Cortante Y Momento Flector 2 PDF

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FUERZAS INTERNAS EN VIGAS Pither Ascencion Ortiz Albino

1.-VIGAS. Viga es un elemento estructural diseñado para soportar cargas perpendiculares a su eje y que sean aplicadas en varios puntos a lo largo del elemento. Estas cargas conjuntamente con la geometría constituyen los datos del problema. Cuando las cargas no formen ángulo recto con el eje de la viga, también producirán fuerzas axiales internas en ella. Las cargas así descritas ocasionan fuerzas internas (reacciones, momento y fuerza de corte y fuerzas axiales) que son fuerzas que no vemos y que es necesario calcular.

1.1.-Vigas estáticamente determinados.- Son aquellas cuyas reacciones,( que son las fuerzas internas que no vemos), en los apoyos se pueden determinar utilizando las ecuaciones de equilibrio que son 03 en el plano, ∑ 𝐹𝑥 = 0. ∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝑀𝐵 = 0, en la figura Nº 1 en los tres ejemplos hay dos fuerzas desconocidas y

tres ecuaciones para calcularlas, por lo tanto son estáticamente determinados.

Figura Nº 1 .

1.2.-Vigas estáticamente indeterminados. - Son aquellas cuyas reacciones en los apoyos excede al número de ecuaciones de equilibrio. En la figura Nº 2 hay 4

fuerzas internas que calcular y solo tres ecuaciones, por lo tanto son

indeterminadas; lo que indica que no se puede calcular con las ecuaciones de equilibrio. 1

Figura Nª 2. 2.-Tipos de cargas En general las cargas pueden ser: Fuerzas puntuales. - Se aplican en un punto que se expresa en kgf, ejemplo peso de unas personas, peso de un elemento, cruce de muros de pared, carga de los sismos, carga del viento, carga de vehículos. Figura Nª 3 Momento. - Se calcula fuerza por distancia; en unidades ( kgf-m) sin embargo, es una fuerza puntual porque su efecto se considera aplicado a un punto, Figura Nª 3

Figura Nº 3. Cargas distribuidas. - Se expresa en unidades de kgf/m, ejemplo el peso de varias personas, la porción BC de la figura Nº 4. El peso de propio de una viga.

Figura Nº 4

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Cargas variables. - Son aquellas que varían ejemplo la acción del suelo sobre un muro de contención, la acción del agua sobre un dique, un muro de forma triangular; las cargas de viento. Se expresan en kgf/m. figura Nº 5.

Figura Nº 5 3.- Fuerzas internas en vigas. Las fuerzas internas son las que deseamos calcular para diseñar un elemento estructural: son las fuerzas que no vemos, pero sabemos que existen. Estas cargas internas son las reacciones en los apoyos, la fuerza cortante, el momento flector o flexionante y cuando la carga externa que no es perpendicular al eje de la viga la fuerza axial.

Las cargas internas pueden determinarse por el método de secciones. Tenemos una viga en voladizo, Figura Nº 6. Si deseamos determinar las cargas internas en el punto B. Entonces debemos pasar una sección imaginaria 𝐵 − 𝐵,. Las cargas internas quedan expuestas, con los cuales aplicando las ecuaciones de equilibrio se puede calcular.

Figura Nª 6

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La componente de fuerza 𝐍𝐵 que actúa perpendicular al área transversal se denomina fuerza axial. La componente de fuerza 𝐕𝐵 se llama fuerza cortante y

el momento de par 𝐌𝐵 se conoce como momento flexionante.

Estas pueden determinarse al aplicar las ecuaciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre de cualquier segmento. Utilizando el segmento derecho, de la figura Nº 6 se tiene que una solución para la fuerza axial 𝐍𝐵 se obtiene al aplicar ∑ 𝐹𝑥 = 0, la fuerza cortante 𝐕𝐵 se obtiene de ∑ 𝐹𝑦 = 0 y el momento flector 𝐌𝐵 se puede obtener al aplicar ∑ 𝑀𝐵 = 0. 4.- Relaciones entre cargas, fuerza cortante y momento flector Es posible graficar rápidamente los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante mediante las relaciones diferenciales que existen entre la carga distribuida 𝑤 y 𝑉 y 𝑀 .

Figura Nº 7 Si se separa una diferencial de viga de un espesor igual a un dx, en esta actuarán las siguientes fuerzas internas y externas

Figura Nª 8 Extraído del google.com

∑ 𝐹𝑦 = 0, 𝑉 − 𝑤(𝑑𝑥) − (𝑉 + 𝑑𝑉) = 0 4

𝑑𝑉 = −𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 La carga es igual a la variación del cortante por unidad de variación de longitud de x 𝑑𝑥 ∑ 𝑀 = 0, −𝑀 + (𝑀 + 𝑑𝑀) − 𝑉𝑑𝑥 + 𝑤(𝑑𝑥 ) ( ) = 0 2 𝑤 2 𝑑𝑀 = 𝑉𝑑𝑥 + (𝑑𝑥) 2 𝑑𝑀 = 𝑉𝑑𝑥 𝑑𝑀 = 𝑉(𝑥) 𝑑𝑥 El esfuerzo cortante es igual a la variación del momento flector por unidad de variación de x. Esta ecuación ayuda en el dibujo del diagrama de fuerza cortante y momento flector.

5.- Diagrama de fuerza cortante y momento flector. (procedimiento para dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flector, para una viga)

5.1.-Convención de signos carga puntual (solución matemática) Si la fuerza cortante es positiva en una cierta sección de la viga la pendiente del diagrama del momento flector es también positiva en ese punto. Por otro lado, demuestra que un cambio brusco del cortante correspondiente a una carga aislada va acompañada por un cambio brusco de la pendiente del diagrama del momento flector. Es necesario tener en cuenta que en los puntos en que el cortante es nulo, la pendiente del diagrama de momentos flectores también es nula, en estos puntos; la tangente del diagrama es horizontal.

Figura Nª 8 Extraído del google.com

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5.2.- Convención de signos carga distribuida (solución matemática) Para poder efectuar el dibujo del diagrama de momento flector, se trata también de determinar el sentido de las concavidades en un punto tal como el A o el B para lo cual en concordancia con el cálculo de los valores máximos y mínimos que indica las matemáticas, se halla la segunda derivada de M respecto a x, esto es 𝑑 2 𝑀 ⁄𝑑𝑥 2 . Si el valor de esta segunda derivada es positivo el diagrama de momentos tiene la concavidad hacia arriba como en A y el momento presenta un valor mínimo. Figura Nª 9. Si la segunda derivada es negativa, el diagrama de momentos presenta concavidad hacia abajo como en B y el momento adopta un valor máximo.

Figura Nº 9 Sin embargo, lo antes indicado es una forma de resolver los problemas de momento flector y dibujar los diagramas desde un punto de vista matemático. 5.3.-Dibujo final del momento flector. En realidad, la figura de momento flector deberá ser invertida de tal manera que los momentos flectores negativos vayan en la parte superior y los momentos positivos en la parte inferior.

Ejemplo. -Hallar la fuerza cortante, momento flector de la estructura mostrada en la figura y dibujar sus respectivos diagramas.

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∑ 𝐹𝑌 = 0, − 250 − 𝑉 = 0, ∑ 𝑀0 = 0 , + 𝑀 + 250𝑥 = 0, 𝑥 = 0, 𝑀 = 0 𝑥 = 2, 𝑀 = −500 𝑘𝑔𝑓. 𝑚

𝑉 = −250 𝑘𝑔𝑓 𝑀 = −250𝑥 𝑘𝑔𝑓. 𝑚

Es cortante negativa.

1. Hallar la fuerza cortante, momento flector de la estructura mostrada en la figura y dibujar sus respectivos diagramas

∑ 𝐹𝑦 = 0, − 𝑉 −ω𝑥 = 0, 𝑥 = 0, 𝑉 = 0 𝑥 = 𝐿, 𝑉 = −ω𝐿 ∑ 𝑀 = 0, 𝑥 = 0,

𝑥 = 𝐿,

𝑥

𝑉 = −𝜔𝑥

+ 𝑀 + 𝜔𝑥 ∙ 2 = 0, 𝑀 = −

𝑀=0

𝑀=−

𝜔𝑥 2 2

𝜔𝐿2 2

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Derivando, hallando la 𝑑 2 𝑀 ⁄𝑑𝑥 2 = −𝜔, por consiguiente es cóncavo hacia abajo, en el diagrama de momentos

Sin embargo se indicó lo siguientes “En realidad la figura de momento flector deberá ser invertida de tal manera que los momentos flectores negativos vayan en la parte superior y los momentos positivos en la parte inferior”

2. Hallar la fuerza cortante, momento flector de la estructura mostrada en la figura y dibujar sus respectivos diagramas

∑ 𝐹𝑦 = 𝑅𝐴𝑦 + 𝑅𝐵𝑦 = 2000 𝑘𝑔𝑓 8

∑ 𝑀𝐴 = 𝑅𝐵𝑦 (2) − 2000 (0.5) = 0 2000 (0.5)

𝑅𝐵𝑦 = = 500 𝑘𝑔𝑓 2 𝑅𝐴𝑦 = 2000 − 500 = 1500 𝑘𝑔𝑓

0 < 𝑥 < 0.5 −𝑉 + 1500 = 0, 𝑉 = 1500 𝑘𝑔𝑓 ∑ 𝑀0 = 𝑀 − 1500𝑥 = 0, 𝑀 = 1500𝑥 𝑥 = 0, 𝑀=0 𝑥 = 0.5, 𝑀 = 750 𝑘𝑔𝑓. 𝑚 0.50 < 𝑥 < 2.00 ∑ 𝐹𝑦 = −𝑉 − 2000 + 1500 = 0 𝑉 = −500 𝑘𝑔𝑓 ∑ 𝑀0 = 𝑀 − 1500𝑥 + 2000(𝑥 − 0.50) = 0 𝑀 = −500𝑥 + 1000 𝑥 = 0.5 𝑀 = 750 𝑘𝑔𝑓. 𝑚 𝑥 = 2.0, 𝑀=0

3. Hallar la fuerza cortante, momento flector de la estructura mostrada en la figura y dibujar sus respectivos diagramas

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𝑅𝐴𝑦 + 𝑅𝐵𝑦 = 210 × 4 = 840 ∑ 𝑀𝐴 = 𝑅𝐵 (4) − 210 × 4 × 2 = 0 𝑅𝐵𝑦 = 420 𝑘𝑔𝑓 𝑅𝐴𝑦 = 420 𝑘𝑔𝑓 ∑ 𝐹𝑦 = −𝑉 + 420 − 210𝑥 = 0 𝑉 = 420 − 210𝑥 𝑥 = 0, 𝑉 = 420 𝑘𝑔𝑓 𝑥 = 2, 𝑉=0 𝑥 = 4, 𝑉 = −420 kgf 𝑥

∑ 𝑀0 = 𝑀 − 420𝑥 + 210𝑥 ∙ = 0 2 𝑥2 𝑀 = 420𝑥 − 210 2 𝑥 = 0, 𝑀=0 𝑥 = 2, 𝑀 = 420 kgf. m 𝑥 = 4, 𝑀=0 𝑑𝑀 = −210 ∴ 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑥 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 0 = 420 − 210𝑥, 𝑥=2

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Sin embargo se indicó lo siguientes “En realidad la figura de momento flector deberá ser invertida de tal manera que los momentos flectores negativos vayan en la parte superior y los momentos positivos en la parte inferior”

Bibliografía Arisnabarreta, L. G. (2015). Estatica. Lima: Empresa Editora Macro EIRL. Beer, F., Johnston, E., & Eisenberg, E. (2007). Mecanica Vectorial para Ingenieros Estatica. Mexico: Mc GRaw Hill Interamericana. Hibbeler, R. C. (2010). Estatica. Mexico: Pearson Educacion. Ricardo, G. (2007). Estatica. Mexico: Grupo Editorial Patria S.A de C.V.

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