Formulario Volument 2 de las ingenieria como tal PDF

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1. DE VARIABLES SEPARABLES :∫�� ��(��)�� ��(��)���� = −∫�� ��(��)�� ��(��)����2. ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y REDUCIBLES: La E.��������= ��(��,��)es homogénea si��(��,��) es una función homogénea de grado cero en sus argumentos.Hacer el cambio de variable: �� = (����) o también: �� = (����)3. ECUACIONES ...

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FORMULARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES (MAT 207) 𝐠𝟐 (𝐲)

𝐝𝐲 = − ∫

1

𝐟𝟏 (𝐱) 𝐝𝐱 𝐟𝟐 (𝐱)

1.

DE V VA ARIAB RIABLE LE LES S SE SEP PAR ARABL ABL ABLES ES : ∫

2.

= 𝐟(𝐱, 𝐲)es EC ECUAC UAC UACIO IO IONE NE NES S HO HOM MOG OGÉN ÉN ÉNEAS EAS Y REDU REDUC CIBLE IBLES: S: La E.D E.D.. 𝐝𝐱 𝐟(𝐱, 𝐲) es una función homogénea de grado cero en sus argumentos.

𝐠 𝟏 (𝐲)

𝐝𝐲

homogénea

si

𝒙

𝒚

Hacer el cambio de variable: 𝒖 = ( 𝒙) o también: 𝒖 = ( 𝒚)

3.

EC ECUAC UAC UACIO IO IONE NE NES S RED REDUC UC UCIBL IBL IBLES ES A H HO OMO MOGÉ GÉ GÉNEA NEA NEAS S La E.D.: Donde:

𝒅𝒚 𝒅𝒙

𝐚 𝐱+𝐛 𝐲+𝐜

= 𝐚𝟏 𝐱+𝐛𝟏 𝐲+𝐜𝟏 𝟐

𝟐

𝟐

𝐥𝟏: 𝐚𝟏 𝐱 + 𝐛𝟏 𝐲 + 𝐜𝟏 = 𝟎

𝐥𝟐: 𝐚𝟐 𝐱 + 𝐛𝟐 𝐲 + 𝐜𝟐 = 𝟎

Si: 𝐥𝟏 // 𝐥𝟐 hacer el cambio de variable: 𝐭 = 𝐚𝟏 𝐱 + 𝐛𝟏 𝐲

Si 𝐥𝟏 ∦ 𝐥𝟐 encontrar el punto (h (h,, k) de intersección entre 𝐥𝟏 𝐲 𝐥𝟐 y hacer el cambio de variable: 𝒙 = 𝒙′ + 𝒉 y 𝒚 = 𝒚′ + 𝒌 La E.D. 𝑷(𝒙, 𝒚) 𝒅𝒙 + 𝑸(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 Será una ecuación diferencial homogénea si P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado, para lo cual se puede hacer el cambio de variable: 𝒚 = 𝒛𝜶 ò también: 𝒙 = 𝒛𝜶 .

4.

EC ECUAC UAC UACIONES IONES L LINE INE INEA ALES DE PRIME PRIMER RO OR RDEN 𝒅𝒚

Ecu Ecuaci aci ación ón L Line ine inea al res respe pe pecto cto d de e yy::

𝒅𝒙

+ 𝐩(𝐱)𝐲 = 𝐪(𝐱)

𝒚𝒆∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒒(𝒙) 𝒆∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙𝒅𝒙 + 𝑪

Soluci Solución: ón:

𝒅𝒙

Ecu Ecuaci aci ación ón L Line ine inea al res respe pe pecto cto d de e xx::

𝒅𝒚

+ 𝐩(𝐲)𝐱 = 𝐪(𝐲)

𝒙𝒆∫ 𝒑(𝒚)𝒅𝒚 = ∫ 𝒒(𝒚) 𝒆∫ 𝒑(𝒚)𝒅𝒚 𝒅𝒚 + 𝑪

Soluci Solución: ón:

𝐝𝐲 + 𝐝𝐱

𝐩(𝐱)𝐲 = 𝐪(𝐱)𝐲𝐧 Cambio de Variable:

5.

EC ECUAC UAC UACIÓN IÓN DE BE BERNO RNO RNOUL UL ULL LI

6.

EC ECUAC UAC UACIONES IONES D DIFE IFE IFERENC RENC RENCIALE IALE IALES S EXAC EXACTA TA TAS: S: 𝜕𝑁 𝜕𝑀 = 𝜕𝑥 Será exacta si se cumple:

𝐌(𝐱, 𝐲)𝐝𝐱 + 𝐍(𝐱, 𝐲)𝐝𝐲 = 𝟎

𝟏

𝐳 = 𝐲 𝐧−𝟏

𝜕𝑦

u(x u(x,y) ,y) = C donde: 𝒖(𝒙, 𝒚) = ∫ 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝒇(𝒚) = 𝑪 𝛛 𝐟(𝐲) = ∫ {𝐍(𝐱, 𝐲) − [∫ 𝐌(𝐱, 𝐲)𝐝𝐱]} 𝐝𝐲

Su solución será:

𝛛𝐲

También podemos escribir la solución u(x, u(x,y) y) = C C, donde: 𝒖(𝒙, 𝒚) = ∫ 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 + 𝒇(𝒙) = 𝑪 𝛛 𝐟(𝐲) = ∫ {𝐌(𝐱, 𝐲) − [∫ 𝐍(𝐱, 𝐲)𝐝𝐲]} 𝐝𝐱 𝛛𝐱

Fa Factor ctor Int Integ eg egran ran rante te

= 𝑓(𝑥)

Entonces

𝐹𝐼 = 𝑒 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

= −g(y)

Entonces

FI = e∫ g(y)dy

c) Si

M

la E.D. es homogénea

Entonces

d)Si

𝐲𝐟𝟏 (𝐱, 𝐲)𝐝𝐱 + 𝐱𝐟𝟐 (𝐱, 𝐲)𝐝𝐲 = 𝟎 Entonces

b) Si

7.

𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥

𝑁

a) Si

∂M ∂N − ∂y ∂x

FI =

1 x.M(x,y)+yN(x,y 𝟏

𝐅𝐈 = 𝐱.𝐌(𝐱,𝐲)−𝐲𝐍(𝐱,𝐲

EC ECUAC UAC UACIONES IONES DIF DIFERE ERE ERENC NC NCIALES IALES DE PR PRIMER IMER ORDE ORDEN, N, NO RE RESUE SUE SUELT LT LTAS AS CO CON N RE RESPECT SPECT SPECTO O A LA DERI DERIVADA VADA

a) En la ecuación f(y f(y,y’) ,y’) = 0 se puede despejar y:

𝒚 = 𝒈(𝒚′)

Hacer la sustitución y = p y reemplazar en la anterior ecuación de manera de obtener: 𝒚 = 𝒈(𝒑)

LMDC

FORMULARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES (MAT 207)

2

La solución general de la ecuación en forma paramétrica es: 𝒙=∫

𝒈′(𝒑) 𝒑

𝒅𝒑+C

𝒚 = 𝒈(𝒑)

b) En la ecuación f(x, f(x,y’) y’) = 0 se puede despejar x: 𝒙 = 𝒈(𝒚′)

Hacer la sustitución y’= p y reemplazar en la anterior ecuación de manera de obtener: 𝒙 = 𝒈(𝒑)

𝒚 = ∫ 𝒑. 𝒈′(𝒑)𝒅𝒑+C 𝒙 = 𝒈(𝒑)

En estas ecuaciones no se puede considerar p como una derivada, sino como un parámetro.

8.

EC ECUAC UAC UACIONES IONES D DE EL LAG AG AGRANGE RANGE Y CLAI CLAIRAU RAU RAUT T

a) Ecu Ecuaci aci ación ón d de eL LaG aG aGran ran range ge 𝒚 = 𝒙𝒇(𝒚′) + 𝒈(𝒚′) Solución: 𝒙 = 𝒉(𝒑, 𝑪)

𝒚 = 𝒉(𝒑, 𝑪)𝒇(𝒑) + 𝒈(𝒑)

b)Ecu Ecuaci aci ación ón d de eC Clairaut lairaut 𝒚 = 𝒙𝒚′ + 𝒈(𝒚′)

El método de resolución es el mismo que para la ecuación de LaGrange. La solución general de la ecuación de Clairaut tiene la forma 𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝒈(𝒑) La ecuación de Clairaut puede tener también una solución singular, que se obtiene eliminando

p entre las ecuaciones: 𝐲 = 𝐱𝐲′ + 𝐠(𝐲′) y

9.

𝐱 + 𝐠(𝐩) = 𝟎

EC ECUAC UAC UACION ION DE R RICAT ICAT ICATTI TI

𝐝𝐲 𝐝𝐱

= 𝐏(𝐱) + 𝐐(𝐱)𝐲 + 𝐑(𝐱)𝐲𝟐

Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular de la misma, a partir de la cual se hace el cambio de variable: 𝒚 = 𝒚𝟏 + 𝒖 Donde y1 es una solución particular de la E.D. de Ricatti.

10.

ALGU LGUNAS NAS A APL PL PLIC IC ICACIO ACIO ACIONES NES DE E EC CUAC UACIONE IONE IONES S DIFE DIFEREN REN RENC CIALES O OR RDI DINAR NAR NARIAS IAS DE P PRIME RIME RIMER RO ORDE RDE RDEN N PRO PROBLE BLE BLEMA MA MAS S SO SOB BRE M MEZCL EZCL EZCLAS AS Balance General

𝑸𝑬 − 𝑸𝑺 =

𝒅𝑽 𝒅𝒕

[=]

𝑳𝟑 𝒕

Balance por Componente 𝑸𝑬 𝑪𝑬 − 𝑸𝑺 𝑪 = Entonces 𝑸𝑬 𝑪𝑬 − 𝑸𝑺 𝑪 = 𝑽(𝒕)

11.

𝒅(𝑪) 𝒅𝒕

+𝑪

𝒅𝑽

𝒅(𝑽𝑪) 𝒅𝒕

𝑴

[=] 𝒕

𝒅𝒕

PROB ROBLE LE LEMAS MAS SO SOB BRE C CIRC IRC IRCU UITO ITOS S EN SE SERIE RIE La caída de voltaje a través de un circuito en serie es igual voltaje aplicado, es decir: VL + VR + VC = E(t) Donde: 𝐕𝐋 = 𝐋

𝐝𝐢 𝐝𝐭

𝐕𝐑 = 𝐑𝐢,

𝟏

𝐕𝐂 = ∫ 𝐢(𝐭)𝐝𝐭 𝐂

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FORMULARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES (MAT 207)

𝐢=

3

𝐝𝐪 𝐝𝐭

Por tanto Circuito L – R 𝐕𝐋 + 𝐕𝐑 = 𝐄(𝐭)

𝐝𝐢 + 𝐑𝐢 = 𝐄(𝐭) 𝐝𝐭 𝐝𝐢 𝐑 𝐄(𝐭) + 𝐢= 𝐋 𝐝𝐭 𝐋

𝐋

Circuito R – C 𝐕𝐑 + 𝐕𝐂 = 𝐄(𝐭) 𝐝𝐢

Si derivamos, obtenemos:

12.

𝐝𝐭

𝟏

𝐑𝐢 + 𝐂 ∫ 𝐢(𝐭)𝐝𝐭 = 𝐄(𝐭)

𝟏

𝐝𝐢

+ 𝐂 𝐢 = 𝐄′(𝐭) o también: 𝐝𝐭 +

𝟏 𝐢 𝐑𝐂

𝟏

= 𝐑 𝐄′(𝐭)

PROB ROBLE LE LEMAS MAS SO SOB BRE C CRE RE RECIM CIM CIMIE IE IENT NT NTO O Y DEC DECREC REC RECIMIE IMIE IMIENT NT NTO O La velocidad de crecimiento o decrecimiento es directamente a la cantidad presente 𝐝𝐒 =𝐤𝐬 𝐝𝐭 Cuya solución es 𝐬 = 𝐂𝐞𝐤𝐭

13.

PROB ROBLE LE LEMAS MAS SO SOB BRE E ENFR NFR NFRIAMIE IAMIE IAMIENT NT NTO. O. 𝐝𝐓

Ley de enfriamiento de Newton

14.

𝐝𝐭

= −𝐤 (𝐓 − 𝐓𝟎 )

APLIC PLICAC AC ACION ION IONE ES G GEO EO EOMÉ MÉ MÉTRIC TRIC TRICA AS. T Tra ra rayect yect yector or orias ias Ort Ortogon ogon ogonale ale aless Dada una familia de curvas planas, que es la solución general o curva integral de una ecuación diferencial, que tiene la forma general: 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝑪) = 𝟎

a) Hallar la E.D. de la familia de curvas dada, que tiene la forma general: 1

𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒚′) = 𝟎

b) Sustituir en esa E.D. y’ por − 𝑦′, para obtener una E.D. de la forma general: 𝑭 (𝒙, 𝒚, −

𝟏 )=𝟎 𝒚′

Resolver la nueva E.D. para encontrar la familia de las trayectorias ortogonales

15.

ECUAC UACIO IO IONES NES H HOMO OMO OMOGÉ GÉ GÉNEA NEA NEAS SC CON ON CO COEF EF EFICIE ICIE ICIENT NT NTES ES C CO ONST NSTANT ANT ANTES ES 𝒅𝒏 𝒚

𝒅𝒏−𝟏𝒚

𝒂𝒏 𝒅𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒅𝒙𝒏−𝟏 + ⋯ 𝒂𝟏

𝒅𝒚

𝒅𝒙

+ 𝒂𝒐𝒚 = 𝟎,, cuya solución es : 𝐲 = 𝐲𝐡 , es decir:

𝐲𝐡 = 𝐂𝟏 𝐲𝟏 + 𝐂𝟐 𝐲𝟐 + 𝐂𝟑 𝐲𝟑 + … + 𝐂𝐧 𝐲𝐧

Ecu Ecuaci aci ación ón C Cara ara aract ct cterís erís erístic tic tica a: 𝐚𝐦𝐧 + 𝐛𝐦𝐧−𝟏 + 𝐜𝐦𝐧−𝟐 + ⋯ = 𝟎   

16.

Cas Caso o II: Raíce Raícess Re Reale ale aless D Dist ist istinta inta intass.𝑦ℎ = 𝐶1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑚2 𝑥 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑒 𝑚𝑛𝑥

Cas Caso o II II: Raíc Raíces es Re Reales ales Ig Iguales uales uales. 𝑦ℎ = 𝐶1 𝑒 𝑚𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑚𝑥 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑒 𝑚𝑥

Caso IIII Caso II II: Raíc Raíces es ima imaginar ginar ginarias ias ias. 𝑦ℎ = 𝑒𝛼𝑥 [𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥]

ECUAC UACIÓ IÓ IÓN N DIF DIFERE ERE ERENCIAL NCIAL L LINEAL INEAL NO H HOM OM OMOGÉN OGÉN OGÉNEA EA D DE EO OR RDEN N 𝒏

𝒅𝒏−𝟏 𝒚

𝒅𝒚

𝒅 𝒚 𝒂𝒏 𝒅𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒅𝒙𝒏−𝟏 + ⋯ 𝒂𝟏 𝒅𝒙 + 𝒂𝒐 𝒚 = 𝐠(𝐱),, cuya solución es : 𝐲 = 𝐲𝐡 + 𝐲𝐩 , es decir:

𝒚 = 𝑪 𝟏 𝒚𝟏 (𝒙) + 𝑪 𝟐 𝒚𝟐 (𝒙) + ⋯ 𝑪 𝒏 𝒚𝒏 (𝒙) + 𝒚𝒑

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