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CINEMÁTICA DEL PUNTO Y DEL CUERPO RÍGIDO. subtemas unidad v...

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CINEMÁTICA DEL PUNTO Y DEL CUERPO RÍGIDO

5.1. Movimiento rectilíneo: ecuaciones diferenciales del movimiento, movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y caída libre de cuerpos. Movimiento rectilíneo: Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen. Posición La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'. Velocidad La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t. Ejercicio Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos. Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre: 

2 y 3 s.



2 y 2.1 s.



2 y 2.01 s.



2 y 2.001 s.



2 y 2.0001 s.



Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero. Calculamos la velocidad en cualquier instante t 

La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1



La

posición

del

móvil

en

el

instante t+Dt es

x'=5(t+Dt)2+1=5t2+10tDt+5Dt2+1 

El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt2



La velocidad media es

La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.

En el instante t=2 s, v=20 m/s Aceleración

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad Dv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Dt=t'-t.

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Dt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), es aquel en el que un móvil se

desplaza

sobre

una

trayectoria recta estando

sometido

a

una aceleración constante. Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre vertical, en el cual la aceleración interviene, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad. También puede definirse como el movimiento que realiza una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.

Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad vv0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.

Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes:

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x0

Ejemplo: Elegimos la primera función y el punto t0=3.009 Elegimos ampliación 1000. La pendiente de la recta vale -1, y se muestra en la figura.

La derivada de dicha función es

para t0=3.0 la derivada tiene vale -1.0 Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre vertical, en el cual la aceleración interviene, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad. Se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva de un campo gravitatorio. Esta definición formal excluye a todas las caídas reales

influenciadas

en

mayor

o

menor

medida

por

la resistencia

aerodinámica del aire, así como a cualquier otra que tenga lugar en el seno de un fluido; sin embargo, es frecuente también referirse coloquialmente a estas como caídas libres, aunque los efectos de la densidad del medio no sean por lo general despreciables. El concepto es aplicable también a objetos en movimiento vertical ascendente sometidos a la acción desaceleradora de la gravedad, como un disparo vertical (llama este movimiento como tiro vertical); o a cualquier objeto (satélites

naturales o artificiales, planetas,

etc.)

en

órbita

alrededor

de

un cuerpo celeste. Otros sucesos referidos también como caída libre lo constituyen las trayectorias geodésicas en el espacio-tiempo descritas en la teoría de la relatividad general.

5.2 Movimiento curvilíneo: movimiento parabólico, oscilatorio y circular. Llamamos movimiento curvilíneo al movimiento que realiza una partícula o un móvil que sigue una trayectoria parabólica, elíptica, vibratoria, oscilatoria o circular. Las magnitudes que utilizamos para describir un movimiento curvilíneo son las siguientes: Vector posición: sabemos que la posición en la que se encuentra una partícula o un móvil depende del tiempo en el que nos encontremos, es decir, que varía en función del tiempo. Por tanto, como podemos observar en la siguiente imagen, la partícula se encuentra en el punto P cuando estamos en el instante t, y su posición viene dada por el vector r. Vector desplazamiento: Cuando nuestra partícula pasa de estar en el punto P en el instante t, al punto P´ en el instante t´, diremos que ésta se ha desplazado, y lo indicamos con el vector Dr, que como podemos observar en la imagen anterior, es el vector que une P y P´. Vector velocidad media: llamamos velocidad media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo que emplea en desplazarse, es decir:

Tanto el vector de la velocidad media, como el vector desplazamiento tienen la misma dirección. Vector velocidad instantánea: Este vector se obtiene al hacer el límite cuando el Dt tiende a cero:

Este vector es tangente en el punto P a la trayectoria que sigue la partícula. Vector aceleración media: De forma similar al caso de la velocidad media, la aceleración media es igual al cociente entre el incremento de velocidad y el incremento del tiempo:

Vector aceleración instantánea: Es el vector obtenido al hacer el límite cuando Dt tiende a cero:

ECUACIONES DE UN MOVIMIENTO CURVILÍNEO Teniendo en cuenta que en el plano XY un movimiento curvilíneo viene determinado por la componente del eje x y por la componente del eje y. Entonces, escribimos las ecuaciones de un movimiento curvilíneo como podemos ver en la siguiente imagen. Donde x indica el desplazamiento de una partícula, t el tiempo, v la velocidad y a la aceleración.

EJEMPLO Sabemos que un automóvil describe una curva plana. Calcular las

componentes de la velocidad y de la aceleración en cualquier instante sabiendo que su trayectoria viene determinada por las siguientes expresiones:

Las componentes de la velocidad en cualquier instante.

Las componentes de la aceleración en cualquier instante.

5.3 Movimiento de cuerpo rígido: traslación y rotación. El movimiento de traslación es el más sencillo que puede realizar el sólido rígido. Desde un punto de vista geométrico, lo podemos definir del modo siguiente: Se dice que un sólido rígido se encuentra animado de un movimiento de traslación cuando todo segmento rectilíneo definido por dos puntos de aquél permanece paralelo a sí mismo en el transcurso del movimiento. En virtud de la condición geométrica de rigidez, el vector rij = ri-rj debe mantener constante su módulo en el transcurso de cualquier movimiento y, además, en virtud de la definición geométrica del movimiento de traslación, también ha de mantener constante su dirección; entonces, siendo c un vector constante, se puede escribir:

y derivando con respecto al tiempo

constituyendo esta igualdad la condición cinemática del movimiento de traslación, esto es: Todos los puntos de un sólido rígido animado de un movimiento de traslación tienen, en cada instante, la misma velocidad. Esa velocidad, común a todos los puntos del sólido, recibe el nombre de velocidad de traslación del sólido y debe ser considerada como un vector libre. Las mismas consideraciones pueden aplicarse a la aceleración. En consecuencia, una vez definido el movimiento de un punto cualquiera del sólido rígido que se traslada, tenemos definido el movimiento del sólido. Otra característica importante del movimiento de traslación del sólido rígido es que las trayectorias recorridas por sus diversos puntos son congruentes, es decir, una se puede obtener mediante una translación de la otra. En efecto, consideremos de nuevo dos puntos cualesquiera, P iy Pj, pertenecientes al sólido, y sean ri y rj sus vectores de posición con respecto a un cierto origen arbitrario O. Imaginemos un desplazamiento experimentado en una traslación del sólido, de modo que los vectores de posición de esos puntos, con respecto al mismo origen O, sean ahora r′i y r′j, respectivamente. La condición geométrica de rigidez junto con la condición geométrica que define al movimiento de traslación, se expresa en la forma

de modo que el desplazamiento experimentado por cada uno de los puntos del sólido durante un intervalo de tiempo Δt es único. De este resultado, junto con la noción de la línea curva como límite de una poligonal y de la continuidad del movimiento, se sigue la congruencia de las trayectorias recorridas por los distintos puntos del sólido rígido.

Es conveniente que insistamos en que el movimiento de traslación no prejuzga forma alguna para las trayectorias de los distintos puntos que constituyen el sólido. Evidentemente, si la velocidad de traslación es constante (v=cte), cada uno de los puntos del sólido recorrerá una trayectoria rectilínea con celeridad constante y todas esas trayectorias serán paralelas entre sí (movimiento de traslación uniforme). Pero, en general, la velocidad de traslación no tiene por qué ser constante y la trayectoria puede ser curvilínea. Así, por ejemplo, las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpo pueden ser circunferencias, todas ellas del mismo radio (congruentes) aunque de distinto centro. Esta situación se presenta en una noria de feria de eje horizontal; la armadura de la noria gira en torno al eje (rotación), pero las barquillas suspendidas de dicha armadura, prescindiendo de pequeñas oscilaciones pendulares, experimentan una traslación con trayectoria circular. Movimiento de rotación: Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a éste. El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso, los puntos del sólido que están sobre el eje permanecen en reposo en tanto que los demás puntos describen circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los puntos del sólido están en movimiento circular alrededor del eje exterior al sólido. En cualquier caso, la velocidad v de un punto P del sólido será tangente a la circunferencia descrita y, en un instante dado, tendrá un módulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia del punto al eje de rotación. Dicha velocidad viene dada por:

Siendo un vector unitario (de módulo igual a la unidad) tangente a la trayectoria y v el módulo de la velocidad. Téngase en cuenta que necesariamente cambiará a lo largo del movimiento, ya que irá continuamente modificando su dirección hasta llegar de nuevo a la orientación original, tras completar un giro de radianes. El módulo de la velocidad, denominado celeridad, se corresponde con:

considerando s la distancia que el sólido va recorriendo a lo largo de la circunferencia. Dada la definición matemática de ángulo , se verifica que ds = rdθ, para lo cual habrá que expresar el ángulo en radianes (rad). De aquí se deduce que:

El cociente dθ/dt recibe el nombre de celeridad angular y se designa por ω:

y podemos expresar la celeridad v de cualquier punto del sólido como el producto de la celeridad angular por la distancia r del punto al eje de rotación

La introducción del concepto de celeridad angular es de gran importancia por la simplificación que supone en la descripción del movimiento de rotación del sólido, ya que, en un instante dado, todos los puntos del sólido poseen la misma celeridad angular, en tanto que a cada uno de ellos le corresponde una celeridad que es función de su distancia al eje de rotación. Así pues, la celeridad angular caracteriza al movimiento de rotación del sólido rígido en torno a un eje fijo. La celeridad angular se mide en radianes por segundo (rad/s).

REFERENCIAS:

Bernal O, (2015). Movimiento rectilíneo: ecuaciones diferenciales. Recuperado: 26 de enero de 2021. Laura, (2012). Movimiento curvilíneo. La guía de física. Recuperado: 26 de enero de 2021. Jesús, S.A. (Fecha desconocida). Movimiento de cuerpo rígido. Recuperado: 26 de enero de 2021....