Formelsammlung Hydr Pneu 2014 04 23 PDF

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Formelsammlung Hydraulik Pneumatik...

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Hochschule Darmstadt

Formelsammlung Hydraulik und Pneumatik

30.10.2013

INHALTSVERZEICHNIS Formelzeichen

..................................................................................................................................... 2

Formeln

..................................................................................................................................... 3

Pneumatik ............................................................................................................................................................................. 3 Druckdifferenz ........................................................................................................................................................... 3 Gesetz von Gay-Lussac und Boyle-Mariotte .................................................................................................. 3 Thermodynamische Zustandsänderungen .................................................................................................... 4 Hydraulik ............................................................................................................................................................................... 4 Kraft- und Energieübertragung .......................................................................................................................... 4 Volumenstrom ........................................................................................................................................................... 4 Volumenstrom durch Drossel ............................................................................................................................. 5 Förderstrom ............................................................................................................................................................... 5 Reibungsverluste ...................................................................................................................................................... 5 Leistung / Energie / Satz von Bernoulli ................................................................................................................... 5 Energie .......................................................................................................................................................................... 5 Leistung ........................................................................................................................................................................ 5 Aktoren ................................................................................................................................................................................... 6 Dimensionsgleichung zur Kolbenkraftberechnung ................................................................................... 6 Pneumatik.................................................................................................................................................................... 6 Zylinder.................................................................................................................................................................... 6 Hydraulik .....................................................................................................................................................................7 Motoren ...................................................................................................................................................................7 Differenzialzylinder ............................................................................................................................................ 8 Gleichgangzylinder .............................................................................................................................................8 Einfache Teleskopzylinder ..............................................................................................................................8 Gleichlaufteleskopzylinder .............................................................................................................................. 9 Drückende Arbeitsweise, Knicksicherheit ................................................................................................ 9 Ziehende Arbeitsweise ................................................................................................................................... 10 Hydraulisch-mechanischer Wirkungsgrad / Kraft ............................................................................. 10 Anhang

.................................................................................................................................. 12

1

FORMELZEICHEN Zeichen

𝐩𝐚𝐛𝐬

𝐩𝐚𝐦𝐛 𝐩𝐞 𝐕 𝐦 𝐓 𝛖

Bedeutung Absolutdruck Umgebungsdruck Überdruck Volumen Masse Temperatur Spez. Volumen

𝐑

Gaskonstante

𝛋

Adiabatenexponent

𝐜𝐩

Spez. Wärme bei konst. Druck

𝐜𝐕

Spez. Wärme bei konst. Volumen

𝐅

Kraft

𝐃 𝐀

Durchmesser Fläche

𝐐

Volumenstrom

𝐭 𝒔 𝐯

Zeit Weg Geschwindigkeit

𝛎

Hubgeschwindigkeit

𝐄

E-Modul

𝐖 𝐏

Arbeit Leistung

𝐈

𝐌

Flächenmoment 2. Ordnung

Drehmoment

N [Pa ] → [ 2 ] m N [Pa ] → [ 2 ] m N [Pa ] → [ 2 ] m [m3 ] [kg] [K] m3 [ ] kg J ] [ kg ∗ K

Einheit

Sonstiges 1bar = 105 Pascal

0°C = 273,15K Luft:

R = 287,1 Luft:

J ] [ kg ∗ K J ] [ kg ∗ K

kg ∗ m ] s2 [m ] [m2 ]

[𝑁] → [

m3 ] s [s] [m ] m [ ] s m [ ] s [m4 ] [

N ] [ mm2

[J] → [N ∗ m] N∗m [𝑊] → [ ] 𝑠 [Nm]

Luft:

J kg ∗ K

κ = 1,4

cp = 1,004 Luft:

J kg ∗ K

cV = 0,7171

J kg ∗ K

Kreisfläche: π ∗ d2 A= 4

3,6

km m =1 s h

Kreis: 𝜋 ∗ 𝐷4 I= 64 Stahl: kN E = 210 mm2

2

𝐧

1 [ 𝑠] 𝑘𝑔 [ 3] 𝑚

Drehzahl

𝛒

Dichte

𝐚

Beschleunigung

𝛚

Winkelgeschwindigkeit

𝑚 [ 2] 𝑠

[

rad ] s

1 1 𝑚𝑖𝑛 60 1 Luft(bei 25°C): kg ρ = 1,184 3 m Erdbeschl.: 𝑚 𝑔 = 9,81 2 𝑠 𝛚= 𝟐∗𝛑∗𝐧

FORMELN PNEUMATIK DRUCKDIFFERENZ

𝐩𝐞 = 𝐩𝐚𝐛𝐬 − 𝐩𝐚𝐦𝐛 ; 𝚫𝐩 = 𝐩𝟏 − 𝐩𝟐

GESETZ VON GAY-LUSSAC UND B OYLE -MARIOTTE

𝐜𝐩 𝐩𝟏 ∗ 𝐕𝟏 𝐩𝟐 ∗ 𝐕𝟐 𝐕 ; ; 𝛋= = 𝐤𝐨𝐧𝐬𝐭. ; 𝛖 = = 𝐜 𝐦 𝐓𝟐 𝐓𝟏 𝐕 𝐑=

𝐩𝐚𝐛𝐬 ∗ 𝛖 𝛋−𝟏 = 𝐜𝐕 ∗ (𝛋 − 𝟏) = 𝐜𝐩 − 𝐜𝐕 = 𝐜𝐩 ∗ 𝛋 𝐓

3

THERMODYNAMISCHE ZUSTANDSÄNDERUNGEN

HYDRAULIK KRAFT- UND ENERGIEÜBERTRAGUNG 𝐩=

𝐅𝟏

𝐀𝟏

𝐅

= 𝐀𝟐

𝟐

V OLUMENSTROM 𝐐=

𝚫𝐕 𝐀 ∗ 𝚫𝐬 = =𝐀∗𝐯 ; 𝚫𝐭 𝚫𝐭

𝐀𝟏 ∗ 𝐯𝟏 = 𝐀 𝟐 ∗ 𝐯𝟐

4

V OLUMENSTROM DURCH D ROSSEL

𝐐 = 𝐊𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 ∗ 𝐀 ∗ √𝚫𝐩

FÖRDERSTROM

𝐐= 𝐧∗𝐕

REIBUNGSVERLUSTE 𝐩𝐬𝐭𝐚𝐭 =

𝐐 𝟐 𝐅𝟐 ; 𝐩 = 𝐩𝐬𝐭𝐚𝐭 + 𝚫𝐩 ; 𝚫𝐩~ ( ) ~𝐯 𝟐 ~𝐖𝐕𝐞𝐫𝐥𝐮𝐬𝐭 𝐀𝟐 𝐀

LEISTUNG / ENERGIE / SATZ VON BERNOULLI ENERGIE 

Bewegungsenergie 𝟏 𝐖𝐤𝐢𝐧 = ∗ 𝐦 ∗ 𝐯 𝟐 𝟐



Lageenergie 𝑾𝒑𝒐𝒕 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉



Druckenergie 𝚫𝐖𝐩 = 𝐅 ∗ 𝚫𝐬 = (𝐩 ∗ 𝐀) ∗ 𝚫𝐬 = 𝐩 ∗ 𝚫𝐕



Innere Energie 𝐖𝐢 = 𝐔 = 𝐮 ∗ 𝐦 mit u → spezifische Innere Energie



Erhaltungssatz 𝐖𝐩𝟏 + 𝐖𝐤𝐢𝐧𝟏 + 𝐖𝐩𝐨𝐭𝟏 + 𝐖𝐢𝟏 = 𝐖𝐩𝟐 + 𝐖𝐤𝐢𝐧𝟐 + 𝐖𝐩𝐨𝐭𝟐 + 𝐖𝐢𝟐 + 𝚫𝐖𝐕𝐞𝐫𝐥𝐮𝐬𝐭 (ΔWVerlust → Verlust zwischen Punkt 1 und 2)



Bernoulli Gleichung (für inkompressible Medien) 𝛒 𝛒 𝐩𝟏 + ∗ 𝐯𝟏𝟐 + 𝛒 ∗ 𝐠 ∗ 𝐡𝟏 = 𝐩𝟐 + ∗ 𝐯𝟐𝟐 + 𝛒 ∗ 𝐠 ∗ 𝐡𝟐 + 𝚫𝐩𝐕𝐞𝐫𝐥𝐮𝐬𝐭 ; 𝟐 𝟐 𝛒 𝛒 𝐩 = 𝐩𝐬𝐭𝐚𝐭 ; 𝐩𝐝𝐲𝐧 = ∗ 𝐯𝟏𝟐 ; 𝐩𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝐩 + ∗ 𝐯𝟏𝟐 𝟐 𝟐

mit: ΔpVerlust → Druckverlust zwischen Punkt 1 und 2

LEISTUNG 

Mechanische Leistung 𝐝𝐬 𝐝𝐖 =𝐅∗ =𝐅∗𝐯 𝐏𝐦𝐞𝐜𝐡 = 𝐝𝐭 𝐝𝐭



Hydraulische Leistung 𝐏𝐡𝐲𝐝 = 𝐖󰇗 = 𝐕󰇗 ∗ 𝚫𝐩 = 𝐐 ∗ 𝚫𝐩



Pneumatische Leistung 𝐏𝐩𝐧𝐞𝐮 = 𝐦󰇗 ∗ 𝚫𝐡 5



Totalenthalphie

𝐯𝟐 𝐡𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝐡(𝐩, 𝐓) + 𝟐 mit h(p, T) = U + p ∗ V ; 𝐡𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥𝟏 = 𝐡𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥𝟐 + 𝚫𝐡𝐕𝐞𝐫𝐥𝐮𝐬𝐭𝐞

AKTOREN DIMENSIONSGLEICHUNG ZUR KOLBENKRAFTBERECHNUNG

P NEUMATIK Zylinder  Einfachwirkender Zylinder 𝝅 ∗ 𝑫𝟐 𝐅𝐙 = ∗ 𝐩𝐞 − 𝐅𝐑 − 𝐅𝐅 𝟒

mit: FZ → Kraft an der Kolbenstange FR → Reibungswiderstand(Bei norm. Betriebsverhältn.: FR = 0,15 ∗ A ∗ pe ) FF → Rückstellfeder(Lineare Feder: FF = Konstante ∗ s)



Doppeltwirkender Zylinder 𝝅 ∗ 𝑫𝟐 ∗ 𝐩𝐞 − 𝐅𝐑 𝑽𝒐𝒓𝒍𝒂𝒖𝒇: 𝐅𝐙 = 𝟒 𝑹ü𝒄𝒌𝒍𝒂𝒖𝒇: 𝐅𝐙 =



𝝅 ∗ (𝑫² − 𝒅²) ∗ 𝐩𝐞 − 𝐅𝐑 𝟒

Luftverbrauch (doppeltwirkender Zylinder) 𝟐 ∗ 𝐀 ∗ 𝐬 ∗ 𝐩𝐚𝐛𝐬 ∗ 𝐧 𝐐 = 𝐩𝐚𝐦𝐛 mit:

n → Schaltspielzahl

6

HYDRAULIK Motoren  Schluckvolumen Konstantmotoren: 𝐕𝐢 = 𝐤𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭 Verstellmotoren: 𝐕𝐢 = 𝛂 ∗ 𝐕𝐢,𝐦𝐚𝐱 mit α → Volumeneinstellung 

Theoretischer Schluckstrom 𝑸𝒊 = 𝑽𝒊 ∗ 𝒏



Theoretisches Motorleistung 𝐏𝐢 = 𝐐𝐢 ∗ 𝚫𝐩 = 𝐐𝐢 ∗ (𝐩𝐄𝐢𝐧𝐠𝐚𝐧𝐠 − 𝐩𝐀𝐮𝐬𝐠𝐚𝐧𝐠)



Theoretisches Motormoment 𝐏𝐢 𝐕𝐢 ∗ 𝚫𝐩 𝐏𝐢 𝐌𝐢 = = = 𝟐∗𝛑 𝛚 𝟐∗𝛑∗𝐧



Effektiver Schluckstrom 𝑸𝒆 = 𝑸𝒊 + 𝑸𝒔 = 𝑸𝒊 + (𝑸𝒔,𝒊𝒏 + 𝑸𝒔,𝒆𝒙) mit: Qs,in → innere Leckströme Q s,ex → äußere Leckströme



Volumetrischer Wirkungsgrad 𝐐𝐢 𝟏 𝛈𝐕 = = 𝐐 𝐐𝐞 𝟏 + 𝐕 ∗𝐬 𝐧 𝐢



Hydraulisch-mechanischer Wirkungsgrad, Motorleistung und Motormoment 𝐌𝐞 𝐏𝐦 𝛈𝐡𝐦 = = 𝐏𝐢 𝐌𝐢 mit: Me → Motormoment oder mechanisches Abtriebsmoment Pm → Motorleistung oder mechanische Abtriebsleistung(Nutzen)



Gesamtwirkungsgrad 𝛈𝐭 = 𝛈𝐕 ∗ 𝛈𝐡𝐦 =

𝐌𝐞 ∗ 𝛚 𝐏𝐦 = 𝐐𝐞 ∗ 𝚫𝐩 𝐏𝐞

mit: Pe → aufgenommene hydrostatische Leistung(Aufwand)

7

Differenzialzylinder  Hubkraft, Hubgeschwindigkeit Vorhubkraft: 𝐅𝐕 = 𝐩 ∗ 𝐀 𝐊 𝐐 Vorhubgeschw.: 𝛎𝐕 = 𝐀𝐊

Rückhubkraft: 𝐅𝐑 = 𝐩 ∗ 𝐀 𝐊𝐑 𝐐 Rückhubgeschw.: 𝛎𝐑 = 𝐀𝐊𝐑



Vorhubkraft, Vorhubgeschwindigkeit beim Eilgang 𝐐 + 𝚫𝐐 𝐐 𝐐 𝛎𝐄 = = = 𝐀𝐊 𝐀𝐊 − 𝐀 𝐊𝐑 𝐀𝐒𝐓 𝐅𝐄 = 𝐩 ∗ 𝐀 𝐒𝐓

Gleichgangzylinder  Hubkraft, Hubgeschwindigkeit 𝐅𝐕 = 𝐅𝐑 ; 𝛎𝐕 = 𝛎𝐑 Einfache Teleskopzylinder



Hubgeschwindigkeit, Drücke bei konstanter Kraft 𝐅 𝐅 𝐅 ; 𝐮𝐬𝐰. mit: p1 < p2 < p3 𝐩𝟏 = ; 𝐩𝟐 = ; 𝐩𝟑 = 𝐀𝟑 𝐀𝟏 𝐀𝟐 𝛎𝟏 =

𝐐 𝐐 𝐐 ; 𝐮𝐬𝐰. mit: ν1 < ν2 < ν3 ; 𝛎𝟐 = ; 𝛎𝟑 = 𝐀𝟑 𝐀𝟏 𝐀𝟐

8

Gleichlaufteleskopzylinder  Hubgeschwindigkeit

𝛎𝟏 =

𝐐𝟏 𝐀´𝟑 𝐀´𝟐 𝐀´𝟏 𝐐𝟏 ] ∗ (𝟏 + ∗ [𝟏 + ∗ {𝟏 + ; 𝛎𝐊−𝐒𝐭𝐚𝐧𝐠𝐞 = )} ; 𝐀𝟑 𝐀𝟐 𝐀𝟏 𝐀𝟏 𝐀𝟒

mit: A´1 = A2 ; A´2 = A3 ; A´3 = A4 ; folgt: 𝛎𝐊−𝐒𝐭𝐚𝐧𝐠𝐞 = 𝟒 ∗ 𝛎𝟏 = 𝟒 ∗

𝐐𝟏 𝐀𝟏

Drückende Arbeitsweise, Knicksicherheit  Eulerschen Knickkraft-Gleichung 𝛑𝟐 ∗ 𝐄 ∗ 𝐈 𝐅𝐊 𝐳𝐮𝐥 = 𝟐 𝐬𝐊 ∗ 𝛎𝐊 𝐞𝐫𝐟

mit: νK erf → erforderliche Knicksicherheit (Richtwert: 3,5) sK → freie Knicklänge (Einheit: mm)



Erforderlicher Kolbenstangendurchmesser für FD ≤ FK zul ∶ 𝐝𝐒𝐭 ≥ 𝟏, 𝟏𝟗𝟖𝟔 ∗ √ 𝟒

𝐅𝐃 ∗ 𝐬𝐊𝟐 ∗ 𝛎𝐊 𝐞𝐫𝐟 𝑚𝑖𝑡: FD → 𝐷𝑟𝑢𝑐𝑘𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡 𝐄

Wichtig: Ergebnis wird in “mm“ geliefert

9



Zylinderinnendurchmesser N Mit p in Einheit mm2 : 𝐃 = 𝟏, 𝟏𝟐𝟖𝟒 ∗ √

𝐅𝐃 𝐩

Mit p in Einheit bar: 𝐃 = 𝟑, 𝟓𝟔𝟖𝟐 ∗ √

𝐅𝐃 𝐩

Wichtig: Ergebnis wird in “mm“ geliefert Ziehende Arbeitsweise  Erforderlicher Kolbenstangendurchmesser 𝐅𝐙 𝛔𝐙 = 𝛑 für: σZ ≤ σZ,zul mit σZ → Zugspannung 𝐝𝟐𝐒𝐭 ∗ 𝟒 

Zylinderinnendurchmesser N , 𝑑 in mm: Mit p in Einheit mm2 𝑆𝑡 𝐃 = √𝐝𝐒𝐭𝟐 + 𝟏, 𝟐𝟕𝟑𝟐 ∗

𝐅𝐙 𝐩

Mit p in Einheit bar , 𝑑𝑆𝑡 in mm: 𝐃 = √𝐝𝐒𝐭𝟐 + 𝟏𝟐, 𝟕𝟑𝟐 ∗

𝐅𝐙 𝐩

Wichtig: Ergebnis wird in “mm“ geliefert Hydraulisch-mechanischer Wirkungsgrad / Kraft



Wirkungsgrad Kolbenseite 𝐅𝐊,𝐫 𝛈𝐡𝐦,𝐊 = 𝟏 − (Richtwert Entwurf: ηhm,K ≈ 0,95 ) 𝐅𝐊

10



Wirkungsgrad Kolbenstangenseite

𝟏 𝐅 𝟏 + 𝐒𝐭,𝐫 (Richtwert Entwurf: ηhm,St ≈ 0,9 ) 𝐅𝐒𝐭 Kolbenstangenkraft beim Ausfahren 𝐅𝐊𝐑 𝐩𝐊𝐑 ∗ 𝐀 𝐊𝐑 𝐅𝐒𝐭 = 𝐅𝐊 ∗ 𝛈𝐡𝐦,𝐊 − = 𝐩𝐊 ∗ 𝐀 𝐊 ∗ 𝛈𝐡𝐦,𝐊 − 𝛈𝐡𝐦,𝐒𝐭 𝛈𝐡𝐦,𝐒𝐭 𝛈𝐡𝐦,𝐒𝐭 =





Kolbenstangenkraft beim Einfahren

𝐅𝐒𝐭 = 𝐅𝐊𝐑 ∗ 𝛈 𝐡𝐦,𝐒𝐭 −

𝐅𝐊 𝐩𝐊 ∗ 𝐀 𝐊 = 𝐩𝐊𝐑 ∗ 𝐀 𝐊𝐑 ∗ 𝛈𝐡𝐦,𝐒𝐭 − 𝛈𝐡𝐦,𝐊 𝛈𝐡𝐦,𝐊

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ANHANG

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