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Extensive collection of the formulas used for the exam...

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Formelsammlung

Kapitel 1: Grundlagen der Kapitalmarkttheorie und des Portfoliomanagements (1.1) Periodische Anlagenrendite

(1.2) Vierjährige Rendite

r=

(Pt − P0 ) + Divt Pt − P0 Divt = + P0 P0 P0

[(1 + r1 ) (1 + r2 ) (1 + r3 ) (1 + r4 )] − 1

(1.3) Arithmetische Rendite

(1.4) Geometrische Rendite

r=

1 T r1 + r2 + . . . + rT = ∑ rt T T t=1

rG = [(1 + r1 ) (1 + r2 ) . . . (1 + rT )]

1/T

(1.5) Geldgewichtete Rendite (IRR)

T

1/T

− 1 =∏ [ (1 + rt )] t=1

−1

T

(1.6) Nominale Rendite

Cashflowst =0 (1 + IRR)t t=0 ∑

r = (1 + rRFreal )(1 + INFL)(1 + RP) − 1

E. Mondello, Portfoliomanagement, DOI 10.1007/978-3-658-02174-0, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2013

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Formelsammlung

(1.7) Reale Rendite rreal = (1 + rRFreal )(1 + RP) − 1

(1.8) Reale Rendite

(1.9) Erwartete Rendite

rreal =

(1 + r) −1 (1 + INFL)

E(r) = (1 + rRFreal ) [1 + E(INFL)] [1 + E(RP)] − 1

(1.10) Durchschnittliche Abweichung der Renditen

1 T ∑ (r − μ) T t=1 t

(1.11) Absolute durchschnittliche Abweichung der Renditen 1 T ∑ ∣rt − μ∣ T t=1

(1.12) Varianz der Grundgesamtheit

σ2 =

1 T 2 ∑ (rt − μ) T t=1

(1.13) Standardabweichung der Grundgesamtheit

 T  2 1 σ= ∑ (rt − μ) T t=1

(1.14) Standardabweichung der Stichprobe

  1 T 2  ˜ = σ ∑ (rt − r) T − 1 t=1

(1.15) Standardabweichung mit stetigen Renditen ˜σstetig

 T  2  1 = ∑ (rs,t − rs ) T − 1 t=1

Formelsammlung

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(1.16) Umrechnung Standardabweichung in einfache Renditen

(1.17) Downside-Risiko

(1.18) Value at Risk absolut

(1.19) Value at Risk in %

˜σ = eσ˜stetig − 1   1 N   ∑ Z2 T − 1 t=1 t VARabsolut = E(r)V − zα σV VARin % = E(r) − zα σ

(1.20) Value at Risk absolut mit Erwartungswert von null

VARabsolut = −zα σV

(1.21) Value at Risk in % mit Erwartungswert von null

(1.22) Subadditivität

VARin % = −zα σ VAR(A) + VAR(B) ≥ VAR(A + B)

(1.23) Schiefe

∑(rt − r) T t=1 ( ) ˜σ3 (T − 1)(T − 2) T

(1.24) Excess Kurtosis

3

4 ⎛ ∑(rt − r) ⎞ 2 T(T + 1) t=1 ⎜ ⎟ − 3(T − 1) ⎜ ⎟ ⎜ (T − 1)(T − 2)(T − 3) ˜σ4 ⎟ (T − 2)(T − 3) ⎝ ⎠ T

330

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(1.25) Bera-Jarque-Statistik

(1.26) Sharpe Ratio

Kurtosis2 T ] [Schiefe2 + 4 6 rP − rF σP

(1.27) Information Ratio rP − rB σP−B (1.28) Aktive Rendite rA = rP − rB

(1.29) Aktive Rendite

(1.30) Aktive Rendite

N

N

i=1

i=1

rA = ∑ wPi ri − ∑ wBi ri N

rA = ∑ [(wPi − wBi )ri ] i=1

(1.31) Aktive Rendite

N

rA = ∑ [(wPi − wBi )(ri − rB )] i=1

(1.32) Performance-Attribution N

N

N

i=1

i=1

i=1

rA = ∑ (wPi − wBi ) (rBi − rB ) +∑ wBi (rPi − rBi ) + ∑ (wPi − wBi ) (rPi − rBi )

Kapitel 2: Optimales Portfolio (2.1) Erwartete Rendite mit historischen Daten E(r) =

1 T ∑ rt T t=1

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(2.2) Erwartete Rendite mit prospektiven Szenarien n

E(r) = ∑ Pi ri i=1

(2.3) Erwartete Rendite bei gleichen Szenariowahrscheinlichkeiten n

E(r) =∑ Pi ri = i=1

(2.4) Varianz mit prospektiven Szenarien

1 T ∑ ri T i=1

n

σ2 = ∑ Pi [ri − E(r)]

2

i=1

(2.5) Varianz mit historischen Renditen σ2 =

1 T 2 ∑ [ri − E(r)] T − 1 i=1

(2.6) Standardabweichung mit historischen Renditen

  1 T 2  σ= ∑ [ri − E(r)] T − 1 i=1

(2.7) Erwartete Rendite von zwei risikobehafteten Anlagen

E(rP ) = w1 E(r1 ) + w2 E(r2 )

(2.8) Kovarianz mit prospektiven Szenarien n

Cov1,2 = ∑ Pi [ri,1 − E(r1 )] [ri,2 − E(r2 )] i=1

(2.9) Kovarianz mit historischen Renditen Cov1,2 =

(2.10) Korrelationskoeffizient

1 T ∑ [ri,1 − E(r1 )] [ri,2 − E(r2 )] T − 1 i=1 ρ 1,2 =

Cov1,2 σ1 σ2

332

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(2.11) Varianz eines Portfolios bestehend aus zwei risikobehafteten Anlagen σP2 = w12 σ21 + w 22 σ22 + w1 w2 Cov1,2 + w2 w1 Cov2,1 = w 21 σ21 + w22σ22 + 2w1 w2 Cov1,2

(2.12) Standardabweichung eines Portfolios bestehend aus zwei risikobehafteten Anlagen

(2.13) Kovarianz

σP =

√ w 21 σ12 + w 22 σ22 + 2w1 w2 Cov1,2 Cov1,2 = ρ 1,2 σ1 σ2

(2.14) Standardabweichung eines Portfolios bestehend aus zwei risikobehafteten Anlagen σP =

√ w12σ21 + w 22 σ22 + 2w1 w2 ρ 1,2 σ1 σ2

(2.15) Portfoliorisiko von zwei risikobehafteten Anlagen bei einem Korrelationskoeffizienten von +1 σP = w1 σ1 + w2 σ2

(2.16) Portfoliorisiko von N risikobehafteten Anlagen bei einem Korrelationskoeffizienten von +1 N

σP = ∑ wi σi i=1

(2.17) Varianz eines Portfolios bestehend aus zwei risikobehafteten Anlagen bei einem Korrelationskoeffizienten von (−1) σ2P = (w1 σ1 − w2 σ2 )2

(2.18) Standardabweichung eines Portfolios bestehend aus zwei risikobehafteten Anlagen bei einem Korrelationskoeffizienten von (−1) σP = ∣w1 σ1 − w2 σ2 ∣

(2.19) Gewichtungen von zwei risikobehafteten Anlagen bei einem Portfoliorisiko von null und einem Korrelationskoeffizienten von (−1) w1 =

σ2 σ1 + σ2

und

w2 =

σ1 = 1 − w1 σ1 + σ2

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333

(2.20) Anteil der Anlage A im Minimum-Varianz-Portfolio bestehend aus zwei risikobehafteten Anlagen wA =

σ2B − CovA,B σ2A + σ2B − 2CovA,B

(2.21) Erwartete Rendite eines Portfolios bestehend aus N risikobehafteten Anlagen N

E(rP ) =∑ wi E(ri ) i=1

(2.22) Standardabweichung eines Portfolios bestehend aus N risikobehafteten Anlagen N−1

N

N

σP = ∑ wi2 σ2i + 2 ∑ ∑ wi wj covi,j i=1

i=1 j=i+1

(2.23) Konstruktion der Effizienzkurve (Optimierungsproblem) • Zielfunktion N

N−1

N

minimiere σP2 durch Veränderung von w = ∑ wi2 σ2i + 2 ∑ ∑ wi wj ρ i,j σi σj i=1

i=1 j=i+1

• Nebenbedingungen N

E(rP ) = ∑ wi E(ri ) = Z i=1

N

und ∑ wi = 1 und allenfalls wi ≥ 0 i=1

(2.24) Gleichung der Effizienzkurve für Portfolio P σP =

√

(c −

ad a2 e d 2ae e + 2 ) + ( − 2 ) E(rP ) + 2 E(rP )2 b b b b b

(2.25) Varianz des Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen σ2P = N (

1 1 2 ) σ + N(N − 1) ( 2 ) Cov N N2

(2.26) Varianz des Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen N−1 1 2 ) Cov σ2P = ( ) σ + ( N N

(2.27) Portfoliorisiko bestehend aus einer systematischen und unsystematischen Komponente σ2P = Cov + (σP2 − Cov)

334

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(2.28) Varianz des Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen 1 σ2P = ( ) σ2 + ( N − 1 ) ρσ2 N N

(2.29) Varianz des Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen

(2.30) Nutzenfunktion

(2.31) Erwartete Rendite

σP2 = σ2 (

1−ρ + ρ) N

1 U = E(r) − Aσ2 2 1 E(r) = U + Aσ2 2

(2.32) Erwartete Rendite eines Portfolios bestehend aus einer risikolosen Anlage und einem risikobehafteten Portfolio E(rGP ) = wF rF + wP E(rP )

(2.33) Varianz eines Portfolios bestehend aus einer risikolosen Anlage und einem risikobehafteten Portfolio 2 = wF2 σ2F + wP2σ2P + 2wF wP ρ F,P σF σP σGP

(2.34) Varianz eines Portfolios bestehend aus einer risikolosen Anlage und einem risikobehafteten Portfolio 2 = wP2 σ2P σGP

(2.35) Standardabweichungen eines Portfolios bestehend aus einer risikolosen Anlage und einem risikobehafteten Portfolio √ σGP = w 2P σP2 = wP σP

(2.36) Lineare Funktion

Y = a + bX

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(2.37) Erwartete Portfoliorendite auf der Kapitalallokationslinie E(rGP ) = rF + (

E(rTP ) − rF ) σGP σTP

(2.38) Zielfunktion für die Maximierung der Sharpe Ratio

maximiere Sharpe Ratio durch Veränderung von w = N

Nebenbedingung: ∑ wi = 1

E(rTP ) − rF σTP

i=1

(2.39) Gewichtung der Anlage A für das Tangentialportfolio bestehend aus zwei risikobehafteten Anlagen wA =

[E(rA ) − rF ] σB2− [E(rB ) − rF ] CovA,B 2 [E(rA ) − rF ] σB + [E(rB ) − rF ] σA2− [E(rA ) − rF + E(rB ) − rF ] CovA,B

(2.40) Maximierung der Nutzenfunktion

1 Max U = E(rGP ) − Aσ2GP 2

(2.41) Maximierung der Nutzenfunktion

1 Max U = rF + wTP [E(rTP ) − rF ] − Aw 2TP σ2TP 2

(2.42) Nutzenmaximierendes Gewicht des Tangentialportfolios ∗ = wTP

E(rTP ) − rF 2 AσTP

(2.43) Aufnahme einer risikobehafteten Anlage in einem bestehenden Portfolio E(rneu ) − rF E(rP ) − rF >( ) ρ Rneu,P σneu σP

(2.44) Innerer Wert (Preis) einer Aktie

∞

PreisAktie = ∑ t=1

FCFEt

[1 + E(r)]

t

(2.45) Erwartete Portfoliorendite auf der Kapitalmarktlinie (mit risikolosem Geldanlagesatz) E(rOP ) = rF + (

E(rMP ) − rF ) σOP σMP

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(2.46) Erwartete Portfoliorendite auf der Kapitalmarktlinie (mit risikolosem Geldaufnahmesatz) E(rOP ) = rB + (

E(rMP ) − rB ) σOP σMP

Kapitel 3: Einfaktormodelle (3.1) Regressionsgleichung des Marktmodells Ri,t = αi + β i RM,t + ε i,t

(3.2) Erwartete Überschussrendite der Anlage i gemäß Marktmodell E(Ri ) = αi + β i E(RM )

(3.3) Varianz der Anlage i gemäß Marktmodell

2 + σ2ε,i σ2i = β 2i σM

(3.4) Kovarianz der Anlagen i und j gemäß Marktmodell 2 Cov(Ri , R j ) = β i β j σM

(3.5) Korrelationskoeffizient der Anlagen i und j gemäß Marktmodell ρ i,j =

Covi,j = σi σj

β i β j σ2M

2 [βi2σ2M + σε,i ]

1/2

[βj2σ2M + σ2ε,j ]

1/2

(3.6) Standardfehler der Schätzung bei einer linearen Regression

(3.7) Determinationskoeffizient

 T  ∑(Y − Y′)2 t  t   t=1 SEE = T−2

SSR 2 βi2σM SSR erklärte Varianz T = 2 2 = −1 = R = SST βi σ M + σ2ε,i totale Varianz SST T−1 2

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(3.8) Determinationskoeffizient R2 = 1 −

σ2 SSE unerklärte Varianz = 1 − 2 2 ε,i 2 = 1 − totale Varianz β i σM + σ ε,i SST

(3.9) t-Statistik für den „wahren“ Achsenabschnitt a t − StatistikT−2

für

(3.10) t-Statistik für die „wahre“ Steigung b

t − StatistikT−2

für

a=

α sα

b=

β sβ

(3.11) Überschussrendite des Portfolios RP = αP + β P RM + ε P

(3.12) Überschussrendite eines Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen N

RP = ∑ w i Ri = i=1

1 N 1 N ∑ Ri = ∑ (αi + β i RM + ε i ) N i=1 N i=1

(3.13) Überschussrendite eines Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen RP =

1 N 1 N 1 N ∑ αi + ( ∑ β i ) RM + ∑ ε i N i=1 N i=1 N i=1

(3.14) Beta eines Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen βP =

1 N ∑ βi N i=1

αP =

1 N ∑ αi N i=1

εP =

1 N ∑ εi N i=1

(3.15) Alpha eines Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen

(3.16) Residualrendite eines Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen

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(3.17) Portfoliovarianz bestehend aus systematischem und unsystematischem Risiko 2 2 σP2 = β 2P σM + σε,P

(3.18) Unternehmensspezifischer Anteil der Varianz eines gleichgewichteten Portfolios N 1 2 2 1 2 = σε σ2ε,P = ∑ ( ) σε,i N N i=1

(3.19) Überleitung des Kapitalmarktlinienmodells in das Marktmodell E(rP ) − rF =

[E(rM ) − rF ] [E(rM ) − rF ] σP = β P σM = [E(rM ) − rF ] β P σM σM

(3.20) Zufallsbewegung des Betas

β i,t+1 = β i,t + ε i,t+1

(3.21) Korrektur des Betas hinsichtlich der Rückkehr zum Mittelwert von 1 adjustiertes Beta = a + b × historisches Beta

(3.22) Rendite einer fair bewerteten Anlage i

ri,t = rF + β i (rM,t − rF ) + ε i,t

(3.23) Rendite einer nicht fair bewerteten Anlage i

ri,t = αi + rF + β i (rM,t − rF ) + ε i,t

(3.24) Erwartete Rendite des aktiven Portfolios

E(rA ) = αA + rF + β A [E(rM ) − rF ]

(3.25) Risiko des aktiven Portfolios

σA =

√

βA2 σ2M + σ2ε,A

(3.26) Erwartete Rendite des Treynor/Black-Portfolios

E(rOP ) = wA E(rA ) + (1 − wA )E(rM )

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(3.27) Gewichtung des aktiven Portfolios im Treynor/Black-Portfolio wA =

[E(rA ) − rF ] σM2 − [E(rM ) − rF ] Cov(rA , M r) 2 [E(rA ) − rF ] σM + [E(rM ) − rF ] σA2 − [E(rA ) − rF + E(rM ) − rF ] Cov(rA ,Mr)

(3.28) Gewichtung des aktiven Portfolios im Treynor/Black-Portfolio w∗ =

αA

αA (1 − β A ) + RM σε,2A σ2

M

(3.29) Gewichtung des aktiven Portfolios im Treynor/Black-Portfolio bei einem Beta des aktiven Portfolios von 1 αA αA /σ2ε,A R w0 = 2M = 2 σ ε,A RM /σM σ2M

(3.30) Beziehung zwischen den Gewichtungen von w 0 und w ∗ w∗ =

w0 1 + (1 − β A )w0

(3.31) Quadrierte Sharpe Ratio des Treynor/Black-Portfolios 2 SOP

=[

RM 2 αA ] ] +[ σ ε,A σM

2

(3.32) Gewichtung der Anlage i im aktiven Portfolio wi =

αi /σ2ε,i

∑αi /σ2ε,i N

i=1

(3.33) Summe der quadrierten Information Ratios der nicht fair bewerteten Anlagen [

2

N αi αA ] ] = ∑[ σ σ ε,A i=1 ε,i

2

(3.34) Sharpe Ratio und daraus abgeleitet die erwartete Portfoliorendite SP =

E(rP ) − rF → E(rP ) − rF = SP σM σM

340

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(3.35) M2 -Statistik M2 = E(rP ) − E(rM ) = [E(rp ) − rF ] − [E(rM ) − rF ]

(3.36) Durchschnittlich erzieltes Alpha gemäß Marktmodell α = R − βRM

(3.37) Regressionsgleichung zwischen den geschätzten und realisierten Alphas αP,t = a + bαt + ε t

(3.38) Varianz der prognostizierten Alphas

σ2α P = σα2 + σ2ε

(3.39) Determinationskoeffizient der Alphas

ρ2 =

σ2α σ2α + σε2

(3.40) Überschussrendite der Anlage i gemäß Marktmodell ri − rF = αi + β i (rM − rF ) + ε i

(3.41) Rendite der Anlage i (Regression zwischen Aktien- und Marktrenditen) ri = αi + β i rM + ε i

(3.42) Rendite der Anlage i

ri = rF + αi + β i rM − β i rF + ε i = αi + rF (1 − β i ) + β i rM + ε i

(3.43) Rendite der Anlage i bei einem Alpha von null

ri = rF (1 − β) + βr M + ε i

(3.44) Kovarianz zwischen den Aktien- und Marktrenditen

2 +0 Cov(ri , rM ) = Cov(β i rM + ε i , rM ) = β i Cov(rM , rM ) + Cov(ε i , rM ) = β i σM

(3.45) Beta der Anlage i

βi =

Cov(ri , rM ) ρ i,M σi σM ρ i,M σi = = σM σ2M σ2M

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341

(3.46) Beta des Marktes von 1 βM =

ρ i,M σi σM ρ M,M σM =1 = σM σ2M

(3.47) Methode der kleinsten Quadrate: Minimierung der Residuenabweichungen T

T

t=1

t=1

2 = ∑(ri,t − ri,t′ )2 ⇒ minimieren ∑ εi,t

(3.48) Erwartete Rendite der Anlage i gemäß CAPM

E(ri ) = rF + [E(rM ) − rF ] β i

(3.49) Erwartete Rendite eines Portfolios bestehend aus zwei Anlagen E(rP ) = w1 E(r1 ) + w2 E(r2 )

(3.50) Erwartete Portfoliorendite gemäß CAPM

E(rP ) = w1 rF + w1 β 1 [E(rM ) − rF ] + w2 rF + w2 β 2 [E(rM ) − rF ] = rF + (w1 β 1 + w2 β 2 ) [E(rM ) − rF ]

(3.51) Beta des Portfolios

N

βP = ∑ wi βi i=1

(3.52) Erwartete Portfoliorendite gemäß CAPM

E(rP ) = rF + [E(rM ) − rF ] β P

(3.53) Alpha der Anlage gemäß CAPM Alpha = (

(P1 − P0 ) Div1 + ) − (rF + [E(rM ) − rF ] β) P0 P0

(3.54) Erwartete Rendite einer Anlage i im Null-Beta-CAPM

E(ri ) = E(r0−Beta ) + [E(rM ) − E(r0−Beta )] β i

(3.55) Erwartete Rendite einer Anlage i nach Steuern E(ri,nach Steuern ) =

(P1 − P0 )(1 − SKG ) Div(1 − SEK ) + P0 P0

342

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(3.56) Treynor Ratio E(rP ) − rF βP (3.57) Rendite-Risiko-Gleichung des CAPM E(rP ) − rF = E(rM ) − rF βP

(3.58) Überschussrendite des Portfolios gemäß Marktmodell

(3.59) Jensen’s Alpha

E(rP ) − rF = αP + β P [E(rM ) − rF ]

(3.60) Black-Treynor Ratio

αP = E(rP ) − rF − β P [E(rM ) − rF ] αP βP

(3.61) Treynor Ratio E(rP ) − rF αP = + [E(rM ) − rF ] βP βP

(3.62) Zusammenhang zwischen Treynor Ratio und Jensen’s Alpha Treynor Ratio =

αP + [E(rM ) − rF ] βP

Kapitel 4: Multifaktormodelle (4.1) Rendite einer Anlage i bestehend aus einem erwarteten und unerwarteten Teil ri,t = E(ri,t ) + ui,t

(4.2) Rendite einer Anlage i bestehend aus einem erwarteten und unerwarteten Teil (systematisches und unsystematisches Risiko) ri,t = E(ri,t ) + mi,t + ε i,t

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(4.3) Rendite einer Anlage i gemäß makroökonomisches Multifaktormodell ri,t = E(ri,t ) + β i1F 1,t + β i2 F 2,t + . . . + β iK F K,t + ε i,t

(4.4) Portfoliorendite gemäß Einfaktormodell

rP = E(rP ) + β P F

(4.5) Rendite einer Anlage i gemäß Einfaktormodell

ri,t = E(ri,t ) + β i F t + ε i,t

(4.6) Portfoliorendite als gewichteter Durchschnitt aller Aktienrenditen (Einfaktormodell) rP = w1 [E(r1 ) + β 1 F + ε 1 ] + w2 [E(r2 ) + β 2 F + ε 2 ] + . . . + wN [E(rN ) + β N F + ε N ]

(4.7) Portfoliorendite als gewichteter Durchschnitt aller Aktienrenditen (Einfaktormodell) rP = w1 E(r1 ) + w2 E(r2 ) + . . . + wN E(rN ) + (w1 β 1 + w2 β 2 + . . . + wN β N )F + w1 ε 1 + w2 ε 2 + . . . + wN ε N

(4.8) Diversifikationseffekt am Beispiel eines Einfaktormodells 1 1 1 rP = E(rP ) + F + ε 1 + ε 2 + . . . + ε N N N N

(4.9) Diversifikationseffekt am Beispiel eines Einfaktormodells rP = E(rP ) + F

(4.10) Erwartete Rendite einer Anlage i gemäß CAPM

E(ri ) = rF + RPM β i

(4.11) Erwartete Rendite einer Anlage i gemäß makroökonomischem Zweifaktormodell E(ri ) = rF + β BIP F BIP + β INFL F INFL

(4.12) Erwartete Portfoliorendite gemäß APT

E(rP ) = rF + β P,1F 1 + β P,2 F 2 + . . . + β P,n F n

344

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(4.13) Erwartete Portfoliorendite über dem risikolosen Zinssatz gemäß APT E(r1 ) − rF = β 1 F 1 + β 2 F 2 + . . . + β n F n

(4.14) Makroökonomisches Faktormodell von Chen et al.

ri,t = αi + β i,IP IP t + β i,IT EI t + β i,UI UIt + β i,US USt + β i,ST STt +...