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Formelsammlung Technische Thermodynamik Prof. Dr.-Ing. Lutz Mardorf

Hochschule Osnabrück Bitte beachten Sie das Urheberrecht. All rights reserved. © Lutz Mardorf

1.

Zustandsgrößen

1.1

Spezifisches Volumen In einem Volumen V befindet sich die Masse m und es entsteht der Begriff: Begriff Spezifisches Volumen

Formelzeichen

Dimension

V v m

m3 kg

Volumen

V m

m3 kg kg m3

Masse Dichte

1.2

(Kehrwert von spez. Volumen)



m V

Druck Bar (bar) und Pascal (Pa) Druckeinheiten:

1.3

1 bar  10 5 Pa

1 bar  100 kPa

1 bar  10 5

Begriff Bezugsdruck (meist Umgebungsdruck)

Formelzeichen

Dimension

pb

Druck oder Absolutdruck

p oder p abs

Überdruck

pü  p( abs)  pb

Unterdruck

 pu  pb  p(abs )

N m2 N m2 N m2 N m2

N m2

Temperatur Thermodynamische Temperatur T in Kelvin (K) „Technische Temperatur“ und Celsius-Temperatur t in (°C) Absoluter Nullpunkt bei 0 K = -273,15 °C Begriff Celsius-Temperatur

Formelzeichen

Dimension

t  T  273,15 K

C

Temperaturdifferenz

Δt  T2  T1  t 2  t1

K ( immer in Kelvin ! )

Seite 1

2.

Arbeit, Wärme und 1. Hauptsatz der Thermodynamik

2.1

Erster Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme Energieänderungen vom Zustand 1in den Zustand 2 am geschlossenen System: Begriff Wärme

Formelzeichen

Dimension

Q12 W12

kJ kJ

Volumenänderungsarbeit

U1 U 2 WV12

kJ kJ

Dissipationsarbeit

Wdiss 12

kJ

Arbeit Innere Energie

Q12  W12  U 2  U1 Q12  WV12  U 2  U 1

mit Wdiss  0

W12  WV12  Wdiss12

Begriff

Formelzeichen

Mittlere spezifischeWärmekapazität bei konstantem Volumen

cv m

Dimension

kJ kg  K

(Stoffwert)

Änderung der Inneren Energie

U 2  U1  m  cv m  T2  T1 

Volumenänderungsarbeit

WV12    p  dV

2

Fläche im p-V Diagramm auf die V-Achse

1

2

Wt12  V  dp

Technische Arbeit

Fläche im p-V Diagramm auf die p-Achse

1

2.2

Bezugsarbeit

Wb12   pb  (V 2  V 1 )

Nutzarbeit

WN12  WV12  Wb12

Erster Hauptsatz der Thermodynamik für offene Systeme Energieänderungen von Zustand 1 in den Zustand 2 am offenen System: Begriff Enthalpie

Formelzeichen

Dimension

H1 W12i

kJ

Innere Arbeit Technische Arbeit

Wt12

H2

kJ kJ

Q12  Wi12  H 2  H1 Q12  Wt12  H 2  H1

mit Wdiss  0

Wi12  Wt12  Wdiss 12

Begriff

Formelzeichen

Mittlere spezifischeWärmekapazität bei konstantem Druck (Stoffwert)

cp m

Dimension

kJ kg  K

H 2  H1  m  c pm  T2  T1  Seite 2

H  U  pV 2.3

Erster Hauptsatz der Thermodynamik für stationäre Fließprozesse Begriff Wärmestrom

Formelzeichen

Dimension

Q12

Leistung

P12

Massenstrom

m

Spezifische Enthalpie

h

Spezifische Innere Energie

u

Spezifische Wärme

q

kJ  kW s kJ  kW s kg s kJ kg kJ kg kJ kg

Q12  P12  m  h2  h1  H m Q q m U u m h

3. 3.1

Thermische Zustandsgleichung und Normzustand Thermische Ausdehnung Begriff Mittlerer Längenausdehnungskoeffizient Mittlerer Volumenausdehnungskoeffizient

l  l2  l1

V  V2  V1

Formelzeichen

Dimension



m 1  K m K



m3 K  m3

t l1  l0  1  m 01  t1    t l2  l0  1  m 02  t2    t V1  V0  1   m 01  t1   t V 2  V 0  1   m 02  t2    Seite 3

Länge



1 K

l1 , l2 in m

Volumen V1 , V2 in m³

3.2

Thermische Zustandsgleichung Begriff Spezielle oder individuelle Gaskonstante (Stoffwert)

Formelzeichen

Dimension

R oder R i

Druck - Absolutdruck

p

Spezifisches Volumen

v

Temperatur

T

J Nm  kg  K kg  K N m2 m3 kg K ( immer in Kelvin ! )

Volumen

V m

m kg

Masse

3

p  v  R T pV  m  R T

3.3

Molare Gaskonstante, Molvolumen, Molare Masse Begriff Molare oder universelle Gaskonstante (Konstante) Molare Masse (Stoffwert)

Formelzeichen

Molares Volumen

Vm

Temperatur

T

kg kmol m3 kmol K ( immer in Kelvin ! )

Molzahl

n m

kmol kg

Masse

Dimension kJ kmol  K

Rm

M

Vm  M  v Rm  R  M

mit

Rm  8,3144

kJ kmol  K

m  n M Molare thermische Zustandsgleichung

p  Vm  Rm  T 3.4

Normzustand (N), Normdruck, Normtemperatur

pN  1,01325bar Normvolumen

VN in

tN  0 C Normkubikmeter

m3N Seite 4

TN  273,15 K

3.5

Molares Volumen im Normzustand, Stoffwert, ungefähr konstant für alle Gase

V mN  22,4

3.6

m 3N kmol

Spezifische Wärmekapazitäten Begriff Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck

Formelzeichen

Dimension

cp

kJ kg  K

cv

kJ kg  K

Isentropenexponent



Polytropenexponent

n

-

Mittlere Spezifische Wärmekapazität

c pm

(Stoffwert)

Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen (Stoffwert)

(im gegebenen Temperaturbereich in °C)

Wahre spezifische Wärmekapazität (Stoffwert f(t))

t2 t1

c p t 

kJ kg  K

cv t 

kJ kg  K

c p  cv  R c  p cv

c pm

t2 t1



c pm t02 t 2  c p m t01 t 1

t1

t2  t1

t2 in °C !!!

Wärme in kJ in Abhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität

Q12  m  c pm

t2 t1

 t 2  t1 

Q12  m  c p (t 2 )  t 2  c p (t1 )  t 1  Wärmestrom in kJ/s oder kW in Abhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität

Q12 = m  c p m

t2 t1

t 2  t1 

Seite 5

4.

Zustandsänderungen idealer Gas mit Wdiss=0

-

Isochore Zustandsänderung:

p1 p2



v  const

V  const

T1

W v12  0

T2

Q12  m  cvm

t2 t1

 T2  T1 

Wt12  V  ( p2  p1 )

-

p  const

Isobare Zustandsänderung

V1 V2 v1 v2





T1

Wv12  m  R  ( T1  T2 )

T2

Wv12  p  V1  V2 

T1

Q12  m  c pm

T2

t2 t1

T2  T1 

Wt12  0

-

T  const

Isotherme Zustandsänderung

V1 p 2  V2 p1

v1 p2  v2 p1

Wv12  m  R  T  ln

V1 V2

Wv12  m  R  T  ln

p2 p1

Wv12  p 1  V 1  ln

Q12  W v12

Wt12  Wv12 Seite 6

V1 V2

-

V    1  p1  V2  p2

T1  V2    T2  V1 

Wdiss  0

Q12  0

Isentrope Zustandsänderung



Wv12

 1   p1  V1   p2        1    1   p1   

1

Wv12 

m R  T  T   1 2 1

 1

T1  p1     T2  p2 

1   p 2  V 2  p1  V1   1  U 2 U 1

Wv12  Wv12

Wt12  m  c p m

t2 t1

 T2  T1 

Q12  0 In alle Gleichungen der Isentropen Zustandsänderung wird  durch n ersetzt! p1  V1n  p2  V2n 1 Wv12    p 2  V 2  p 1  V1  n 1 p ln 2 p1  1 n T2  T1  Wv 12  m  cvm tt21  p2 T2 n 1  ln ln p1 T1

-

 n

Polytrope Zustandsänderung

Wt12  m  n  cvm

Q12 n    Wv12  1

Q 12  m  c vm

Seite 7

t2 t1

t2 t1



 T2  T1 

n  T2  T1  n 1

n=∞

isochore Zustandsänderung

n=0

isobare Zustandsänderung

n=1

isotherme Zustandsänderung

n =

isentrope Zustandsänderung

0n∞

allgemeine polytrope Zustandsänderung

1n

technische polytrope Zustandsänderung

Isentrope

5.

Entropie und 2. Hauptsatz der Thermodynamik

5.1.

Begriff Entropie

Formelzeichen

Dimension

S 1 S2

Spezifische Entropie

s1

kJ K kJ kg  K

s2

Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

dS 

dQ  dWdiss T

2

S2  S1  

Irreversibel W diss  0

1

2

S2  S1  

Reversibel Wdiss  0

1

5.2

dQ  dWdiss T

 p  T S 2  S1  m   cp m  ln 2  R  ln 2  T1 p1  

dQrev T

Irreversible Zustandsänderungen des idealen Gases mit Wdiss  0 - Isochore Zustandsänderung

S2  S1  m  cvm

t2 t1

 ln

T2 p  m  c v tt12  ln 2 p1 T1 Seite 8

Q12  Wdiss12  U 2  U1

- Isobare Zustandsänderung

S 2  S 1  m  c pm

t2 t1

 ln

T2 T1

Q12  Wdiss12  H 2  H1

- Isotherme Zustandsänderung

p1 p2  Wv12  Wt12  T  (S 2  S1 )

S2  S1  m  R  ln

Q12  Wdiss12

- Isentrope Zustandsänderung S = const

Q12  0

s = const

W diss12  0

S 2  S1  0

Q12 Wdiss 12  0

- Polytrope Zustandsänderung

S 2  S 1  m c v m

t2 t1



T n   ln 2 T1 n 1

Q12  Wdiss12  m  c vm tt12 T2  T1 

- Adiabate Drossel mit Wdiss  0

H 2  H1

Q12  0

S 2  S1

p 2  p1

Aus dH  0 folgt dT  0 isotherme Zustandsänderung idealer Gase mit T=T1=T2

p1 p2 p S 2  S1  m  R  ln 1 p2

Wdiss12  m  R  T 

Seite 9

6.

Kreisprozesse Begriff Arbeit des Kreisprozesses

Formelzeichen

Dimension

WK

kJ  kW s kJ  kW s kJ  kW s

der Wärmekraftmaschine zugeführte Wärme bei THoch

Qzu

der Kältemaschine zugeführte Kälte bei Ttief

Q0  Qzu

Thermischer Wirkungsgrad

 th

-

Kälteleistungszahl

k

-

(Wärmekraftmaschine) (Kältemaschine)

W k  W v    Q

6.1

th 

Wk Qzu

k 

Qzu Q0  Wk WK

Wärmekraftmaschine Qzu=QH

Kältemaschine Qzu=Q0

Thermodynamische Gasprozesse

- Carnot-Prozess

Isotherme und Isentrope Zustandsänderungen Wärmekraftmaschine: T1=T2 isotherme Wärmezufuhr T3=T4 isotherme Wärmeabfuhr p4p1 isentrope Kompression p2p3 isentrope Expansion

W k  (1 

Tu )  Qzu T

Wärmekraftmaschine: Seite 10

T = höchste Temperatur

T  th  1  u T T W k  ( u  1)  Q o To

Tu = niedrigste Temperatur Kältemaschine: Tu = höchste Temperatur

k 

T0 Tu  T0

To = niedrigste Temperatur

- Joule-Prozess

Isobare und Isentrope Zustandsänderungen Wärmekraftmaschine:

 th  1 

T1 p  1 ( o ) T2 p

 1 

T1T2 – isentrope Kompression

 T  WK  m  c p T3 T2   1  1   T2 

- Ericsson-Prozess

T2T3 – isobare Wärmezufuhr

Isobare und Isotherme Zustandsänderungen Wärmekraftmaschine: T1T2 – isotherme Kompression T2T3 – isobare Wärmezufuhr

 th  1

T1 T3

WK  m  R  T3  T1   ln

-

T1 = niedrigste Temperatur

p p0

T3 = höchste Temperatur

Isochore und Isotherme Zustandsänderungen.

Stirling-Prozess

th  1 T1

Wärmekraftmaschine:

T3

WK  m  R  T3  T1   ln

Vmax V min

T2T3 – isochore Kompression T3T4– isotherme Wärmezufuhr T1 = niedrigste Temperatur T3 = höchste Temperatur

k 

T0 Tu  T0

WK  m  R Tu  T0  ln

Kältemaschine:

Vmax Vmin

Tu = höchste Temperatur To = niedrigste Temperatur Seite 11

6.2

Vergleichsprozesse für Verbrennungsmotoren isentrope Kompression isentrope Expansion isochore Wärmeabfuhr als Gaswechsel Begriff Verdichtungsverhältnis Kompressionsvolumen Hubvolumen Einspritzvolumen Einspritzverhältnis Druckverhältnis -

-

1

  1

1

 

m3 m3 m3

- Gleichraumverfahren p2  p3 isochore Wärmezufuhr

 1  p1  

 1     p 2

 1 



V1 V K  V H  V2 VK



VK  VE VK

Seiliger-Prozess

bei cv = const für Kompression und Expansion

- Gleichdruckverfahren p2  p3 isobare Wärmezufuhr

Diesel-Prozess

 th  1

-

Dimension

 VK VH VE  

Otto-Prozess

 th  1 

-

Formelzeichen

 1  1

- gemischtes Verfahren isochore Wärmezufuhr

p2  p3 p3  p 4

Seite 12

isobare Wärmezufuhr

 th  1  6.3

    1   1  1       1

p3 p2

Technischer Kolbenverdichter

Begriff Schädlicher Raum Füllungsgrad Polytropenexponent Aufzubringende technische reversible Arbeit

p1  p2 p2  p3

polytrope Kompression isobare Ausschiebung

p3  p4

polytrope Rückexpansion

p4  p1

isobares Ansaugen

Formelzeichen

Dimension

0  VH 

m3

-

n Wt rev

kJ

1   n p     1   0   2   1   p1   

W K  Wtrev

7.

n 1   n   n p 2    p 1  V 1 V 4     1    p1  n 1  

Exergie und Anergie Begriff Exergie in jede Energieform

Formelzeichen

Dimension

E

kJ

B

kJ

Exergie der Wärme Q12

EQ12

kJ

Anergie der Wärme Q12

BQ 12

kJ

Exergetischer Wirkungsgrad

 Ex

-

umwandelbar

Anergie unterhalb Tu nicht umwandelbar

Wärme, Energie Q  E  B -

Carnot-Prozess

 T  E Q12  1  u   Q12  T 

Tu = niedrigste Temperatur, Umgebungstemperatur Seite 13

B Q12 

-

WK E Qzu

 th

 1

Tu T  ln 3 T3  T2 T2

Otto-Prozess

 Ex 

-

T = höchste Temperatur

Joule-Prozess

 Ex 

-

Tu  Q12 T

WK E Qzu

th

 1

Tu T  ln 3 T3  T2 T2

Diesel-Prozess

 Ex 

WK E Qzu



 th

ln T 1  u   1 T1    1

Stand 07.07.2017

Seite 14...