 5 < 0 . Untersuchung der Stelle x = −

Damit wechselt das Monotonieverhalten der Funktion f− 4 an der 1 Stelle x = − von monoton steigend zu monoton fallend. 4 1 Somit liegt an der Stelle x = − ein lokales Maximum vor. 4 c)

Untersuchung, ob −

4

2 +a zum Definitionsbereiches von fa gehört: 2a

Der Definitionsbereich hängt vom Numerus im Funktionsterm ab, sodass lediglich dieser betrachtet werden muss.

 2+ a Einsetzen ergibt die folgende Bedingung: a ⋅  −  +1 > 0  2a  Durch Umformen erhält man: − 1 −

a +1> 0 ⇔ a < 0 2

3

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Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2018

Teilaufgabe

d)

Länder Berlin und Brandenburg

Beschreibung der erwarteten Schülerleistung

BE/AB I

II

III

Bilden der zweiten Ableitung: Unter Verwendung der Faktor- und Kettenregel erhält man: 2 fa′′(x ) = −a (ax + 1) ⋅ a = − −

2

a

(ax + 1)2

2

Die Krümmungsart des Graphen ändert sich im Wendepunkt. Die 2 a Gleichung fa′′(x ) = 0 = − hat jedoch für a ≠ 0 keine Lösung, (ax + 1)2 sodass keine Wendestelle existiert.

e)

Für a = 0 ist der Graph wie in b) beschrieben eine Gerade, bei der ebenfalls kein Wechsel der Krümmungsart möglich ist.

3

Gleichung der Funktion h : h(x ) = −f−4 (− x ) = −(2( − x) + ln( −4 ⋅( − x) + 1) = 2 x − ln (4 x + 1)

2

Aufgrund der Symmetrie zum Koordinatenursprung berühren die Graphen der zur Modellierung verwendeten Graphen einander im Koordinatenursprung, d.h., sie haben dort eine gemeinsame Tange...