Formelark - Formulas for Matematikk 2 at NTNU PDF

Preview

Summary

Formelsamling for TMAØyvind Skaaden 4. juni 20191 Vektorer og parametriserte kurverVi har en parametrisert kurve på formenr(t) = (r 1 (t), r 2 (t),· · ·, rn(t)) for en kurve iRn1 SammenhengLengde|r(t)|=√r 1 (t) 2 +r 2 (t) 2 +· · ·+rn(t) 2Hastighet v(t) =r′(t) v(t) =|v(t)|=|r′(t)|Akselerasjona(t) =v′...

Description

Formelsamling for TMA4105 Øyvind Skaaden

1

4. juni 2019

2

Vektorer og parametriserte kurver

Kurver

Ellipse

Vi har en parametrisert kurve på formen r(t) = (r1 (t), r2 (t), · · · , rn (t)) for en kurve i Rn

b

1.1 Sammenheng a

−a

Lengde |r(t)| = Hastighet

p

−b

r1 (t)2 + r2 (t)2 + · · · + rn (t)2

y2 x2 =1 + b2 a2

v(t) = r′ (t) v(t) = |v(t)| = |r′ (t)|

Hyperbel

Akselerasjon a(t) = v′ (t) = r′′ (t) a(t) = |a(t)| = |v′ (t)| = |r′′ (t)|

b

1.2 Buelengde

s=

ˆ

b

|r′ (t)| dt =

a

a

−a

Buelengden er gitt ved ˆ

b

−b

v(t) dt a

1.3 Spesielle vektorer Enhetstangentvektor

x2 y2 − 2 =1 2 b a

r′ (t) v(t) ˆ T(t) = ′ = v(t) |r (t)|

3

Enhetsnormalvektor

Polarkoordinater

Vi antar alltid r > 0 og 0 ≤ θ < 2π

ˆ ′ (t) T ˆ N(t) = ˆ ′ (t)| |T

(x, y)

Krumming K (t) =

r

ˆ ′ (t)| |v(t) × a(t)| |T = v(t) v(t)3

θ

Implisitt krumnigsformel r′′ (t) =

Da gjelder følgende

d ′ ˆ t) ˆ (t) + K (t)|r′ (t)|2 N( |r (t)|T dt

r 2 = x2 + y 2 θ = arctan yx

x = r cos θ y = r sin θ

3.1 Areal Arealet av strålene fra origo til en kurve r(θ ) A= 1

1 2

ˆ

β

α

(r(θ ))2 dt

3.2 Sylinderkoordinater

Lineærisering av tangentplan, gitt a = (a, b) og x = (x, y) L(x) = f (a) + ∇f (a) · (x − a )

z

Kjerneregel. Dersom w = f (x(t, u), y(t, u)) (x, y, z ) ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w · + · = ∂y ∂t ∂x ∂t ∂t z

∂w ∂x ∂w ∂y ∂w · + · = ∂y ∂u ∂x ∂u ∂u

y

r θ

Retningsderiverte til f i punktet P (x, y, z) i retning u (enhetsvektor)

x Her gjelder de samme reglene som polarkoordinater i planet, men vi legger til et z-koordinat.

Du f (P ) = ∇f (P ) · u

r 2 = x2 + y 2 θ = arctan yx

x = r cos θ y = r sin θ z=z

4.3 Max/min Kritiske punkter 1. De punkter der ∇f = 0

3.3 Kulekoordinater

2. De punkter der ∇f ikke eksisterer

z

3. Alle punkter på randen (x, y, z ) Andrederiverttesten. La z = f (x, y), da blir ρ

φ

A= y

θ x

Da gjelder følgende

Her gjelder følgende i venstre del av tabellen. Høyre er for overgang fra sylinder til kule.

4

∂2f ∂2f (a, b) (a, b) C = ∂y2 ∂x∂y  B  = AC − B 2 C

• D < 0 → (a, b) sadelpunkt

ρ2 = r2 + z 2 ρ2 = x2 + y2 + z 2 φ = arctan ρz

x = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ

∂2f (a, b) B = ∂x2  A  D = B

• D > 0 ∧ A > 0 → (a, b) lokalt min • D > 0 ∧ A < 0 → (a, b) lokalt max • D = 0 → kan ikke konludere noe

Derivering

4.1 Partiellderivering

4.4 Langranges Multiplikatormetode

La f (f1 , f2 , · · · , fn ) være en f : Rn → R Da er den partiellderiverte til f , med hensyn på xi

Finner min/max ved å finne kritiske punkter til en funksjon L. Du finner max/min (punktet P ) på f (P ) med en eller to bibetingelser g(P ) og/eller h(P ) 1 bibetingelse:

∂f ∂xi

L(x, y, λ) = f (x, y) + λg (x, y)

Tangentplan til en f (a, b) z = f (a, b) +

∂f ∂f (a, b) · (y − b) (a, b) · (x − a) + ∂y ∂x

L(x, y, z, λ) = f (x, y, z) + λg (x, y, z) 2 bibetingelser:

4.2 Gradientvektor

L(x, y, z, λ, µ) = f (x, y, z) + λg (x, y, z) + µh(x, y, z)

Gradientvektoren er gitt ved   ∂ ∂ ∂ ∇≡ , , ∂x ∂y ∂z

Kan også si at vi skal løse likningen ∇f = λ∇g + λ∇h 2

5

Multiple integral

5.5 Variabelskifte

5.1 Dobbeltintegraler

Skifter fra x og y til u og v

Gitt et område R ∈ R2, er dobbeltintegralet (eller volumet under f (x, y) og xy-planet) gitt ved. ¨ ¨ f (x, y) dA = f (x, y) dx dy

 ∂y ∂(x, y)  ∂u = ∂(u, v)  ∂x



=

∂x  ∂v

∂u

∂y ∂x ∂y ∂x − ∂v ∂u ∂u ∂v

Tilsvarende for, men en 3 × 3-matrise

R

R

∂y  ∂v 

Flateelementet

∂(x, y, z) ∂(u, v, w)

dA = dx dy Areal av området R, setter f (x, y) = 1 A=

¨

5.6 Massesenterer

dA R

Massen av et legeme med massetetthet δ(x, y, z ) i området T

5.2 Dobbeltintegraler i polarkoordinater ¨

¨

f (x, y) dA = R

m=

f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ S

Da er flateelementet

˚

δ(x, y, z) dV = T

dm = δ (x, y) dV

5.3 Trippelintegraler

Massesenter

3

x ¯n =

Gitt et område T ∈ R ˚ ˚ f (x, y, z ) dx dy dz f (x, y, z) dV =

1 m

˚

xn dm T

T

T

Volumelementet

6 dV = dx dy dz

Vektoranalyse

Et vektorfelt er gitt på formen

5.4 Trippelintegraler i sylinder- og kulekoordinater

F(x, y, z) = (P (x, y, z ), Q(x, y, z ), R (x, y, z )) Divergens og Curl

Sylinderkoordinater

T

dm T

Masseelementet dA = r dr dθ

˚

˚

div F = ∇ · F =

f (x, y, z) dV = ˚

f (r cos θ, r sin θ, z)r dz dr dθ

T′

curl F = ∇ × F =

Volumelement





∂P ∂R ∂Q + + ∂z ∂y ∂x



∂R ∂P ∂R ∂Q ∂Q ∂P − , − , − ∂x ∂x ∂z ∂z ∂y ∂y

dV = r dz dr dθ

6.1 Linjeintegral

Kulekoordinater ˚

Med hensyn på buelengde

f (x, y, z) dV = T ˚ f (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ)

ˆ

f (x, y, z) ds =

ρ2 sin φ dρ dφ dθ

b

f (r(t)) · |r′ (t)| dt

a

C

T′

ˆ

Linjeintegral for vektorfelt

Volumelementet ˆ

2

dV = ρ sin φ dρ dφ dθ

C

3

ˆ ds = F·T

ˆ

C

F dr =

ˆ

b

F(r(t)) · r′ (t) dt a



6.2 Flateintegraler

6.5 Greens teorem

La r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z (u, v))

La C være en lukket kurve i xy-planet, og R være området innenfor C

∂r ∂r × ∂u ∂v Arealet av en flate S over området R  ¨ ¨   ∂r ∂r  ×  du dv A = areal(S) = dS =  ∂v R ∂u R N(u, v) =

˛

C

La S være en stykkevis glatt og lukket flate og la T være området S omslutter. " ˚ ˚ ˆ dS = div F dV F·N ∇ · F dV = S

Da blir

  ∂h ∂h ,− ,1 N(x, y) = − ∂x ∂y s  2  2 ¨ ∂h ∂h A = areal(S) = 1+ + dx dy ∂y ∂x R og

f (x, y, z) dS = S

R



∂h ∂x

2

+



∂h ∂y

2

dx dy

6.3 Fluksintegral ¨

ˆ dS F·N S

ˆ er enhetsnormalen til S . der N

6.4 Konservative vektorfelt Et vektorfelt F er konservativt dersom det finnes en potensialfunksjon φ(x, y, z) slik at F(x, y, z) = ∇φ(x, y, z ) Da gjelder også ∂Q ∂P = ∂y ∂x

∂R ∂P = ∂z ∂x

dA

6.7 Divergensteoremet

r(x, y) = (x, y, h(x, y))

f (x, y, h(x, y)) 1 +



S

C

Dersom z = h(x, y):

s

R

C

∂Q ∂P − ∂x ∂y

La S være en stykkevis glatt flate med randkurve C , ˆ orientert likt på S og C . med en enhetsnormal N ¨ ˛ ˆ dS (curl F) · N F dr =

Dersom du har en f (x, y, z ) som er en kontinuerlig funksjon og r(u, v) er en parametrisering av flaten S   ¨ ¨  ∂r ∂r   du dv × f (x, y, z) dS = f (r(u, v))  ∂u ∂v  R S

¨

P dx + Q dy =

¨ 

6.6 Stokes’ teorem

Arealelementet eller flateelementet    ∂r ∂r  dS = |N(u, v)| du dv =  ×  du dv ∂u ∂v

¨

F dr =

˛

∂R ∂Q = ∂z ∂y

Følgende er ekvivalent i den åpne delmengden D ⊆ Rn. • F er konservativt i D ¸ • C F · dr = 0 for stykkevis glatte kurver C i D ´ • Linjeintegralet C F · dr er uavhenging av veien fra start til slutt 4

T

T...