Formulario di Fisica Generale 1 PDF

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Formule di cinematica, principi della dinamica, teoria di gravitazione universale, lavoro ed energia, momento lineare, collisioni, corpo rigido e momenti d'inerzia, momento angolare, oscillazioni, moto ondulatorio, meccanica dei fluidi, termodinamica...

Description

FO FORMULARIO RMULARIO CINEMATICA MOTO RETTILINEO Vettore posizione Spostamento Velocità media Velocità Modulo velocità

𝐫 = 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑧𝐤

∆𝐫 = 𝐫𝑓 − 𝐫𝑖 = (𝑥𝒇 − 𝑥𝒊 )𝐢 + (𝑦𝒇 − 𝑦𝒊 )𝐣 + (𝑧𝑓 − 𝑧𝒊 )𝐤 𝐯 =

𝐯=

𝐫𝑓 −𝐫𝑖

𝑡𝑓 −𝑡𝑖

𝑑𝐫

∆𝐫 ∆𝑡

=

𝑑𝑡

𝑑𝐫

𝑣 = |𝐯| = | | 𝑑𝑡

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Accelerazione media Accelerazione Velocità con istante iniziale 𝑡0 = 0

Legge oraria con istante iniziale 𝑡0 = 0 Equazione senza tempo Equazione senza accelerazione

𝐚 =

𝐚=

𝐯𝑓 −𝐯𝑖 𝑡𝑓 −𝑡𝑖

𝑑𝐯 𝑑𝑡

=

=

∆𝐯 ∆𝑡

𝑑 2𝐫 𝑑𝑡 2

𝑣𝑥 (𝑡) = 𝑣𝑥0 + 𝑎𝑥 𝑡

1

𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣𝑥0𝑡 + 𝑎𝑥 𝑡 2 2

2 + 2𝑎 (𝑥 − 𝑥 ) 𝑣𝑥2 = 𝑣𝑥0 𝑥 0 1

𝑥 = 𝑥0 + (𝑣𝑥0 + 𝑣𝑥 ) 𝑡 2

MOTO CIRCOLARE UNIFORME Velocità tangenziale Velocità angolare Accelerazione centripeta

𝑣=

𝜔=

2𝜋𝑅

𝑎𝑐 =

𝑇

𝑑𝜑 𝑑𝑡 𝑣2 𝑅

𝑣

=𝑅

= 𝜔2 𝑅

CADUTA LIBERA Modulo accelerazione Altezza massima Tempo di salita Legge oraria

𝑔 = 9.8 m/s2 ℎ𝑚 = 𝑡𝑚 =

𝑣0 2 2𝑔

𝑣0 𝑔

1

𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝑣𝑦0𝑡 − 𝑔𝑡 2 2

PRINCIPI DELLA DINA DINAMICA MICA Prima legge di Newton (forza risultante) Seconda legge di Newton Terza legge di Newton Forza peso

∑ 𝐅 = 𝐅1 + 𝐅2 + 𝐅3 + ⋯ ∑ 𝐅 = 𝑚𝐚

𝐅𝑎𝑏 = −𝐅𝑏𝑎 𝐅𝑡 = 𝑚𝐠

TEORIA DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE Vettore forza gravitazionale Modulo forza gravitazionale Terza legge di Keplero Campo gravitazionale Energia potenziale gravitazionale Velocità di fuga

𝐅12 = −𝐺 𝐹12 = 𝐺

𝑚1 𝑚2 𝑟2

𝑚1 𝑚2 𝑟2

4𝜋2

) 𝑟3

𝑈(𝑟) = −

𝐺𝑀𝑚

𝑇2 = ( 𝐠=

𝐅

𝐺𝑚𝑠

𝑚

𝑣𝑖 = √(

𝐫

𝑟

2𝐺𝑚𝑡 ) 𝑟𝑖

LAVORO ED ENERGIA Lavoro Energia cinetica Teorema lavoro – energia Energia potenziale Energia meccanica Conservazione dell’energia

𝑊 = 𝐹ℓ cos 𝜃 = 𝐅 ∙ ℓ 1

𝐾 = 𝑚𝑣 2 2

𝑊tot = ∆𝐾 = 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = 𝑈 = 𝑚𝑔𝑦

𝐸 =𝐾+𝑈

𝐾𝑓 + 𝑈𝑓 = 𝐾𝑖 + 𝑈𝑖

1

2

1

𝑚 𝑣𝑓 2 − 2 𝑚 𝑣𝑖 2

MOMENTO LINEARE CENTRO DI MASSA Posizione Velocità Accelerazione

𝐫𝑐𝑚 =

(∑ 𝑚𝑖 𝐫𝑖 )

𝐚𝑐𝑚 =

1 𝑀

1

𝑀

𝐯𝑐𝑚 = 𝑀 (∑ 𝑚𝑖 𝐯𝑖 )

(∑ 𝑚𝑖 𝐚𝑖 )

QUANTITÀ DI MOTO Definizione per un punto materiale Definizione per un sistema di corpi

𝐩 = 𝑚𝐯

𝐏 = ∑ 𝐩𝑖

𝑑𝐏 = 𝑑𝑡

Conservazione

𝐏𝑖 = 𝐏𝑓 oppure

Teorema dell’impulso

𝐈 ≡ ∫ 𝐅 𝑑𝑡 = ∆𝐩

𝑡𝑓

0

𝑡𝑖

COLLISIONI URTO ELASTICO

Conservazione energia

Velocità

𝑚𝑖 𝑣1𝑖 + 𝑚2 𝑣2𝑖 = 𝑚1 𝑣1𝑓 + 𝑚2 𝑣2𝑓 1 1 1 1 { 2 2 2 2 𝑚1 𝑣1𝑖 + 𝑚2 𝑣2𝑓 = 𝑚1 𝑣1𝑓 + 𝑚2 𝑣2𝑖 2 2 2 2 2𝑚2 𝑚1 − 𝑚2 ) + 𝑣2𝑖 ( ) 𝑣1𝑓 = 𝑣1𝑖 ( 𝑚1 + 𝑚2 𝑚1 + 𝑚2 2𝑚𝑖 𝑚2 − 𝑚1 ) + 𝑣1𝑖 ( ) 𝑣2𝑓 = 𝑣2𝑖 ( 𝑚 + 𝑚 𝑚 { 1 2 1 + 𝑚2

URTO ANESTICO Velocità urto anelastico

𝑣𝑓 =

𝑚1 𝑣1𝑖 + 𝑚2 𝑣2𝑖 𝑚1 + 𝑚2

CORPO RIGIDO E MOME MOMENTI NTI D’INERZIA Equilibrio traslatorio di un corpo Momento di una forza Equilibrio statico di un corpo Coordinata angolare Velocità angolare Accelerazione angolare Moto circolare uniformemente accelerato Momento d’inerzia Energia cinetica di rotazione Teorema di Steiner Moto di rotolamento Energia cinetica di rotolamento

𝐚𝑐𝑚 = 0 allora ∑ 𝐅ext = 0 𝜏 = 𝑟⊥ 𝐹 = (𝑟 sin 𝜃)𝐹

∑ 𝐅ext = 0 e ∑ 𝝉ext = 0 𝜃=

𝑠

𝑅

𝜔𝑧 = 𝛼𝑧 =

𝑑𝜃 𝑑𝑡

𝑑𝜔𝑧

=

𝑑𝑡

𝑑 2𝜃 𝑑𝑡 2

2 𝜔𝑧2 = 𝜔𝑧0 + 2𝛼𝑧 (𝜃 − 𝜃0 )

𝐼 = ∑ ∆𝑚𝑖 𝑅𝑖2 oppure 𝐼 = 𝜌 ∫ 𝑅 2 𝑑𝑉 1

1

𝐾 = 𝜔2 (∑ 𝑚𝑖 𝑅𝑖2 ) = 𝐼𝜔2 2 2 𝐼𝑃 = 𝐼𝑐𝑚 + 𝑀𝑑 2 𝑣 = 𝑅𝜔

1

1

𝐾 = 2 𝐼𝑐𝑚 𝜔2 + 𝑀𝑣 2 2

MOMENTO ANGOLARE Momento angolare di un punto materiale Momento risultante Prima equazione cardinale Seconda equazione cardinale Momento di un corpo rigido in rotazione Lavoro del momento risultante Conservazione del momento angolare

ℓ = 𝐫×𝐩 ∑τ =

𝑑ℓ 𝑑𝑡

𝑑𝐏

∑ 𝐅ext = 𝑑𝑡 ∑ 𝛕ext =

𝑑𝐋 𝑑𝑡

𝐿𝑧 = 𝐼𝜔𝑧 𝑊tot =

𝑑𝐋 𝑑𝑡

1 2 1 2 𝐼𝜔 − 𝐼𝜔 2 𝑓 2 𝑖

= 0 ovvero 𝐋𝑖 = 𝐋𝑓

OSCILLAZIONI MOTO ARMONICO Legge oraria Periodo Frequenza Pulsazione Ampiezza Velocità Velocità massima Accelerazione Accelerazione massima

𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) 𝑇 = 2𝜋/𝜔

𝑓 = 1/𝑇 = 𝜔/2𝜋

𝜔 = 2𝜋𝑣 = 2𝜋/𝑇

𝐴 = √ 𝑥02 + (𝑣0 /𝜔)2

𝑣 = 𝑑𝑥/𝑑𝑡 = −𝜔𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜙) 𝑣max = 𝜔𝐴

𝑎 = 𝑑 2 𝑥/𝑑𝑡 2 = −𝜔2 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) 𝑎max = 𝜔2 𝐴

OSCILLATORE ARMONICO Equazione Pulsazione Energia potenziale Energia cinetica Energia meccanica

𝑑 2 𝑥/𝑑𝑡 2 = −𝑥(𝑘/𝑚) 𝜔 = √ 𝑘/𝑚 1

𝑈 = 𝑘𝐴2 cos 2(𝜔𝑡 + 𝜙) 2 1

𝐾 = 𝑚𝜔2 𝐴2 sin2 (𝜔𝑡 + 𝜙) 2 1

1

𝐸 = 𝑚𝜔 2 𝐴2 = 𝑘𝐴2 2 2

PENDOLO SEMPLICE Forza peso Pulsazione Periodo di oscillazione

𝐹𝑥 = −𝑚𝑔𝑥/𝐿 𝜔 = √ 𝑔/𝐿

𝑇 = 2𝜋√ 𝐿/𝑔

MOTO ARMONICO SMORZATO Equazione Legge oraria Pulsazione

𝑎𝑦 = −

𝑘

𝑚

𝑦−

𝑏 𝑣 𝑚 𝑦

𝑦 = 𝑒 −𝛾𝑡 𝐴 cos(𝜔𝑠 𝑡 + 𝜙) 𝜔𝑠 = √𝑘/𝑚 − (𝑏/2𝑚 )2

OSCILLATORE FORZATO Moto oscillatore forzato Ampiezza oscillazioni

𝐹

𝑎𝑥 = −𝜔2 𝑥 − 2𝛾𝑣𝑥 + ( 0 ) cos(𝜔𝐸 𝑡) 𝑚 𝐴0 =

𝐹0 /𝑚

√(𝜔𝐸2 −𝜔2 )+4𝛾𝜔𝐸2

MOTO ONDULATORIO ONDE SINUSOIDALI Funzione d’onda Numero d’onda Pulsazione Velocità d’onda Energia trasmessa Potenza trasmessa

𝑦 = 𝐴 sin [ 𝑘=

𝜔=

2𝜋 𝜆

2𝜋 𝑇

2𝜋 𝜆

( 𝑥 − 𝑣𝑡)] = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

= 2𝜋 𝑓

𝑣 = 𝑓𝜆 = 1

𝜔 𝑘

Δ𝐸 = (𝜇 Δ𝑥) 𝜔2 𝐴2 2

1

𝑃 = 𝜇𝜔2 𝐴2 𝑣 2

ONDE SONORE Spostamento Variazione di pressione Ampiezza di pressione

𝑠(𝑥, 𝑡) = 𝑠max cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) Δ𝑃 = Δ𝑃max sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) Δ𝑃max = 𝜌𝑣𝜔𝑠max

EFFETTO DOPPLER Osservatore in moto Sorgente in moto Osservatore e sorgente in moto

𝑓′ = 𝑓 ( 𝑣

𝑣+𝑣𝑂 ) 𝑣

𝑓 ′ = 𝜆′ = 𝑓 ( 𝑓′ = 𝑓 (

𝑣

𝑣−𝑣𝑆

𝑣±𝑣𝑂 ) 𝑣∓𝑣𝑆

)

ONDE STAZIONARIE Funzione d’onda Posizione dei ventri Posizione dei nodi Lunghezza d’onda dei modi normali Velocità d’onda Frequenza dei modi normali

𝑦 = (2𝐴 sin 𝑘𝑥) cos 𝜔𝑡 𝑥= 𝑥=

𝑛𝜆 4

𝑛𝜆

𝜆𝑛 =

2

2𝐿 𝑛 𝐹

𝑣 = √𝜇 𝑓𝑛 =

𝑛𝑣

2𝐿

MECCANICA DEI FLUIDI Densità Pressione di un fluido Variazione della pressione Modulo spinta di Archimede Teorema di Bernoulli

𝜌=

𝑚 𝑉 𝐹

𝑃=𝑆

𝑃 = 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ 𝐹𝐴 = 𝜌𝑔𝑉 1

𝑃 + 𝜌𝑣 2 + 𝜌𝑔𝑦 = costante 2

TERMODINAMICA DILATAZIONE TERMICA Lineare Superficiale Volumica

𝐿 − 𝐿0 = 𝛼 𝐿0 ∆𝑇 = 𝛼 𝐿0 (𝑇 − 𝑇0 )

𝑆 − 𝑆0 = 𝛾 𝑆0 ∆𝑇 = 𝛾 𝑆0 (𝑇 − 𝑇0 ) con 𝛾 = 2𝛼

𝑉 − 𝑉0 = 𝛽 𝑉0 ∆𝑇 = 𝛽 𝑉0 (𝑇 − 𝑇0 ) con 𝛽 = 3𝛼

GAS PERFETTO Legge di Boyle (𝑇 costante)

𝑃𝑉 = costante

Legge di Gay-Lussac (𝑉 costante)

𝑃 = 𝑃0 𝛼𝑇

Legge di Charles (𝑃 costante) Costante universale Equazione di stato Pressione Costante di Boltzmann

𝑉 = 𝑉0 𝛼𝑇

𝑅 = 8.31 J/mole ∙ K 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 2

𝑃 = 3(

𝑁 𝑉

1  2) ) ( 𝑚𝑣 2

𝑘𝐵 = 1.38 × 10−23 J/K 2 = 3 𝑘 𝑇 𝑚𝑣 2 𝐵

Energia cinetica media per molecola

1

Energia cinetica totale di 𝑁 molecole

𝐸 = 𝑛𝑅𝑇 2

Radice quadratica media della velocità

2

3

2 = √ 𝑣rqm = √𝑣

3𝑘𝐵 𝑇 𝑚

=√

3𝑅𝑇 𝑀

CALORE Calore specifico Calore latente Lavoro totale di un gas Primo principio della termodinamica Trasformazione adiabatica (𝑄 = 0)

Trasformazione isoterma (𝑇 costante) Trasformazione isocora (𝑉 costante)

Trasformazione isobara (𝑃 costante) Trasformazione ciclica Legge di Fourier (conduzione del calore) Irraggiamento Costante di Stefan-Boltzmann

𝑐=

𝐿=

𝑄

𝑚 ∆𝑇 𝑄

𝑚

𝑉𝑓

𝑊 = ∫ 𝑃 𝑑𝑉 𝑉𝑖

∆𝑈 = 𝑄 − 𝑊 ∆𝑈 = −𝑊

𝑊 = 𝑛𝑅𝑇 ln ( ∆𝑈 = 𝑄

𝑉𝑓 𝑉𝑖

)

𝑊 = 𝑃𝑖 (𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 ) = 𝑃𝑖 ∆𝑉 ∆𝑈 = 0 e 𝑄 = 𝑊 𝐶 = −𝑘𝐴

𝑑𝑇 𝑑𝑥

𝑃 = 𝜎𝐴𝑒𝑇 4

𝜎 = 5.6696 × 10−8 W/m2 ∙ K 4

MACCHINE TERMICHE E CICLI TERMODINAMICI Lavoro Rendimento Rendimento ciclo di Carnot Variazione di entropia

𝑊 = 𝑄𝑐 − 𝑄𝑓 𝑊

𝑒=𝑄 = 𝑒=

𝑐

𝑇𝑐 −𝑇𝑓

𝑑𝑆 =

𝑇𝑐

𝑑𝑄𝑟

𝑄𝑐 −𝑄𝑓

∆𝑆 = 0

Disuguaglianza di Clausius

∮

= 1−

= 1−

𝑇

Variazione di entropia ciclo di Carnot

𝑄𝑐

𝑑𝑄𝑟 ≤0 𝑇

𝑇𝑓 𝑇𝑐

𝑄𝑓

𝑄𝑐...