Fórmulas Modelo MM1 Y Ejercicios PDF

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FORMULAS METODOS PROBABILISTICOS...

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FÓRMULAS MODELO M/M/1

Probabilidad que un cliente tenga que esperar:

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:

Número Promedio de clientes en la Cola:

Probabilidad de n clientes en el sistema:

Numero promedio de clientes en el Sistema:

Tiempo Promedio que pasa un cliente en el Sistema:

Tiempo Promedio que pasa un cliente en la Cola:

Número Promedio de clientes en la Cola:

Donde: 1. Lq = Número esperado de clientes en la cola 2. Ls = Número esperado de clientes en el sistema 3. Wq = Tiempo esperado de espera en la cola 4. Ws = Tiempo esperado de espera en el sistema Medidas del desempeño del sistema de colas: fórmulas generales

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES. Características operativas � = la cantidad promedio de llegadas por periodo (tasa media de llegada) µ = la cantidad promedio de servicio por periodo (tasa media de servicio) 1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: �� = 1 – �/µ 2. Cantidad promedio de unidades en la línea de espera: �� = �2/µ(µ− �) 3. Cantidad promedio de unidades en el sistema: �s = �� + �/µ 4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera: � � = ��/� 5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema: �s = �� + 1/µ 6. Probabilidad que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio: �� = �/µ o Factor de utilización.

7. Probabilidad de n unidades en el sistema: �� = (�/µ)� �� Condición: �/µ ˂1 � µ ˃ �; de lo contrario la línea de espera continuará creciendo sin límite debido a que la instalación de servicio no tiene suficiente capacidad para manejar las unidades que llegan.

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Características operativas para el modelo M/G/1 La notación usada para describir las características usada por el modelo M/G/1 son: � = la tasa media de llegada µ = la tasa media de servicio ∂ = la desviación estándar del tiempo de servicio 1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: �� = 1 – �/µ 2. Cantidad promedio de unidades en la línea de espera: �2�2+( �⁄µ)2 �� = 2(1− �⁄µ) 3. Cantidad promedio de unidades en el sistema: �s = �� + �/µ 4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera: �� = ��/� 5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema: �s = �� + 1/µ 6. Probabilidad que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio: �� = �/µ o Factor de utilización Modelo M/D/1 Con D refiriéndose a los tiempos de servicio determinísticos. Con la condición que la desviación estándar del tiempo de servicio constante es ∂ = 0, solo cambia: Cantidad promedio de unidades en la línea de espera: (�⁄µ)2 �� = 2(1− �⁄µ) MODELO DE LÍNEA DE ESPERA CON CANALES MÚLTIPLES CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIAL. Los modelos M/M/k deben cumplir las siguientes condiciones:

1. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson. 2. Tiempo de servicio para cada canal sigue una distribución de probabilidad exponencial. 3. La tasa media de servicio µ es la misma para cada canal. 4. Las llegadas esperan en una sola línea de espera y luego pasan al primer canal disponible para el servicio. Características operativas: � = la tasa media de llegada para el sistema µ = la tasa media de servicio para cada canal k = la cantidad de canales 1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: 1 �� = ∑ �−1 (�⁄µ)� + (�⁄µ)� �=0 �! �!

�µ �µ− �

1. Cantidad promedio de unidades en la línea de espera: (⁄µ)

( =

�

µ

�� (�− 1)!(�µ− �)2

2. Cantidad promedio de unidades en el sistema: �s = �� + �/µ 3. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera: �� = / 4. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema: �s = �� + 1/µ 5. Probabilidad que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio: µ �� µ−

�� = 1/�! (�/µ)�

o Factor de utilización

6. Probabilidad de n unidades en el sistema: ( �� =

( ⁄µ)� ��

para n ≤ k

�! ( �� =

( ⁄µ)� �� !�

(�−�)

para n ˃ k

MODELO DE CANALES MÚLTIPLES CON LLEGADAS DE POISSON, TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LÍNEAS DE ESPERA Suposiciones del modelo M/G/k: 1. El sistema tiene k canales 2. Las llegadas tienen una distribución de probabilidad de Poisson, con una tasa media de llegada � 3. Los tiempos de servicio para cada canal pueden tener cualquier distribución de probabilidad. 4. La tasa media de servicio µ es la misma para cada canal. 5. Una llegada entra al sistema sólo si al menos un canal está disponible. Características operativas para el modelo M/G/k con los clientes bloqueados eliminados Probabilidades de estado estable que j de los k canales estaría ocupado: (λ⁄µ)j j! �� = ∑ K (λ⁄µ)i i=0 i! donde: � = la tasa media de llegadas µ = la tasa media de servicio para cada canal k = la cantidad de canales Pj = la probabilidad de que j de los k canales estarán ocupados para j = 0,1,2,…,k Cantidad de unidades promedio en el sistema o canales promedio en uso: � = λ/µ [1 − Pk] MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA CON POBLACIONES FINITAS DE DEMANDANTES La cantidad máxima de unidades o clientes que pueden buscar servicio es finito. Supuestos: 1. Las llegadas para cada unidad siguen una distribución de probabilidad de Poisson, con una tasa media de llegada �. 2. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio µ. 3. La población de unidades que puede buscar el servicio es finita. Características operativas para el modelo M/M/1 con una población finita de demandantes. donde: � = la tasa media de llegadas para cada unidad

µ = la tasa media de servicio N = el tamaño de la población 1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: 1 �� = �! (�/µ )� �=0 (�−�)! 2. Cantidad promedio de unidades en la línea de espera: ∑

�

�� = � − �+µ (1 − �� ) 3. Cantidad promedio de unidades en el sistema: �s = �� + (1 − ��) 4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera: �� = (�−�)� 5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema: �s = �� + 1/µ 6. Probabilidad que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio: �� = 1 − �� o Factor de utilización 7. Probabilidad de n unidades en el sistema: ! (�/µ)� ��

�� =

para n = 0,1,…,N

(�−�)! ANÁLISIS ECONÓMICO DE LAS LÍNEAS DE ESPERA Definimos: cw = el costo de esperar por periodo para cada unidad L = la cantidad promedio de unidades en el sistema cs = el costo de servicio por pedido para cada canal k = la cantidad de canales TC = costo total del periodo TC = cwL + csk EJERCICIOS M/M/1 Ejercicio 1

Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola. Se solicita: a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema. b) Número promedio de clientes en la cola. c) Número promedio de clientes en el Sistema en un momento dado. Solución: λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes) = 45/60 clientes/minutos = 0.75 µ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos = 1 Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola) a) tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema (Ws). �� = �� + �//� = 3 minutos + �/� = � + � = � ������� b) número de clientes en la cola (Lq) �� = � ∗ ��=0.75 /

x 3 minutos = 2.25 clientes.

c) número de clientes en la cola (Ls). Ls= λ Ws. �s = � ∗ �s = 0.75 / ∗ 4 ������� = 3 �������� Ejercicio 2 Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola Calcule las medidas de desempeño del sistema a) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso? b) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el sistema está ocupado? c) ¿Cuál es el número promedio de clientes en la cola? d) ¿Cuál es la probabilidad que haya 10 clientes en la cola? Solución: λ= 100 clientes/hora (media de llegada de los clientes) = 100/60 clientes/minutos = 1.667 µ= 150 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 150/60 clientes/minutos = 2.5 Wq = 2 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola) a) la probabilidad de que el sistema este ocioso

� = � � = 100 �������/ℎ ℎ ℎ/ 150 �������/ℎ ℎ = 0.66 = 66.7% P = (1- ρ)

P = 1- 0.667= 0.333 = 33.3%

b) La probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar �� = (1 – /) (// )� Para nuestro caso n=1 y la formula se convierte en: �1 = (1 – /) (//)1 = (1 – 100/150)(100/150) 1 = (1 − 0.667)(0.667) = 0.222=22.2% c) el número de clientes en la línea de espera. �� = � ∗ ��=1.667 /x 2 minutos = 3.334 clientes ≈ 4 clientes en la cola. d) La probabilidad de que haya 10 clientes en la cola, �10 = (1 – /) (//)10 = (1 – 100/150) (100/150) 10 = (1 − 0.667) (0.667) 10 = 0.0058 = 0.58%...