Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Vigas Trabajo DE Mecanica PDF

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FUERZA DE VIGAS...

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Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Vigas ESFUERZO CORTANTE 1.1.

Definición.

El esfuerzo cortante, de corte, de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico como por ejemplo una viga o un pilar. Se designa variadamente como T, V o Q El momento flexionante en cualquier sección de la viga tiene igual magnitud, pero dirección opuesta a la suma algebraica de los momentos respecto a la sección que se esté considerando de todas las cargas externas, y reacciones en los apoyos que actúan sobre cualquiera de los dos lados de esta sección.

1.2 ¿Cuándo OCURRRE? Ocurre flexión cuando un elemento de sección constante y simétrica respecto al plano donde ocurre dicha flexión, se somete a momentos flectores, M, (o a cargas transversales). La figura muestra un elemento, denominado ‘viga’, de sección rectangular sometido a flexión. Cuando la viga está sometida a momentos flectores, sin cargas transversales, ocurre flexión pura.

Imagen I.

El elemento sometido a flexión se curva, de tal manera que algunos puntos se alargan quedando sometidos a esfuerzos de tracción.

Algunos se acortan quedando a compresión, y otros no se deforman ni soportan esfuerzo. A un momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal de un prisma mecánico flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión. Imagen I.I Es una solicitación típica en vigas y pilares y también en losas ya que todos estos elementos suelen deformarse predominantemente por flexión. El momento flector puede aparecer cuando se someten estos elementos a la acción de un momento (torque) o también de fuerzas puntuales o distribuidas. Los signos que determinan los momentos flectores en vigas como positivos o negativos dependen del efecto que dicho momento produce, cuando el efecto del momento produce tensiones en las fibras inferiores de la viga se habla de un momento positivo, mientras que si el momento produce tensiones en las fibras superiores de la viga se hablara que se produjo un momento negativo. El ‘plano neutro’ que es aquel que contiene los puntos de la viga que no sufren deformación ni esfuerzo. El plano neutro es perpendicular al plano donde ocurre la flexión, paralelo a la dirección axial de la viga, y pasa por el centroide de la sección.

Los estados de esfuerzo de los puntos más alejados del eje neutro son iguales a los producidos en carga axial. Como se dijo, en flexión se producen esfuerzos normales, de tracción y de compresión, distribuidos linealmente. Los puntos en el plano neutro no soportan esfuerzo, y el esfuerzo en un punto cualquiera es directamente proporcional a la distancia de dicho punto al plano neutro. De acuerdo con esto, los esfuerzos máximos, de tracción y de compresión, ocurren en los puntos más alejados del plano (o eje) neutro, y están dados por:

Imagen I.II

Imagen I.III

donde St y Sc son los esfuerzos máximos de tracción y de compresión, ct y cc son las distancias desde el plano neutro hasta los puntos extremos, M es el momento flector en la sección a analizar, e I es el momento rectangular de inercia de la sección. La ecuación anterior es válida si la sección es simétrica respecto al plano donde ocurre la flexión. Si la sección es simétrica respecto al eje neutro, es decir, la sección es doblemente simétrica, el esfuerzo se puede expresar como en la imagen I.IV:

Imagen I.IV donde S es el esfuerzo en el punto extremo superior o inferior. El signo ‘+’ indica que el esfuerzo es de tracción y el signo ‘–’ indica que es de compresión, c es la distancia desde el plano neutro hasta los puntos extremos y Z = I/c es el módulo de la sección.

A continuación en la (Imagen I.V) se muestran las secciones transversales típicas

de vigas. Las

secciones (a), (b) y (c) son doblemente simétricas. Las secciones (d) y (e) son simétricas sólo respecto al plano 7 vertical (donde ocurre la flexión)

Imagen I.V

Consideraciones: 

Si existen cargas transversales sobre la viga, aparecen también esfuerzos cortantes, los cuales son más pequeños que los esfuerzos normales si la viga es ‘larga’ (esbelta).



Una viga se considera ‘larga’ si su longitud es 10 ó más veces la mayor dimensión de la sección.



Es importante tener claro que en los puntos de mayores esfuerzos normales (puntos extremos) el esfuerzo cortante es igual a cero; por lo tanto, los puntos de análisis están sometidos sólo a esfuerzo normal; es decir, no se desprecia el



esfuerzo cortante en la viga, simplemente se omite el análisis de puntos diferentes a los puntos de mayores esfuerzos normales.



Si la viga es ‘corta’ o es de madera (la resistencia de la madera al esfuerzo cortante puede ser pequeña en la dirección de las fibras), es necesario revisar la viga a los esfuerzos cortantes.

Las ecuaciones para flexión son válidas bajo las siguientes condiciones: 1.

La viga es recta en dirección longitudinal (sin carga).

2.

El punto a analizar no está situado en la proximidad del punto de aplicación de una fuerza, o de una discontinuidad de la sección.

3.

El esfuerzo calculado en la superficie es válido si ésta es lisa.

4.

La sección de la

viga es simétrica con respecto al plano de aplicación de las cargas.

5.

Las alas, si las hay, no están pandeadas.

6.

La carga es estática.

7.

El material es homogéneo.

8.

La viga no está retorcida.

9.

El material no tiene tensiones residuales.

10. El esfuerzo cortante (vertical) es despreciable comparado con el esfuerzo de flexión. 11. No hay componente longitudinal de las fuerzas sobre la viga. 12. El esfuerzo permanece

proporcional a la deformación (Ley

de Hooke), es decir,

el esfuerzono sobrepasa el valor del límite de proporcionalidad. Los diagramas d e

fuerza cortante y momento lector de una viga son aquellos en los

cuales se puede determinar la fuerza cortante interna, V, y el momento flector interno, M, en las diferentes secciones de la viga. Entonces, de estos diagramas se determinan las secciones de mayores momentos flectores y mayores fuerzas cortantes. 2.I FUERZA CORTANTE El esfuerzo cortante, de corte, de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico como por ejemplo una viga o un pilar. Se designa variadamente como T, V o Q. Este tipo de solicitación formado por tensiones paralelas está directamente asociado a la tensión cortante. Para una pieza prismática se relaciona con la tensión cortante mediante la relación:

Imagen 2 Para una viga recta para la que sea válida la teoría de Euler-Bernoulli se tiene la siguiente relación entre las componentes del esfuerzo cortante y el momento flector:

Imagen 2.1

No deben confundirse la noción de esfuerzo cortante de la de tensión cortante. Las componentes del esfuerzo cortante puede obtenerse como las resultantes de las tensiones cortantes. Dada la fuerza resultante de las tensiones sobre una sección transversal de una pieza prismática, el esfuerzo cortante es la componente de dicha fuerza que es paralela a una sección transversal de la pieza prismática:

donde: n es un vector unitario a la sección transversal. t es el campo vectorial de tensiones. Obviamente dado que:

El diagrama de esfuerzos cortantes de una pieza prismática es una función que representa la distribución de esfuerzos cortantes a lo largo del eje baricéntrico de la misma. Para una pieza prismática cuyo eje baricéntrico es un segmento recto los esfuerzos cortantes vienen dados por:

3.1CONVENCIÓN DE SIGNOS

Para analizar vigas sometidas a cargas se ha adoptado una convención de signos para que los cortantes y momentos estudiados tengan significado. En el paquete didáctico se dan los ejemplos y circunstancias en los que un momento se considera positivo o negativo. Se empieza con una escena donde se observan dos vigas sin carga alguna (Figura III).

Figura III Vigas libre de cargas

Posteriormente a cada una se le aplican acciones externas diferentes, una fuerza vertical a la primera viga y a la segunda momentos. Con esto se observa una deformación “cóncava” de las vigas como se muestra en las figura III.I.

Figura III.I Flexión positiva

Siguiendo, se cambia el sentido de las acciones externas y la deformación de las vigas se es ahora “convexa” (Figura III.II). Cada deformación va acompañada de su texto indicando si el momento es positivo o negativo.

Figura III.II Flexión negativa

Al pasar a la siguiente escena se presenta la convención de signos usada para la fuerza cortante. Aquí se presenta la animación de una viga libre de cargas y se le hace un corte por la mitad. Se le aplican cargas a la viga, de ambos lados del corte, y la viga se corta. Dependiendo del sentido de las cargas aplicadas, la viga se corta de dos diferentes maneras. Al usuario se le indica qué cargas logran el corte positivo y de igual forma cuáles el corte negativo (Figura III.IV).

Positivo

Negativo

Figura III.IV Convención de signos para cortante

3.2 DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE Para la secuela de cálculo, el paquete reúne tres casos de vigas, de diferentes claros, diferente ubicación de apoyos, y con diferentes tipos de cargas aplicadas a ellas (puntuales, distribuidas, triangulares). Con esto se trata de abarcar los escenarios más comunes en que una viga está sometida a fuerzas.

En cada ejemplo se guía al usuario con la metodología usual para determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. 3.2.1 Ejemplo 1

Para el primer ejemplo se presenta una viga simplemente apoyada en los extremos, sometida una carga puntual y una distribuida parcial (Figura IV).

Figura IV Viga sometida a cargas

Se le indica al usuario que el primer paso es la determinación de las reacciones. Con una animación, los apoyos son transformados en flechas indicando el sentido de la reacción. Este diagrama de cuerpo libre se mantiene a lo largo de toda la escena. Se continúa estableciendo un eje de referencia y posteriormente se efectúa un corte para analizar las acciones internas a una distancia x del origen del eje de referencia (Figura IV.I)

Figura IV.I Primer corte a una distancia x del extremo izquierdo de la viga

¡Se obtiene el diagrama del cuerpo libre del lado izquierdo del corte y se analizará todas las fuerzas que se encuentran en ese lado; por equilibrio se obtienen las ecuaciones para la fuerza cortante V y el momento flexionante M (Figura IV.II).

Figura IV.II Ecuaciones para V y M obtenidas para el primer corte

Una vez obtenidas las ecuaciones, la placa (que representa la localización del corte) se mueve hacia la derecha hasta pasar la carga de los 10 kN. Aquí se le explica al usuario que el

diagrama de cuerpo libre del lado izquierdo de la viga ha cambiado debido a la presencia de la nueva carga y, en consecuencia, habrá nuevas ecuaciones para V y M (Figura IV.III).

Figura IV.III Ecuaciones para V y M obtenidas en el segundo corte

Realizado esto, la placa se mueve nuevamente ahora más allá de los 3.5 m. Aquí aparecen nuevas cargas que modifican el diagrama de cuerpo libre anterior. Entonces nuevas ecuaciones para V y M son obtenidas. Para explicar de manera visual cómo se consideran las cargas distribuidas, mediante una animación ésta se transforma en una carga puntual y se acota su distancia al corte (Figura IV.III).

Figura IV.III Ecuaciones para V y M obtenidas en el tercer corte

Se le explica al usuario que no es estrictamente necesario estudiar la viga de izquierda a derecha, y que, en el caso del último corte, resulta más conveniente analizar el diagrama de cuerpo libre del lado derecho del corte. Se cambia el eje de referencia y se consiguen las ecuaciones para V y M. Éstas se comparan con las obtenidas inicialmente para el mismo corte, notando una disminución considerable de elementos en las expresiones (Figura V).

Figura V Diagrama de cuerpo libre del lado derecho del tercer corte

De esta manera se le explica al usuario las consideraciones que debe de tomar en cuenta al momento de definir el número de cortes necesarios para analizar una viga. A continuación se muestran gráficamente los cortes que fueron necesarios para obtener las variaciones de fuerza cortante y momento flexionante de esta viga en particular (Figura V).

Figura V Cortes necesarios para en análisis de la viga

Al haber terminado de establecer las ecuaciones de V y M para todas las secciones, se procede a obtener los diagramas de fuerza cortante y momento flexionantE.

El primer diagrama a graficar es el de fuerza cortante. Para ello aparece debajo del diagrama de cuerpo libre de la viga un eje de referencia necesario para el diagrama, con x como abscisas y V en unidades de kN como ordenadas. Antes de que aparezca la gráfica de cortante, en el diagrama de cuerpo libre de la viga, aparece una placa transparente (Figura V.I).

Figura V.I Eje de coordenadas para el diagrama de fuerza cortante

En el extremo izquierdo de la pantalla aparecen las ecuaciones de V respectivas a cada rango, además de texto explicativo de cómo se obtiene la gráfica. Después, con ayuda de una animación, se consigue el diagrama: la placa transparente avanza por la viga (que representa la posición x, el corte donde se estudia la viga) y en el eje de referencia se van graficando los valores para V a medida que avanza la placa (Figura V.II).

Figura V.I Diagrama de cortantes Una vez que se consigue el diagrama de cortante, se resalta alguna cualidad del diagrama; para este ejemplo, que el cortante más grande se encuentra en los apoyos. Finalizada la obtención del diagrama de cortante, se prosigue a encontrar el diagrama de momentos. Se vuelve a empezar con los mismos elementos con que comenzó el diagrama de cortante. De igual forma, a la izquierda aparecen las ecuaciones (ahora de momento flexionante) para los rangos ya conocidos. Lo que sigue tiene la misma base de animación que el diagrama anterior, pero aquí aparece graficado el diagrama de momentoS. Posterior a la obtención del diagrama, un texto surge explicando algunos detalles de la gráfica. En este ejemplo, se hace ver que en los apoyos de una viga simplemente apoyada el momento será nulo.

También se le explica al usuario que el diagrama de momentos ayuda a entender la manera en que la viga se flexiona. Para esto, el diagrama de cuerpo libre de la viga se flexiona con una animación hasta el punto en que puede verse la relación entre la deflexión y el diagrama de momentos (Figura V.II).

Figura V.II Deflexión de la viga y Diagrama de momentos...