Dispense fisica generale 1 PDF

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dispensa per preparazione esame universitario ingegneria L9 di Fisica...

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UNICUSANO Universit`a degli Studi Niccol`o Cusano - Telematica Roma

Dispense

Fisica Generale I

Dr. Daniele Barettin

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Indice 1 Cinematica del punto 1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Moto Rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Richiami di Matematica (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Il limite di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 La derivata di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Velocit` a nel moto Rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Accelerazione nel moto Rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Unit`a di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Moto Verticale di un Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Moto Armonico Semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Unit`a di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Moto Rettilineo smorzato esponenzialmente . . . . . . . . . . 1.9 Richiami di Matematica (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 I vettori: definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2 Operazioni sui vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 La legge oraria di un punto materiale nello spazio . . . . . . . 1.10.1 Esempi di legge oraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 La Velocit`a media nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Derivata dei vettori: Velocit`a e Accelerazione istantanea . . . 1.12.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.2 Accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.4 Moto Circolare uniforme (Terza parte) . . . . . . . . . 1.12.5 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.6 Moto Circolare vario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 Moti piani su traiettoria qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14 Dall’Accelerazione alla legge oraria . . . . . . . . . . . . . . . 1.14.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

7 7 8 11 11 11 13 15 17 17 21 24 25 27 27 31 38 39 43 44 46 47 49 50 50 51 54 56 57 58

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INDICE

2 Dinamica del punto materiale 67 2.1 Introduzione al concetto di forza . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2 La Legge di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3 Quantit`a di Moto ed Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.3.1 Unit`a di misura della dinamica . . . . . . . . . . . . . 71 2.4 Risultante delle forze, equilibrio e reazioni vincolari . . . . . . 71 2.4.1 Reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.5 Azione delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.6 Forza Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.7 La Tensione dei Fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.7.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.8 Forza di attrito radente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.8.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.9 Forza Elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.10 Forza di attrito viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.11 Il Piano Inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.12 Forze Centripete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.12.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.13 Il Pendolo Semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3 Lavoro, Energia Potenziale, Energia Cinetica 101 3.1 Lavoro di una Forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.1.1 Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.2 Energia Cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.2.1 Unit`a di Misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.3 Lavoro della Forza Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.4 Lavoro della Forza Elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.5 Lavoro di una Forza di attrito radente . . . . . . . . . . . . . 107 3.6 Forze Conservative - Energia Potenziale . . . . . . . . . . . . 108 3.7 Conservazione dell’Energia Meccanica . . . . . . . . . . . . . 111 3.7.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.8 Relazione fra Energia Potenziale e Forza . . . . . . . . . . . . 119 3.8.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4 Dinamica dei Sistemi Materiali 123 4.1 Momento Angolare e Momento di una Forza . . . . . . . . . . 123 4.1.1 Teorema del Momento Angolare . . . . . . . . . . . . 125 4.2 Sistemi di punti. Principio di Azione e Reazione . . . . . . . 127 4.3 Teorema del Moto del Centro di Massa . . . . . . . . . . . . . 130 4.4 Conservazione della Quantit`a di Moto . . . . . . . . . . . . . 134 4.5 Propriet`a del centro di Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.5.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.6 Teorema del Momento Angolare per un insieme di Punti Materiali139 4.7 Conservazione del Momento Angolare . . . . . . . . . . . . . 143

INDICE

5

4.8

Teoremi di Koening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.8.1 Teorema di Koening per il Momento Angolare . . . . 144 4.8.2 Teorema di Koening per l’Energia Cinetica . . . . . . 146 4.8.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.8.4 Esempio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.8.5 Esempio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.8.6 Esempio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.8.7 Esempio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.9 Il Teorema dell’Energia Meccanica . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.9.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.10 Propriet`a dei Sistemi di Forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5 Dinamica del Corpo Rigido 157 5.1 Definizione di Corpo Rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.2 Moto di un Corpo Rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.3 Densit` a e centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.3.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.4 Rotazione di un corpo rigido intorno ad un’asse fisso . . . . . 165 5.4.1 Momento angolare di un corpo rigido in rotazione . . 166 5.4.2 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.4.3 Equazione del Moto di Rotazione . . . . . . . . . . . . 172 5.4.4 Energia Cinetica e Lavoro in un Moto di Rotazione . . 173 5.5 Momento di Inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.6 Teorema di Hygens-Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.6.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.6.2 Energia Cinetica con il teorema di Hygens-Steiner . . 178 6 Introduzione alla Termodinamica 179 6.1 Termodinamica e Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.2 Sistemi Termodinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.3 Calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.4 Trasformazioni Termodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.5 Variabili di stato Intensive ed Estensive . . . . . . . . . . . . 184 6.6 Lavoro in una trasformazione termodinamica . . . . . . . . . 185 6.7 Rappresentazione Trasformazioni e Lavoro . . . . . . . . . . . 187 6.8 Equivalente meccanico della Caloria . . . . . . . . . . . . . . 189 6.9 Il primo Principio della Termodinamica . . . . . . . . . . . . 191 6.9.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.10 Primo Principio per un Gas Perfetto . . . . . . . . . . . . . . 197 6.10.1 Definizione di Gas Perfetto . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.10.2 Il Piano di Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.10.3 Energia Interna di un Gas Perfetto . . . . . . . . . . . 200 6.10.4 Calori Specifici di un Gas Perfetto . . . . . . . . . . . 202 6.10.5 Adiabatica reversibile di un Gas Perfetto . . . . . . . 204

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INDICE 6.10.6 Trasformazioni Politropiche . . . . . . . . . . . . . . . 205

Bibliography

206

Capitolo 1

Cinematica del punto 1.1

Introduzione

La Meccanica studia il moto dei corpi, e spiega la relazione fra le cause che generano un moto e le caratteristiche del moto stesso, ed esprime il tutto secondo leggi matematiche quantitative. Il moto in generale sar`a piuttosto complicato da esprimere, specie nel caso di corpi estesi, come sono di fatto tutti i sistemi fisici reali. Faremo per questo delle semplificazioni ed approssimazioni, come spesso accade in Fisica, ed inizieremo quindi il nostro studio con il moto pi` u semplice possibile, quello del punto materiale: si tratta di un corpo ideale privo di dimensioni fisiche, o per essere pi` u precisi di dimensioni trascurabili rispetto allo spazio in cui si muove o di quelle di eventuali altri corpi con cui interagisce. L’approssimazione di punto materiale rende molto pi` u semplice la trattazione di alcuni problemi. Se ad esempio vogliamo studiare il moto della Luna rispetto alla Terra, possiamo in prima approssimazione considerarle entrambe come punti materiali, visto che le loro dimensioni sono trascurabili rispetto alla loro distanza. Inoltre, pi` u in generale, lo studio del punto materiale ci permette di introdurre alcune grandezze fisiche fondamentali (per esempio la velocit` a) e di comprendere il loro significato intuitivamente in un contesto semplificato, senza tutte le complicazioni che avremmo nel caso di un corpo esteso. D’altra parte un corpo esteso solo eccezionalmente si muove come un punto materiale, ovvero con una semplice traslazione lungo una direzione definita. Pi` u in generale potr` a compiere pi` u movimenti contemporaneamente, ad esempio anche delle rotazioni intorno ad un asse. Quando arriveremo allo studio dei corpi estesi capiremo lo studio preliminare del punto materiale. L’analisi completa del moto include sia l’interazione del corpo in esame con i corpi circostanti, e quindi l’analisi delle cause che hanno generato il moto, sia la descrizione geometrica nel tempo del moto stesso. Quest’ultima 7

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CAPITOLO 1. CINEMATICA DEL PUNTO

parte della meccanica, che descrive il moto indipendentemente dalle cause che lo hanno generato, viene detta Cinematica, mentre lo studio del perch´e un moto avviene `e detto Dinamica. Cominceremo il nostro studio delle meccanica con la cinematica del punto materiale, proseguiremo con la dinamica del punto materiale, per passare poi ai casi pi` u generali della dinamica di pi` u punti e della dinamica dei corpi estesi. Il moto di un punto materiale `e noto se `e conosciuta la sua posizione in funzione del tempo in un determinato sistema di riferimento, ad esempio le sue coordinate x(t), y(t), z(t) in un sistema di riferimento cartesiano. Si definisce come traiettoria il luogo geometrico dei punti occupati successivamente dal punto materiale in movimento, e costituisce una curva continua nello spazio. La variazione della posizione nello spazio lungo la traiettoria in funzione del tempo ci porter` a a definire il concetto di velocit`a, e successivamente lo studio della delle variazioni della velocit` a in funzione del tempo ci porter`a a definire il concetto di accelerazione. Lo studio di queste variazioni dovr`a essere effettuato tramite la grandezza matematica di derivata, che richiameremo in queste dispense. Quindi possiamo dire che le grandezze fondamentali in cinematica sono lo spazio, la velocit` a, l’accelerazione e il tempo, con il tempo che rappresenter`a sempre la variabile indipendente da un punto di vista matematico. Si definisce come stato di quiete un particolare tipo di moto in cui le coordinate (la posizione) restano costanti, e quindi la velocit`a e l’accelerazione sono nulle. Va comunque sempre specificato il sistema di riferimento anche per uno stato di quiete, infatti uno stato di quiete in un particolare movimento potrebbe corrispondere ad uno stato in movimento in un altro sistema di riferimento. In generale la traiettoria di un punto materiale in movimento ha traiettorie diverse in diversi sistemi di riferimento, con diverse equazioni. Quando in seguito svilupperemo i concetti di velocit`a e accelerazione, considereremo in generale le funzioni x(t), y(t), z(t) sempre continue e derivabili.

1.2

Moto Rettilineo

Il primo moto che prendiamo in considerazione, quello pi` u semplice, `e il moto rettilineo. Questo si svolge sempre lungo una retta (la traiettoria `e una retta nello spazio), e se fissiamo arbitrariamente un’origine ed un verso su una retta, possiamo descrivere il moto semplicemente in un riferimento unidimensionale, tramite una sola coordinata in funzione del tempo x(t) (ovviamente in generale possiamo descriverlo come una retta in un sistema tridimensionale, il caso unidimensionale `e solo una semplificazione). La geometria del moto unidimensionale `e rappresentata in Figura 1.1.

1.2. MOTO RETTILINEO

9

Figura 1.1: Geometria del moto rettilineo. Si possono ottenere coppie di valori x e t e da questi ricercare una relazione matematica fra x e t, ovvero proprio x(t). Anche la scelta dell’origine dei tempi (l’istante iniziale della nostra osservazione) `e arbitraria: possiamo porre (e spesso lo faremo per comodit`a) t = 0, ma non `e strettamente necessario. Le misure ottenute possono essere rappresentate in un sistema cartesiano con due assi, ovvero la posizione x sull’asse delle ordinate ed il tempo corrispondente su quello delle ascisse. Otteniamo cos`ı il diagramma orario o legge oraria, ovvero l’andamento di una coordinata in funzione del tempo. Attenzione a non confondere la legge oraria (coordinata in funzione del tempo) con la traiettoria, che invece rappresenta il tipo curva geometrica disegnata dal punto materiale nello spazio. Su questo punto torneremo a breve. Dobbiamo inoltre inserire delle unit`a di misura per gli assi, ad esempio il secondo s per il tempo lungo le ascisse e il metro m per lo spostamento lungo le ordinate. Vediamo tre esempi nelle Figure 1.2,1.3,1.3.

tempo

posizione

0 s

-2 m

1 s

-1.5 m

2 s

-1 m

4 s

0 m

6 s

1 m

9 s

2.5 m

10 s

4 m

Figura 1.2: Il punto materiale si avvicina all’origine con una relazione lineare fra x e t del tipo x(t) = at + b, dove a e b sono due costanti in questo caso di valore a = 0.5ms−1 , b = −2m (vedremo nei prossimi paragrafi che si tratta di un moto rettilineo uniforme). Nei casi mostrati in Figura 1.2 e 1.3, il moto `e rettilineo (traiettoria)

10

CAPITOLO 1. CINEMATICA DEL PUNTO

tempo

posizione

0 s

4 m

1 s

3 m

2 s

2 m

3 s

1 m

6 s

1 m

9 s

1 m

10 s

1 m

Figura 1.3: Come nella figura precedente il punto materiale si avvicina all’origine con una relazione lineare fra x e t del tipo x(t) = at + b, dove a e b sono due costanti in questo caso di valore a = −1ms−1 , b = 4m. Raggiunta la posizione x = 1 il punto si ferma.(Un moto rettilineo uniforme seguito da uno stato di quiete).

e anche l’andamento in funzione del tempo `e lineare, per cui abbiamo una retta nel piano x, t. Vediamo adesso un caso diverso.

tempo

posizione

0 s

-2 m

1 s

-2 m

3 s

-2 m

4 s

-1.5 m

5 s

0 m

6 s

2.5 m

7 s

6 m

8 s

6 m

10 s

6 m

Figura 1.4: Nell’intervallo di tempo fra t = 0 e t = 3 il punto materiale rimane fermo nella posizione x = −2m (quiete), poi si muove secondo il verso positivo delle x con una relazione quadratica (parabolica) fra x e t del tipo x(t) = a + b(t − t0 )2 , dove a e b sono due costanti in questo caso di valore a = −2m, b = 0.5ms−2 e e t0 = 3s. Raggiunta la posizione x = 6 il punto si ferma di nuovo.(Un moto rettilineo uniformemente accelerato preceduto e seguito da uno stato di quiete).

1.3. RICHIAMI DI MATEMATICA (1)

11

Pur essendo il moto mostrato in Figura 1.4 sempre rettilineo (traiettoria rettilinea), la legge oraria nel tratto centrale (preceduto e seguito da uno stato di quiete) ha un andamento parabolico, ovvero come vedremo in seguito, un moto rettilineo uniformemente accelerato.

1.3 1.3.1

Richiami di Matematica (1) Il limite di una funzione

Consideriamo un numero reale y funzione di un numero reale x tale che y = f (x), e supponiamo che la funzione sia definita per tutti i punti di un intervallo [a, b], con esclusione del punto x0 (a < x0 < b). Si dice allora che la funzione ha come limite il numero reale l quando x tende (→) ad x0 se `e verificata la seguente condizione: dato un numero reale positivo ε arbitrariamente piccolo, `e possibile determinare un numero positivo σ tale che |f (x) − l| < ε purch´e |x − x0 | < σ per ogni x 6= x0 . Se questo `e verificato allora il limite `e lim f (x) = l.

x→ x0

1.3.2

La derivata di una funzione

Siano x ed y due variabili reali e sia f (x) una funzione che lega la variabile dipendente y alla variabile indipendente x y = f (x). Consideriamo adesso due valori x ed x1 della variabile indipendente appartenenti all’intervallo di definizione e siano y ed y1 i corrispondenti valori della variabile dipendente: y = f (x)

y1 = f (x1 ),

e definiamo come ∆x e ∆y i rispettivi incrementi della variabile indipendente e dipendente: ∆x = x1 − x ∆y = y1 − y. Calcoliamo ora il rapporto incrementale

∆y ∆x :

f (x + ∆x) − f (x) f (x1 ) − f (x) y1 − y ∆y = = = . x1 − x x1 − x ∆x ∆x

12

CAPITOLO 1. CINEMATICA DEL PUNTO

Figura 1.5: Significato geometrico del rapporto incrementale. Il significato geometrico del rapporto incrementale lo si pu` o comprendere osservando la Figure 1.5: il rapporto incrementale (poste uguali unit`a di misura per i due assi) rappresenta la tangente trigonometrica dell’angolo che la corda AB (secante) forma con l’asse delle x (l’angolo disegnato nella figura `e lo stesso con cui la corda prolungata interseca l’asse delle x.) Il rapporto incrementale `e funzione sia di x che di x1 , ovvero `e funzione sia della variabile indipendente x sia dell’incremento ∆x, e pu`o essere calcolato per qualsiasi valore di ∆x tranne che per ∆x = 0, valore per cui non `e definito. Tuttavia possiamo sempre calcolarci il limite del rapporto incrementale per ∆x → 0, e questo limite, se esiste finito, `e proprio la derivata della funzione f (x), e viene indicata come lim

∆x→0

df ∆f = f ′ (x) = . ∆x dx

Il significato geometrico della derivata si comprendere facilmente ripensando al significato geometrico del rapporto incrementale: quando ∆x → 0 il punto B sulla corda (sulla secante alla funzione f (x) passante per i punti A e B) tende al punto A e la secante diviene la tangente geometrica alla curva (alla funzione f (x)) nel punto A. Allora la funzione derivata coincide con la funzione tangente trigonometrica tg α dell’angolo α che la tangente geometrica forma con l’asse delle x. Il significato fisico della derivata dipende dal significato fisico delle variabili in gioco. Vedremo ad esempio a partire dal prossimo paragrafo che se la y = f (x) `e una legge oraria (e quindi la y `e una coordinata e la x `e il tempo t) allora la derivata f ′ (x) non sar` a altro che la velocit`a istantanea.

` NEL MOTO RETTILINEO 1.4. VELOCIT A

1.4

13

Velocit` a nel moto Rettilineo

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