Final Matemática Analítica 3 2018-1 PDF

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Warning: TT: undefined function: 32MATEMÁTICA ANALÍTICA 3 (MA337)Examen Final2018-Profesor : F- W - A - Eán - Jón.Sección : EL31- EL 32 - EL 33 - LS 33 - LS 35Duración : 150 minutosIndicaciones: Solo serán calificadas las preguntas desarrolladas en las caras derechas del cuadernillo, donde debe apa...

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MATEMÁTICA ANALÍTICA 3 (MA337) Examen Final 2018-1 Profesor : F.Jara- W.Figueroa - A.Ortiz - E.Huamán - J.Suyón. Sección : EL31- EL 32 - EL 33 - LS 33 - LS 35 Duración : 150 minutos Indicaciones:  Solo serán calificadas las preguntas desarrolladas en las caras derechas del cuadernillo, donde debe aparecer el procedimiento y la respuesta. Las caras izquierdas se utilizarán como borrador.  El orden y la claridad de los procedimientos de desarrollo serán considerados para la calificación.  Está permitido el uso de calculadoras programables y graficadoras.  No se permite el intercambio ni préstamo de útiles durante la práctica.  No se permite el uso de libros ni apuntes de clase. Parte 1: Deben aparecer los procedimientos y justificaciones que se emplearon en las resoluciones de las preguntas. Parte 2: Use la calculadora para la parte que tiene que ver con los cálculos, pero el planteamiento y proceso de la solución debe estar completo.

Parte 1 1. Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique claramente sus respuestas: 

El valor de la integral ∬𝑆 |𝑒𝑗𝜃 |𝑑𝑆 , donde S es la superficie dada por 𝑤 = 𝑓(𝑧) = √𝑧. 𝑧 (considere la superficie de altura 1) es √2𝜋. (recuerde 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 es un número complejo). (1,0 punto)

∬|𝑒 𝑗𝜃 |𝑑𝑆 = ∬ 1 𝑑𝑆 = 𝐴(𝑆) 𝑆

𝑆

Observe que la superficie es: 𝑤 = 𝑓(𝑧) = √𝑧. 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 es un cono de altura 1 y radio 1 𝐴(𝑆) = á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑜 = 𝜋𝑟𝑔 = √2𝜋 Verdad 

Sea el campo F  x  3; y  5; z  1 y la superficie S : x2  y 2  z 2  1 . Entonces

4

 F  dS es 3  . S

Por el T. Divergencia

 F  dS = ∭𝐸 S

 F  dS = ∭𝐸 S

𝑑𝑖𝑣(𝐹) 𝑑𝑉

;

(1,0 punto)

𝑑𝑖𝑣(𝐹) = 1 + 1 + 1 = 3 4

𝑑𝑖𝑣(𝐹) 𝑑𝑉 = ∭𝐸 3 𝑑𝑉 = 3 𝑉(𝐸) = 3 (3 𝜋) = 4𝜋 Falso



Si C es una curva simple, cerrada, orientada positiva entonces el trabajo del campo de fuerzas F  ( y 2 x  y )i  x2 y j alrededor de C es numéricamente igual al área encerrada por dicha curva. (1,0 punto)

Observe que el trabajo está dado por 𝑤 = ∫𝐶 𝐹. 𝑑𝑟 como C es cerrada se puede usar el T de Green. 𝑤 = ∫ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∬(𝑄𝑥 − 𝑃𝑦 )𝑑𝐴 = ∬(2𝑥𝑦 − 2𝑥𝑦 + 1)𝑑𝐴 = ∬ 𝑑𝐴 = 𝐴(𝐷) 𝐶

𝐷

Con D la región que encierra la curva C. 04/07/2018

𝐷

𝐷

Verdad

Página 1

2. Responda lo siguiente: (1,5 puntos c/u) a. El potencial eléctrico en un conductor viene dado mediante la función 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

220√2(𝑠𝑒𝑛(120𝜋𝑥) + cos(120𝜋𝑦) − ln(𝑧)). Determine la razón de cambio del potencial en el punto 𝑃(2; −1; 2) en dirección hacia el punto 𝑄(4; 0; 3). 2 2 b. Sea la función implícita: sen(2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧) − 𝑒 −𝑥 −𝑦 + ln(cos(𝑦 + 2𝑧) = 0. Determine usando la regla de la cadena

Solución:

𝜕𝑧

𝜕𝑦

.

a. Observe 𝐷𝑢 𝑉(2; −1; 2) = ∇V(2; −1; 2) . 𝑢 1

∇V(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 〈220√2 . 120𝜋 cos(120𝜋𝑥) ; −220√2 .120𝜋 𝑠𝑒𝑛(120𝜋𝑦); 𝑧〉 El vector unitario es 𝒖 =

〈2;1;1〉 √6

1

∇V(2; −1; 2) = 〈220√2 . 120𝜋 cos(240𝜋) ; −220√2 .120𝜋 𝑠𝑒𝑛(−120𝜋); 〉 2

1 〈2; 1; 1〉 𝐷𝑢 𝑉(2; −1; 2) = ∇V(2; −1; 2). 𝒖 = 〈26400√2 𝜋; 0 ; 〉 . 2 √6 b. F(x; y; z) = sen(2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧) − 𝑒 −𝑥

2−𝑦 2

Puede usar directamente la fórmula 𝑧𝑦 = −

𝐹𝑦

𝐹𝑧

=−

2 cos(2𝑧+2𝑦+2𝑧)−2𝑦𝑒

+ ln (cos(𝑦 + 2𝑧)

−𝑠𝑒𝑛(𝑦+2𝑧) −𝑥2−𝑦2+ cos(𝑦+2𝑧) −2𝑠𝑒𝑛(𝑦+2𝑧) cos(𝑦+2𝑧)

2 cos(2𝑧+2𝑦+2𝑧)+

3. Sea el sólido E limitado por la semiesfera de ecuación 𝑧 = √1 − 𝑥 2 − 𝑦 2, el cilindro con ecuación 𝑟 = 0,8 + 0,1 cos(8𝜃) y el plano 𝑧 = 0 . Determine el flujo a través de la superficie que limita el sólido E (borde o frontera del sólido). Considere el campo vectorial dado por: 𝑭(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 〈2𝑥; 4𝑦 2 𝑧; 5 − 4𝑦𝑧 2 〉 (3,0 puntos) Solución:

Usando el Teorema de la Divergencia ∬𝑆 𝐹. 𝑑𝑆 = ∭𝐸 𝑑𝑖𝑣(𝐹)𝑑𝑉

𝑑𝑖𝑣(𝐹) = 2 + 8𝑦𝑧 − 8𝑦𝑧 = 2 ∬𝑆 𝐹. 𝑑𝑆 = ∭𝐸 2 𝑑𝑉 = 2 𝑉(𝐸) 2𝜋

𝑉 (𝐸 ) = ∫0

0,8+0,1cos(8𝜃)

∫0

√1−𝑟2

∫0

𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃

4. Determine la integral de línea ∫𝐶 (𝑦 − 𝑧)𝑑𝑥 + (𝑧 − 𝑥)𝑑𝑦 + (𝑥 − 𝑦 )𝑑𝑧, siendo C una parametrización de la 𝑥 2 + 4𝑦 2 = 1 curva dada por: 𝐶: { . (1,5 puntos c/u) 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦 2 a. En forma directa. b. Utilizando el Teorema de Stokes. 04/07/2018

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Solución:

a. En forma directa Interceptando las superficies 𝐶: {

𝑥 2 + 4𝑦 2 = 1 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑧 = 1 − 3𝑦 2

Entonces una parametrización de la curva C es: 𝑟(𝑡) = 〈𝑐𝑜𝑠𝑡;

1 3 𝑠𝑒𝑛𝑡; 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡〉 ; 4 2

𝑡 ∈ [0; 2𝜋]

Observe que el campo vectorial es: 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 〈𝑦 − 𝑧; 𝑧 − 𝑥; 𝑥 − 𝑦 〉 2𝜋

Luego la integral de línea es: ∫𝐶 𝐹(𝑟(𝑡). 𝑟´(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 0 1 1 𝑠𝑒𝑛𝑡〉 . 〈−𝑠𝑒𝑛𝑡; 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 2

;

−3 2

𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡〉 𝑑𝑡 = −𝜋

3 4

1 2

〈 𝑠𝑒𝑛𝑡 − 1 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡; 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 −

3 4

𝑠𝑒𝑛2 𝑡 ; 𝑐𝑜𝑠𝑡 −

∫𝐶 (𝑦 − 𝑧)𝑑𝑥 + (𝑧 − 𝑥 )𝑑𝑦 + (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑧 = − 𝜋

Por lo tanto

c. Usando el Teorema de Stokes 𝑅𝑜𝑡(𝐹) = 〈−2; −2; −2〉

Escoger la superficie 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 entonces un vector normal es: ∇𝑓 = 〈−2𝑥; −2𝑦; 1〉 ∫𝐶 𝐹. 𝑑𝑟 = ∬𝑆 𝑅𝑜𝑡 (𝐹)𝑑𝑆 = ∬𝐷 𝑅𝑜𝑡(𝐹). ∇𝑓 𝑑𝐴 ∫ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∬ 𝑅𝑜𝑡(𝐹). ∇𝑓 𝑑𝐴 = ∬(4𝑥 + 4𝑦 − 2) 𝑑𝐴

𝐶

𝐷

𝐷

Donde D es la región: 𝑥 + 4𝑦 ≤ 1 despejando se tiene 𝑦 = ±√ 2

2

1

∫ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∬(4𝑥 + 4𝑦 − 2) 𝑑𝐴 = ∫ 𝐶

𝐷

−1

2 √1−𝑥 4

1−𝑥 2 4

∫ (4𝑥 + 4𝑦 − 2)𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝜋

1−𝑥 2 −√ 4

Parte 2 (recuerde que debe tener en cuenta en cada pregunta las dimensiones de la competencia razonamiento cuantitativo)

Potencia irradiada por una antena dipolo de longitud finita Una antena dipolo de longitud finita es uno de los dispositivos de comunicaciones más usados en las diversas instalaciones que transmiten y recepcionan señales del espectro electromagnético. Una antena en general es un dispositivo que es alimentado con una fuente de corriente alterna que varía periódicamente a lo largo del dispositivo y que produce con ello ondas electromagnéticas que viajan a través del espacio llevando la información contenida en ellas. En el caso de una antena dipolo de longitud finita, la corriente que alimenta a la antena (asumiendo que esta se sitúa en el eje z de un sistema de referencia) está dada por la siguiente expresión: 04/07/2018

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Donde L representa la longitud de la antena en cuyo interior se produce las oscilaciones de la corriente eléctrica. Un ejemplo de tal tipo de antena es la conocida antena dipolo de media longitud de onda en la cual la longitud de la antena es igual a la mitad de la longitud de onda de la señal que se está transmitiendo. En la siguiente figura se muestra tal antena: Fuente:https://www.researchgate.net/publication/289104375_Some_Aspects_of_Finite_Length_Dipole_Antenna_ Design En el estudio de los parámetros de funcionamiento de una antena son de crucial importancia la determinación de los campos eléctrico y magnético de la antena. Estas magnitudes se determinan con ayuda de la teoría electromagnética. En el caso de la antena dipolo de longitud finita, dichos campos en forma compleja se expresan por medio de las siguientes relaciones con ayuda de las variables de coordenadas esféricas  , ,  :   kl  kl     cos cos   cos   j I0 e jkr   2  2    sen sen , cos sen , 0  E   sen 2      jkr

H

jI 0 e 2

  kl     kl  cos cos   cos    2   cos cos , cos sen , sen   2    sen    

k

2



Donde la parte real de ambos vectores complejos representa los campos eléctrico y magnético producidos por la antena. Con ayuda de estos dos vectores se obtiene el llamado vector de Poynting complejo el cual representa la densidad superficial de la potencia irradiada por la antena (en forma vectorial).

W  E H Y la potencia irradiada a través de una superficie cerrada S que encierra la antena se calcula con la siguiente integral de superficie la cual representa el flujo del vector de Poynting real a través de una superficie:

Prad 

1 Re W  . dS 2  S

CASO DE ESTUDIO Una antena de uso corriente en la transmisión de señales es la antena de media longitud de onda (en otras palabras

l

 2

) usada en la transmisión de señales de radio. Tomemos para este caso una señal con longitud de onda   100

m y además tomemos k (la llamada constante de propagación) tal que: k 

2



. Finalmente tomemos la resistencia

de la antena como   50 . 04/07/2018

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5. Interpretación: Explique por qué los tres vectores E , H , W son mutuamente perpendiculares (1,0 puntos)

Podemos comprobar que E  H  0 y por lo tanto son perpendiculares. Por otro lado, W es el producto vectorial de los otros dos vectores.

6. Representación/Cálculo: Plantee la integral de superficie que calcula la potencia total irradiada si la superficie por la cual cruza la energía proveniente de la antena es una superficie esférica de radio 5m y centro en el origen de coordenadas. (3,0 puntos) Solución:

Donde dS 1 

dS 2 

Prad 

dxdy 25  x 2  y 2

dxdy 25  x 2  y 2

x, y, z (hacia arriba, z es positivo en S1)

x, y, z (hacia abajo, z es negativo en S2)

1 Re W  . dS  2  S 2

  kl   kl   cos    cos   2  cos  I 2   2   cos  sen 2, sen  sen 2, - sen  cos  .dS  1 D 80 2   sen     2

  D

  kl   kl   cos   cos   2  cos I0  2   2   cos  sen2  , sen sen2  , - sen cos .dS 2 2   sen 8    

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Donde x   cos  sen  ; y  sen sen ; z   cos  D: x 2  y 2  25

Energía en un circuito magnético dentro de un relay Un relay es uno de los dispositivos electromagnéticos más usados para interrumpir o reiniciar el flujo de corriente en un motor. En su forma más simple, un relay consiste en una bobina arrollada alrededor un núcleo de acero suave, una barra de acero, una armadura de metal móvil y uno o más contactos. La armadura está unida a la barra y mecánicamente ligada a por lo menos uno de los contactos. La armadura se mantiene posicionada con un resorte de modo que cuando el relay se des-energiza hay una zona llena de aire en el circuito magnético. En esta situación. Algunos relays poseen más de dos contactos. Describamos brevemente el funcionamiento de un relay. Cuando una corriente eléctrica pasa a través de la bobina genera un campo magnético el cual activa la armadura y el consecuente movimiento de los contactos abre o cierra (dependiendo de la construcción) una conexión con uno de los contactos que está fijo. Si el set de contactos está cerrado cuando el relay está des-energizado, el movimiento abre los contactos y cierra la conexión, y viceversa si los contactos estuvieran abiertos. Cuando se corta la corriente en la armadura, la armadura retorna a su posición inicial con una fuerza la cual es aproximadamente la mitad de la fuerza magnética. Usualmente se usa un resorte para proporcionar tal fuerza pero también se puede usar la fuerza gravitatoria. En las aplicaciones también existen los relays de estado solido los cuales no tienen partes móviles, pero en este caso nos ocuparemos del relay descrito previamente. Y el circuito magnético simplificado que caracteriza el funcionamiento físico del dispositivo en el cual se muestra la acción sobre la parte móvil la cual abre o cierra el paso de la corriente a través de una fuerza mecánica (en este caso representada por un resorte). http://laplace.us.es/wiki/index.php/Energ%C3%ADa_magn%C3%A9tica_(GIE) En la práctica es necesario evaluar la energía magnética almacenada en el dispositivo para poder así estimar la fuerza con la cual el circuito magnético atrae o repele la parte móvil del dispositivo. La fuerza almacenada corresponde al negativo del gradiente de la energía total almacenada por el dispositivo: 04/07/2018

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F   grad E  Por otro lado, para calcular la energía magnética almacenada se tiene que calcular la densidad de energía magnética en cualquier punto del espacio la cual está dada por:

B Um  2 0

2

7 2 Donde B es la inducción magnética y  0 es la permeabilidad magnética en el vacío: 0  4 10  N  A

La energía total E en una región del espacio se calcula integrando la densidad en tal región del espacio.

E   u m dV D

CASO DE ESTUDIO En la siguiente figura se muestra un relay electromecánico de uso corriente en aplicaciones eléctricas y electrónicas:

7. Argumentación/Análisis: Si la densidad de la energía magnética aumenta en el entrehierro, ¿qué sucede con la fuerza magnética que atrae o repele la placa metálica móvil sujeta al resorte? ¿aumenta, disminuye? Explique. (1,5 puntos) Al aumentar la densidad de energía magnética, la energía magnética total en el sistema se incrementa lo cual implica que la fuerza se incrementa también.

8. Representación/cálculo/análisis: Un campo magnético

B

y z x Teslas , 2 , 2 2 2 2 2 x  y  z x  y  z x  y2  z2 2

actúa en todos los puntos dentro de una esfera (excepto el origen). El centro de la esfera está en (0,0,0) y su radio es 20m. Usando los conceptos desarrollados en esta actividad, calcule la energía magnética total dentro de la esfera. (2,5 puntos)

um 

B

2

20



1 1 (en coordenadas esféricas)  2 2 20 x  y  z 2 0  2



2



La energía total en la esfera:

E   E

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1 20 

 2sen ddd  2

1 20

2   20

   senddd  0 0 0

40

0

Página 7

Monterrico, San Miguel, julio del 2018 Puntaje del examen final Pregunta

1

2

3

4

5

6

7

8

Total

Puntaje

3,0

3,0

3,0

3,0

1,0

3,0

1,5

2,5

20

Nota

04/07/2018

Página 8...