Formulario generale Fisica 1 PDF

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Formulari di Fisica

Raccolta dei più importanti formulari di fisica trovati su internet

FORMULARIO DI FISICA 1

Unit` a di misura e statistica

Lunghezza x: metri (m). Tempo t: secondi (s). Massa M: chilogrammi (kg). Temperatura T : gradi Kelvin (o K). Corrente elettrica I: Ampere (A). P Valor medio: hxi = N 1=1 xi . 1 PN 2 Scarto quadratico medio: σ 2 = N −1 i=1 (hxi − xi ) .

2

Cinematica

Moto rettilineo uniforme: x = x0 + v0 t, v = v0 , a = 0. Moto uniformemente accelerato: x = x0 + v0 t + 21 a0 t2 , v = v0 + a0 t, a = a0 . 2 Moto circolare uniforme: θ = θ0 + ω0 t, ω = ω0 , v = Rω, a = Rv ; periodo T = f1 = con f frequenza lineare. Moto armonico: x = xM sin (ω t + θ0 ), con θ0 fase (angolo) iniziale.

3

Dinamica

~ = M ~a. Legge di Newton: F ~ Forza peso: F = M ~g. Forza elastica: F~ = −k ~x. Forza di attrito in piano orizzontale: F = −µ M g . Forza di attrito viscoso F~ = −c ~v ; per sfera: c = 6π R η. Quantit`a di moto: ~p = M ~v . q Frequenza di oscillazione di un corpo soggetto a forza elastica: ω = Mk

4

Energetica

Lavoro per forza costante: L = F~ · ∆~x = F ∆x cos (θ). Energia cinetica: T = 21 M v 2 . Energia potenziale della forza peso: U = M g z. Energia potenziale della forza elastica: U = 21 k x2 . L Potenza: P = ∆t .

2π , ω

5

Fluidodinamica

. Densit`a di un materiale omogeneo: ρ = M V Legge di Leonardo: v1 S1 = v2 S2 . Pressione: P = FS . Legge di Stevino: PB = PA + ρ g (zA − zB ). R2 Legge di Poiseuille: v = 8ηL ∆P , con η viscosit`a.

6

Termodinamica

Calore assorbito: Q = cs M∆T , con cs calore specifico. Legge di Fourier: Q = K SL ∆T ∆t. Legge dei gas perfetti: P V = n R T . Lavoro a pressione costante: L = P ∆V . 1mo principio della termodinamica: ∆E = Q − L, con E energia interna.

7

Elettrologia

= q E, con E campo elettrico. Forza di Coulomb: F = ke Qq r2 Potenziale elettrico: V = Uq , con U energia potenziale eletrica. . Corrente elettrica: I = ∆q ∆t 1ma legge di Ohm: V = R I . 2nda legge di Ohm: R = ρ LS .

Formulario di Fisica Generale I Cinematica r Velocit`a: ~v = d~ dt v d2 ~ r Accelerazione: ~a = d~ dt = dt2 Moto uniformemente accelerato v − v0 = a · t x − x0 = v0 · t + 21 at2 x − x0 = 21 (v0 + vx )t vx2 − v02 = 2a(x − x0 ) Corpo √ in caduta da fermo: v = p2gh t = 2h/g Moto del Proiettile g y = x · tan θ − 2 2 x2 2v0 cos θ v2 sin2 θ hmax = 0 2g v02 sin(2θ ) xmax = g Moto Circolare Velocit`a angolare: ω = dθ dt d2 θ Accel. angolare: α = dω dt = dt2 Moto Circolare Uniforme ω = 2π/T vtangenziale = ωr acentripeta = v2 /r = ω 2 r Moto Circolare Unif. Accel. ω − ω0 = α · t θ − θ0 = ω0 · t + 12 αt2 Moto curvilineo d |~v| ˆ v2 θ − rˆ ~a = aT θˆ + aR rˆ = r dt

Sistemi a pi` u corpi P

R

Massa totale: mT = mi = dm Centro diPmassa: R ~rCM = ( mi~ri )/mP ri dm)/mT T =( ~ ~vCM = d~rCM /dt = mi~vi /mT ~aCM = d~vCM /dt = d 2~rCM /dt2 Momento P di inerzia: R Iasse = mi r2i = r2 dm Teorema assi paralleli: Iasse = ICM + mD2

Forze, Lavoro ed Energia

~ = m~a Legge di Newton: F ~ Momento della forza: ~τ = ~r × F Forze Fondamentali Forza peso: Fg = mg Forza elastica: Fel = −k(x − l0 ) Mm Gravit` a: F~g = −G 2 rˆ r ~ E = 1 q1 q2 rˆ Elettrostatica: F 4πε0 r2 Forze di Attrito ~ S | ≤ µS | N ~| Statico: |F ~ ~ |ˆ Dinamico: FD = −µD |N v ~ Viscoso: FV = −β~v Lavoro R x ~ ~ R θf · dl = θi τ dω L = xif F ~ · l~ Forza costante: L = F

Forza elastica: L = − 12 k (xf − l0 )2 + 21 k (xi − l0 )2 Forza peso: L = −mgh   1 1 Gravit` a: L = Gm1 m2 · − rf ri   q1 q2 1 1 Elettrostatica: L = · − ri rf 4πε0 dL = F~ · ~v = τ ω Potenza: P = dt Energia Cinetica: K = 21 mv2 1 m v2 + 1I ω 2 Rotazione: K = 2 T1 CM 2 CM I ω2 2 AsseFisso Forze vive: Kf − Ki = LTOT Rx ~ ~ · dl Potenziale: U = −L = − xif F Meccanica: E = K + U = 12 mv2 + U Conservazione: Ef − Ei = LNON CONS En. potenziale forze fondamentali: Forza peso: U (h) = mgh Forza elastica: U (x) = 21 k(x − l0 )2 m1 m2 Gravit` a: U (r) = −G r q1 q2 1 · Elettrostatica: U (r) = 4πε0 r

Impulso e Momento Angolare Quantit` a di moto: p~ = m~ R tv ~ dt Impulso: I~ = p~f − p~i = t12 F ~ = ~r × p~ Momento angolare: L ~ = Iasse · ω Intorno ad un asse fisso: | L| Equazioni cardinali P p~T = p~i = mT · ~vCM ~LT = P L ~ = Iasse · ω ~ Pi ~ I card: F = d~ pT /dt = mT · aCM P ext ~ T /dt II card: ~τext = d L P Asse fisso: | ~τext | = Iasse · αasse

  v0 φ0 = arctan − ωx0 f = ω/2π, Tp= 2π/ω Molla: ω = k/m p Pendolo: ω = g/L

Momenti di inerzia notevoli Anello intorno asse: I = mr2 Cilindro pieno intorno asse: I = 12 mr2 1 mL2 Sbarretta sottile, asse CM: I = 12 2 mr2 Sfera piena, asse CM: I = 5 Lastra quadrata, asse ⊥: I = 16 mL2

Gravitazione 3a legge di Keplero: T 2 = q T Vel. di fuga: v = 2GM RT



4π 2 GMS



R3

Elasticit` a Modulo di Young: F/A = Y · ∆L/L Compressibilit` a: ∆p = −B · ∆V /V Modulo a taglio: F/A = Mt · ∆x/h

Fluidi Spinta di Archimede BA = ρL V g Continuit` a: A · v = costante Bernoulli: p + 12 ρv2 + ρgy = costante

Onde Velocit`a v, pulsazione ω, lunghezza d’onda λ, periodo T , frequenza f , numero d’onda k . v = ω/k = λ/T = λf ω = 2π/T , k = 2π/λ

Leggi di conservazione P

Onde su unapcorda Velocit`a: v = T /µ Spostamento: y = ymax sin(kx − ωt) Potenza: P = 12 µv(ωymax )2

Urti

Onde sonore p p Velocit`a: v = B/ρ = γp/ρ p v(T ) = v(T0 ) T /T 0 Spostamento: s = smax cos(kx − ωt) Pressione: ∆P = ∆Pmax sin(kx − ωt) ∆Pmax = ρvωsmax

p~T = costante ⇔ F~ext = 0 ~LT = costante ⇔ P τ~ext = 0 E = costante ⇔ LNONCONS = 0 Per due masse isolate p~T = costante: +m2 v2 Anelastico: vf = m1mv11 +m 2 Elastico (conservazione energia):  m1 v1i + m2 v2i = m1 v1f + m2 v2f 2 2 2) 2 m1 (v1i ) = m2 (v2f − v2i − v1f  m1 −m2 v + 2m2 v1f = m1 +m2 1i m1 +m2 v2i 2m1 2 −m1 v2f = m m1 +m2 v2i + m1 +m2 v1i

Moto Armonico  

x(t) = A cos ωt + φ0   v(t) = −ωA sin ωt + φ0   a(t) = −ω 2 A cos ωt + φ0 = −ω 2 x(t) r  v 2 0 A = x02 + ω 1

Intensit` a: I = 12 ρv(ωsmax )2 = Intensit` a(dB): β = 10 log10

2 ∆P max 2ρv

I I0

Soglia udibile I0 = 1.0 × 10−12 W/m2 Effetto  Doppler  v + vO cos θO ′ f f = v − vS cos θS

Termodinamica Primo principio Calore e cap. termica: Q = C · ∆T Calore latente di trasf.: Lt = Q/m Lavoro sul sistema:  dW = −pdV Q + Wsulsistema En. interna: ∆U = Q − Wdelsistema Z B dQREV Entropia: ∆SAB = T A Calore specifico Per unit` a di massa: c = C/m Per mole: cm = C/n Per i solidi: cm ≈ 3R Gas perfetto: cp − cV = R cV cp γ = cp /cV 3 5 5 monoatom. 2 R 2 R 3 5 7 7 biatomico 5 2R 2R Gas perfetti Eq. stato: pV = nRT = N kb T Energia interna: ∆U = ncV ∆T T Entropia: ∆S = ncV ln Tfi + nR ln VVfi Isocora (∆V = 0): W = 0 ; Q = ncv ∆T Isobara (∆p = 0): W = −p∆V ; Q = ncp ∆T Isoterma (∆T = 0): V W = −Q = −nRT ln Vif Adiabatica (Q = 0): pV γ = cost. T V γ−1 = cost. ; p1−γ T γ = cost. 1 (Pf Vf − Pi Vi ) W = ∆U = γ−1 Macchine termiche C Efficienza: η = QWH = 1 − Q QH QC C.O.P. frigorifero = W H C.O.P. pompa di calore= QW C Eff. di Carnot: ηREV = 1 − TTH Teorema di Carnot: η ≤ ηREV Espansione termica dei solidi Esp. lineare: ∆L/Li = α∆T Esp. volumica: ∆V/Vi = β∆T Coefficienti: β = 3α β gas perfetto, p costante: β = 1/T Conduzione e irraggiamento Corrente termica: ∆T kA P = ∆Q ∆t = R = ∆x ∆T

∆x Resistenza termica: R = kA Resistenza serie: Req = R1 + R2 Resistenza parallelo: R1eq = R11 + R12 Legge Stefan-Boltzmann: P = eσAT 4 L. onda emissione: λmax = 2.898TmmK

Gas reali Eq. Van Der Waals: (p + a( Vn )2 )(V − nb) = nRT

Calcolo vettoriale Prodotto scalare: ~ ·B ~ = |A|| ~ B| ~ cos θ A ~ = Ax Bx + Ay By + Az Bz ~ ·B A q p ~ = A ~ = A2x + Ay2 + Az2 ~ ·A |A| ˆ = A/| ~ A| ~ versore: A Prodotto vettoriale:   ˆi ˆj kˆ   ~ =  Ax Ay Az  ~ ×B A    Bx By Bz ~ ×B ~ = (Ay Bz − Az By )ˆi A + (Az Bx − Ax Bz )jˆ ˆ + (Ax By − Ay Bx )k

Costanti fisiche Costanti fondamentali Grav.: G = 6.67 × 10−11 m3 /(s2 · kg) Vel. luce nel vuoto: c = 3.00 × 108 m/s Carica elementare: e = 1.60 × 10−19 C Massa elettrone: me = 9.11 × 10−31 kg Massa protone: mp = 1.67 × 10−27 kg Cost. dielettrica: ε0 = 8.85 × 10−12 F/m Perm. magnetica: µ0 = 4π × 10−7 H/m Cost. Boltzmann: kb = 1.38 × 10−23 J/K 23 −1 N. Avogadro: N A = 6.022 × 10 mol 8.314 J/(mol · K) C. dei gas: R = 0.082 L · atm/(mol · K) C. Stefan-Boltzmann: σ = 5.6 × 10−8 W/(m2 · K4 ) Altre costanti Accel gravit` a sulla terra: g = 9.81 m/s2 Raggio terra: RT = 6.37 × 106 m Massa terra: MT = 5.98 × 1024 kg Massa sole: MS = 1.99 × 1030 kg Massa luna: ML = 7.36 × 1022 kg Vol. 1 mole di gas STP: VST P = 22.4 L Temp 0 assoluto θ0 = −273.15 ◦ C

Trigonometria α) sin2 (α) + cos2 (α) = 1, tan(α) = sin( cos(α) sin(−α) = − sin(α), cos(−α) = cos(α) sin(α±β) = sin(α) cos(β)± cos(α) sin(β ) cos(α±β) = cos(α) cos(β)∓ sin(α) sin(β ) sin(α) = ± cos(π/2 ∓ α) = ± sin(π ∓ α) cos(α) = sin(π/2 ± α) = − cos(π ± α) α) α) sin2 (α) = 1−cos(2 , cos2 (α) = 1+cos(2 2 2 sin α+β sin(α) + sin(β) = 2 cos α−β 2 2 α−β cos(α) + cos(β) = 2 cos 2 cos α+β 2

Derivate d f (x) = f ′ (x) dx d (a · x) = af ′ (a · x) dx d f (g (x)) = f ′ (g (x)) dx d xn = nxn−1 dx 1 d 1 dx xn = −n xn+1 d x x e =e dx 1 d dx ln x = x d sin(x) = cos(x) dx d cos(x) = − sin(x) dx

· g ′ (x)

Integrali Z

f (x)dx = I (x)

Z

f (x − a)dx = I (x − a)

Z

f (a · x)dx =

Z

xn dx =

I(a · x) a

xn+1 , n 6= −1 n+1 Z 1 1 1 =− · n−1 , n 6= 1 n x (n − 1) x Z 1 dx = ln x x Z ex dx = ex Z sin(x)dx = cos(x) Z cos(x)dx = − sin(x) Z x1 f (x)dx = I (x1 ) − I (x0 ) x0

Approssimazioni (x0 = 0) sin x = x + O(x2 ) (1 + x)α = 1 + αx + O(x2 ) ln(1 + x) = x + O(x2 )

Versione 2, 13 giugno 2011.

[email protected] et al. 2

FISICA GENERALE II FORMULARIO di ELETTROMAGNETISMO

1) Elettrostatica ǫ = ǫo ǫr = costante dielettrica assoluta ; ǫr = costante dielettrica relativa Nel vuoto( e nella maggior parte dei gas, condizioni STP)ǫr ≃ 1 − → Legge di Coulomb nel vuoto : F =

1 q1 q2 rˆ 4πǫo r2

− → − → F − → − → dF Campo elettrostatico : E = o E = q dq P − → → − Potenziale : forma integrale :V (P1 ) − V (P2 ) = P12 E · dl − → − → −−→ forma differenziale : E = −grad V = − ∇ V Conservativit´ a del campo elettrostatico − → − → Forma integrale : E · dl = 0 − → − → Forma differenziale : ∇ × E = 0 Campo elettrostatico e potenziale generati da : 1 q 1 q − → rˆ V = -carica isolata puntiforme : E = 2 4πǫ r 4πǫ r 1  qi 1  qi − → rˆi V = -distribuzione discreta di carica : E = 2 ri 4πǫ i ri 4πǫ   1 1 ρdτ ρdτ − → -distribuzione continua di carica : E = rˆ V = 4πǫ Ω r 4πǫ Ω r2 Dipolo elettrico

→ → 1 − r 1 − p ·− − → 1 → =− p · ∇( ) 3 r 4πǫ − 4πǫ r− → → p ·− p r )− 1 3( → − → → r − 3] [ Campo : E = 4πǫ r5 r − → → Energia del dipolo in un campo esterno : U = −− p · E − → − → − → → − → Forza agente su un dipolo costante: F = − ∇ U = ∇ (− p · E) − → → → Momento meccanico agente : − τ =− p ×E Potenziale : V =

Multipoli Il potenziale generato da una distribuzione di carica, a grande distanza dalle cariche, pu´o venir espresso tramite uno sviluppo in serie i cui primi termini sono : → → r 1 Q p ·− 1 − V = + ..... + 3 4πǫ r 4πǫ r − → (Q carica totale e p momento di dipolo della    distribuzione) → p = ( i qi xi , distribuzione discreta : − i qi zi ) i qi y i , 1

   → p = ( ρ x dτ , ρ y dτ , ρ z dτ ) distribuzione continua : − Legge di Gauss

 − Qint → (Σ superficie chiusa) E ·n ˆ dS = Σ ǫo ρ − → − → Forma differenziale : ∇ · E = ǫo

Forma integrale

:

Conduttori − → • E int = 0 •conduttore `e sempre equipotenziale − → σ ˆ •campo in vicinanza di un conduttore(Teorema di Coulomb): E = n ǫo dF σ2 •forza per unit´a di superficie su un conduttore : = 2ǫo dS Equazione del potenziale elettrostatico ρ Equazione di Poisson : ∇2 V = − ǫo Equazione di Laplace : ∇2 V = 0 (dove ρ = 0) Condensatori Q Definizione di capacit´ a: C= ∆V S Capacit´a cond. piano : C = ǫ d Capacit´a cond. cilindrico : C = 2πǫ Capacit´a cond. sferico : Condensatori in parallelo : Condensatori in serie : Energia del condensatore : Forza tra armature : (cond.piano)

L log(rest/rint ) rint rest C = 4πǫ rest − rint C = C1 + C2 + ... + CN 1 1 1 1 + + ... + = C C1 C2 CN 1 Q2 1 1 U = Q ∆V = C ∆V 2 = 2 2 2C 2 Q F = 2ǫS

Dielettrici → p ∆− − → P = lim∆τ →0 Vettore polarizzazione : ∆τ (momento dip. per unit´a volume) mezzo isotropo e lineare :

− → − → P = ǫo χ E

Suscettivit´ a dielettrica : χe = N [αdef + αorien ] ≃ N [4πRat3 + (N = no. molecole per unit´a di volume) Costante dielettrica relativa: ǫr = χ + 1 − → − − → → − → Vettore spostamento elettrico : D = ǫo E + P = ǫo ǫr E − → ˆ Cariche di polarizzazione : σpol = P · n − → − → : ρpol = − ∇ · P 2

1 po2 ] 3ǫo kT

Equazioni dell’elettrostatica in presenza di dielettrici − − → − → → − → E · dl = 0 ∇×E =0 ;  − − → − → → D ·n ˆ dS = Qlib ∇· D =ρ ; Σ Condizioni di continuit´ a all’interfaccia fra due mezzi Et1 = Et2 ; Dn1 = Dn2 Dielettrici densi

− → P − → − → Campo di Lorentz : E m = E + 3ǫo ǫr − 1 N α Formula Clausius-Mossotti : = 3ǫo ǫr + 2

Energia elettrostatica Energia distribuzione discreta : U =

1 1 1  qi qj qi Vi = rij 2 4πǫ 2 i i,ji=j

(Vi potenziale  di tutte le cariche = i) 1 ρV dτ Energia distribuzione continua : U = 2 1 Qi Vi Energia sistema conduttori : U= 2 i (Vi potenziale conduttore i con carica Qi ) 1− → − → 1 Densit´a energia del campo : u = E · D = ǫo ǫr E 2 2 2 Densit´a energia interazione di un dielettrico in un campo esterno: 1− → 1 → − u = E · D = ǫo ǫr E 2 2 2

2) Correnti stazionarie − → → → v =ρ− : j = nq− v ∂ρ − → − → Equazione di continuit´ a : ∇ · j = − (ρ=densit´ a di carica)  ∂t dq → = − j ·n ˆ dS Intensit´a di corrente : i= dt Σ − → − → Legge di Ohm (forma locale) : j = σ E (σ=conducibilit´a) per elemento finito : V = R i 1l l Resistenza conduttore di sezione costante : R = = ρs σS S N resistenze in serie : R = R1 + R2 + ... + RN 1 1 1 1 = N resistenze in parallelo : + + ... + R R1 R2 RN Leggi di Kirchhoff - legge dei nodi :  k ik = 0  legge delle maglie : k Vk k ik R k = Effetto Joule(potenza P = dW/dt,W =energia): − → − → in forma locale : dP = j · E dτ conduttore finito : P = V i = i2 R Densit´a di corrente

3

3) Magnetismo Magnetostatica nel vuoto

→ → v ×− r µ − − → Campo generato da una carica in moto : B = o q 3 4π r  − → − dl × → r − → µo Campo generato da una corrente : B = i 3 r 4π − → µo i τˆ -filo rettilineo indefinito : B = 2π r R2 − → µo ˆk -spira circolare ( sull’asse !) : B = i  2 (R2 + z 2 )3 Nspire -interno solenoide indefinito : B = µo i n [n = ] L → − − →  − → Forza agente su una corrente : F = i dl × B − → − → → Forza su carica in moto(Forza Lorentz) : F = q − v ×B

Equazioni della magnetostatica nel vuoto:  → − → − → − ∇· B =0 ; B ·n ˆ dS = 0 Σchiusa   − → − → − → − − → → ∇ × B = µo j ; B · dl = µo iconc Dipolo magnetico

 1 − − → → → m = Momento dipolo distrib. correnti: − r × j dτ 2 →=i S n Per una spira piana: − m ˆ →×− → r m − → µo − Potenziale Vettore : A = 3 4π→ r → − → m r )− m ·− − → µo 3(− → ] Campo : B = r − [ 5 r3 4π r − → → Energia dipolo in campo esterno : U = −− m· B → − → → − m× B Momento agente su dipolo in campo esterno : M = − Momento magnetico e momento angolare di una → →= q − L m carica q, massa m, in moto circolare uniforme: − 2m Precessione (di Larmor) in campo esterno: qB ωL = m

Potenziale vettore − → − → − → Definizione : B = ∇ × A − → − → Equazione del potenziale : ∇2 A = −µo j → → µo − m ×− r − → Potenziale generato da un dipolo : A = 3 r 4π Propriet´ a magnetiche della materia

→ m ∆− − → : M = lim∆τ →0 ∆τ (momento dipolo per unit´a di volume)

Vettore magnetizzazione

1 χ − − → − → → M= B =χH µo 1 + χ

mezzo isotropo e lineare : 4

Suscettivit´ a magnetica: χm = χdia + χpar ≃ −µo

N m2o N Ze2 < r 2 > + µo 3 kT 6me

1− → − → − → Vettore campo magnetico H : H = M χ − → − → − → − → − → − → Relazione fra B e H : B = µoH + µo M = µo µr H : µr = χ + 1 − → Correnti di magnetizzazione : jsup = M × n ˆ − → − → : jvol = ∇ × M Equazioni della magnetostatica nei mezzi materiali − − → − → − → − →  → ∇ × H = j libere ; H · dl = iconc  − → → − → − ∇· B =0 ; B ·n ˆ dS = 0 Σchiusa Condizioni di continuit´ a all’interfaccia fra due mezzi Ht1 = Ht2 ; Bn1 = Bn2 Circuiti magnetici Legge di Hopkinson : F = RΦ F = N i (forza magnetomotrice) 1 l R= (Riluttanza) µS Riluttanze in serie : R = R1 + R2 + ... + RN 1 1 1 1 Riluttanze in parallelo : + + ... + = R R1 R2 RN

4) Campi variabili Campi quasi-statici Legge di Faraday-Neumann  − dΦ d → − → → − dl = − E · B ·n ˆ dS Forma integrale : =− dt Σ dt − → ∂B − → − → Forma locale : ∇ × E = − ∂t Coefficiente di mutua induzione fra due circuiti : Φ2 = M12i1 ; Φ 1 = M21 i2 ; M12 = M21 Coefficiente di autoinduzione :Φ = Li Induttanza solenoide : L = µo n2 l S Energia magnetica

1 Φ k ik 2 k 1 B2 1− → 1 → − Densit´a energia del campo : u = H · B = µo µr H 2 = 2 2 2 µo µr 1 2 Energia induttore : U= Li 2 Energia sistema circuiti

: U=

5

5) Circuiti elettrici Grandezze variabili sinusoidalmente e fasori : i = io cos(ωt + φ) ≡ ℜ[io exp (iφ) exp (iωt)] = ℜ[I] I = I˜o e(iωt) ; I˜o = io eiφ dq q Circuito RC :R + =V dt C Carica C : q = CV (1 − exp (−t/τ) ; τ = RC Scarica C : q = qo exp (−t/τ) di +R i=V dt V Extracorrente chiusura : i = (1 − exp (−t/τ) ; τ = L/R R V Extracorrente apertura : i = exp (−t/τ) R

Circuito RL

:L

di 1 d2 i : L 2 +R + i=V dt C dt 1 Frequenza di risonanza : ωr = 2πνr = √ LC Impedenze complesse : resistenza : Z = R 1 capacit´a : Z = iωC induttanza : Z = iωL

Circuito RLC serie

6) Onde elettromagnetiche Equazioni di Maxwell Forma differenziale − → − → ∇· D =ρ − → − → ∇· B =0 − → ∂B − → − → ∇× E =− ∂t − → − → − → − → ∂D ∇×H = j + ∂t

Forma integrale  − → D ·n ˆ dS = Qi nt Σ  − → B ·n ˆ dS = 0 Σ   − ∂ → ˆ − → B ·n ˆ dS Γ E · dl = − ∂t Σ   − ∂ − → → ˆ  − → ˆ dS + H · dl = Σ j · n D ·n ˆ dS Γ ∂t Σ

− → − → ∂D Densit´a corrente di spostamento : j = ∂t − → − → Legge di Ohm(per conduttori) : j = σ E Caratteristiche generali propagazione per onde 1 ∂2φ =0 v 2 ∂t2 2 2 ∂ φ 1∂ φ Equazione delle onde (1D) : − 2 2 =0 2 v ∂t ∂z

Equazione delle onde (3D) : ∇2 φ −

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parametri dell’onda sinusoidale : 2π ω numero d’onda : k = = λ −−−v−−−−−−−−−→ − → vettore d’onda : k = k (versore propag.) v lunghezza d’onda : λ = ν pulsazione : ω = 2πν onda piana sinusoidale progressiva(1D) : φ = φ0 sin(kz − ωt) ≡ φ0 ei(kz−ωt) onda sferica sinusoidale progressiva(1D) : − →− φ0 → − → → r − ωt) = φ0 ei( k · r −ωt) φ= sin( k · − r Caratteristiche delle onde elettromagnetiche 1 c ; c=√ Velocit´a di propagazione(fase) : v = √ ǫr µr ǫo µo − → → − → Trasversalit´ a onde e.m. : E = − v × B Onda piana (polarizzata  asse-x) : E = Ex = Eo sin(kz − ωt) B = By = Bo sin(kz− ωt) µo Eo = vBo = Zo Ho ; Zo = ≃ 377Ω ǫo c dω Velocit´a di gruppo : vg = = dn dk n(ω) + ω dω Effetto Doppler (c=velocit´a onda e.m.): 1 − (voss /c) cos θ ν′ = ν  2 /c 2 1 − vsor Effetto Doppler nel moto collineare(non relativistico, v=velocit´a onda): v − voss ν′ = ν v − vsor Energia e impulso dell’onda 1 B2 1 Densit´a di energia : u = ǫE 2 + µH 2 = ǫE 2 = 2 2 µ (energia per unit´a di volume) − → − → − → Vettore di Poynting : P = E × H   → Intensit´a (istantanea)dell’onda : I = − P  = vǫE 2 = vu (potenza per unit´ a di superficie) Intensit´a (media) dell’onda(sinusoidale) : < I >= vǫ − → P − → ˆ Quantit´a di moto dell’onda : p = uonk = v (per unit´a di superficie e unit´a...