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FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS Una placa expuesta a un líquido, como una válvula de compuerta en una presa, la pared de un tanque de almacenamiento de líquidos o el casco de un barco en reposo, queda sometida a la presión del fluido distribuida sobre su superficie.

Sobre una superficie plana las fuerzas hidrostáticas forman un sistema de fuerzas paralelas y, a menudo, se necesita determinar la magnitud de la fuerza y su punto de aplicación, el cual se llama centro de presión. En la mayoría de los casos, el otro lado de la placa está abierto a la atmósfera (como el lado seco de una compuerta) y, donde, la presión atmosférica actúa sobre los dos lados de la placa y conduce a una resultante cero. En esos casos conviene restar la presión atmosférica y trabajar sólo con la presión manométrica.

Por ejemplo, Pgage = pgh en el fondo del lago. Considérese la superficie superior de una placa plana de manera arbitraria, sumergida totalmente en un líquido, como se muestra en la figura:

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Junto con su vista desde arriba. El plano de esta superficie (normal al plano de la página) se interseca con la superficie libre horizontal y forma un ángulo θ, y la línea de intersección se toma como el eje x. La presión absoluta arriba del líquido es P0, la cual es la presión atmosférica local Patm si ese líquido está abierto a la atmósfera (pero P0 puede ser diferente de Patm si se crea un vacío en el espacio que está arriba del líquido o se presuriza). Entonces la presión absoluta en cualquier punto de la placa es:

Donde h es la distancia vertical del punto a la superficie libre y y es la distancia del punto al eje x. La fuerza hidrostática resultante FR que actúa sobre la superficie se determina cuando se integra la fuerza P dA que actúa sobre un área diferencial dA sobre toda el área superficial:

Pero el primer momento de área:

Está relacionado con la coordenada y del centroide (o centro) de la superficie por:

Se efectúan las sustituciones,

Donde PC = P0 = pghC es la presión en el centroide de la superficie, la cual equivale a la presión promedio sobre la superficie, y hC = yC sen θ es la distancia vertical del centroide a la superficie libre del líquido.

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De ello se llega a la conclusión que: La presión P 0 suele ser la atmosférica, la cual, en la mayoría de los casos, se puede ignorar, ya que actúa sobre los dos lados de la placa. Cuando éste no es el caso, una manera práctica de tomar en cuenta la contribución de P0 a la fuerza resultante es sencillamente sumar una profundidad equivalente hequiv = P0 /pg a hC; es decir, suponer la presencia de una capa adicional de líquido de espesor hequiv sobre la parte superior del líquido, con un vacío absoluto encima. En general, la línea de acción de la fuerza hidrostática resultante no pasa por el centroide de la superficie (está debajo, en donde la presión es más alta). El punto de intersección de la línea de acción de la fuerza resultante y la superficie es el centro de presión. La ubicación vertical de la línea de acción se determina cuando se iguala el momento de la fuerza resultante al momento de la fuerza de presión distribuida, respecto al eje x. Esto da:

Donde yP es la distancia del centro de presión al eje x (el punto O de la figura:

Es el segundo momento de área (llamado también momento de inercia del área) respecto al eje x. En los manuales de ingeniería se cuenta con amplitud con los segundos momentos de área para formas comunes, pero suelen darse respecto a los ejes que 3

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pasan por el centroide del área. Por fortuna, los segundos momentos de área respecto a dos ejes paralelos están interrelacionados por el teorema de los ejes paralelos, el cual, en este caso, se expresa como:

Donde Ixx, C es el segundo momento de área respecto al eje x que pasa por el centroide del área y yC (la coordenada y del centroide) es la distancia entre los dos ejes paralelos.

Para P0 = 0, que suele ser el caso cuando se ignora la presión atmosférica, se simplifica a:

Si se conoce yP, la distancia vertical del centro de presión a la superficie libre se determina a partir de hP = yP sen θ.

En la figura se dan los valores de Ixx, C para algunas áreas comunes. Para éstas y otras áreas que tienen simetría respecto al eje y, el centro de presión está sobre este eje directamente debajo del centroide. En esos casos, la ubicación del centro de presión es, sencillamente, el punto de la superficie del plano vertical de simetría a una distancia hP hasta la superficie libre. La presión actúa normal a la superficie y las fuerzas hidrostáticas que intervienen sobre una placa plana de cualquier configuración forman un volumen cuya base es el área de la placa y altura es la presión de variación lineal; como se muestra en la figura.

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PLACA RECTANGULAR SUMERGIDA Considere una placa plana rectangular totalmente sumergida de altura b y ancho a, que está inclinada, forma un ángulo u respecto a la horizontal y cuyo borde superior está horizontal y se encuentra a una distancia s de la superficie libre, a lo largo del plano de la placa, como se muestra en la figura.

La fuerza hidrostática resultante sobre la superficie superior es igual a la presión promedio, la cual es la presión en el punto medio de esa superficie, multiplicada por el área superficial A; es decir: La fuerza actúa a una distancia vertical de hP = yP sen θ hasta la superficie, directamente debajo del centroide de la placa:

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Cuando el borde superior de la placa está en la superficie libre y, donde s = 0, Para una placa vertical totalmente sumergida ( θ = 90°) cuyo borde superior está horizontal, se puede obtener la fuerza hidrostática cuando se realiza sen θ = 1.

Cuando se ignora el efecto de P0 ya que actúa sobre los dos lados de la placa, la fuerza hidrostática sobre una superficie rectangular vertical de altura b, cuyo borde está horizontal y se encuentra en la superficie libre, es FR = pgab2/2 la cual actúa a una distancia de 2b/3 de la superficie libre, directamente abajo del centroide de la placa. La distribución de la presión sobre una superficie horizontal sumergida es uniforme y su magnitud es P = P0 + pgh, donde h es la distancia de la superficie a la superficie libre. Por lo tanto, la fuerza hidrostática que actúa sobre una superficie rectangular horizontal es

y actúa pasando por el punto medio de la placa:

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Ejemplo: Fuerza hidrostática que actúa sobre la puerta de un automóvil sumergido Un automóvil pesado se sumergió en un lago por accidente y quedó sobre sus ruedas. La puerta mide 1.2 m de altura y 1 m de ancho, y el borde superior de la misma está 8 m abajo de la superficie libre del agua. Determine la fuerza hidrostática sobre la puerta y la ubicación del centro de presión, y determine si el conductor puede abrir la puerta.

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Entonces, la fuerza hidrostática resultante sobre la puerta queda:

El centro de presión está directamente abajo del punto medio de la puerta, y su distancia a la superficie del lago y cuando se realiza P0 = 0 que es:

FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS SUMERGIDAS Para una superficie curva sumergida, la determinación de la fuerza hidrostática resultante es más complicada, en virtud de que es común que se necesite la integración de las fuerzas de presión que cambian de dirección a lo largo de la superficie curva. En este caso, el concepto de prisma de presiones tampoco es de mucha ayuda debido a las configuraciones complicadas con las que se trata. La manera más fácil de determinar la fuerza hidrostática resultante FR que actúa sobre una superficie curva bidimensional es determinar las componentes horizontal y vertical FH y FV por separado. Esto se realiza cuando se considera el diagrama de cuerpo libre del bloque de líquido encerrado por la superficie curva y las dos superficies planas (una horizontal y la otra vertical) que pasan por los dos extremos de la superficie curva, como se muestra en la figura.

Nótese que la superficie vertical del bloque considerado de líquido es sencillamente la proyección de la superficie curva sobre un plano vertical, y la horizontal es la proyección de la superficie curva misma sobre un plano horizontal. La fuerza resultante que actúa sobre la superficie sólida curva es igual y opuesta a la que actúa sobre la superficie líquida curva (tercera ley de Newton). Se pueden determinar la fuerza que actúa sobre la superficie plana imaginaria, horizontal o vertical. 8

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El peso del bloque encerrado de líquido de volumen V es sencillamente W= pgV, y actúa hacia abajo pasando por el centroide de este volumen. Cuando se observa que el bloque de fluido está en equilibrio estático, los balances de las fuerzas en las direcciones horizontal y vertical dan:

Donde la suma Fy = W es una adición vectorial (es decir, se suman las magnitudes si las dos actúan en la misma dirección y se restan si actúan en direcciones opuestas). Por tanto, se infiere que: 1. La componente horizontal de la fuerza hidrostática que actúa sobre una superficie curva es igual (en magnitud y respecto a la línea de acción) a la fuerza hidrostática que actúa sobre la proyección vertical de esa superficie curva. 2. La componente vertical de la fuerza hidrostática que actúa sobre una superficie curva es igual a la fuerza hidrostática que actúa sobre la proyección horizontal de esa superficie curva, más (menos, si actúa en la dirección opuesta) el peso del bloque de fluido. La magnitud de la fuerza hidrostática resultante que actúa sobre la superficie curva es:

Y la tangente del ángulo que forma con la horizontal es tan α = FV /FH. Se puede determinar la localización exacta de la línea de acción de la fuerza resultante (por ejemplo, su distancia a uno de los puntos extremos de la superficie curva) tomando un momento respecto a un punto apropiado. Estas observaciones son válidas para todas las superficies curvas, sin importar si se encuentran arriba o abajo del líquido. Nótese que en el caso de una superficie curva que está arriba de un líquido, el peso del líquido se resta de la componente vertical de la fuerza hidrostática, porque actúan en direcciones opuestas.

Cuando la superficie curva es un arco circular (círculo completo o cualquier parte de él), la fuerza hidrostática resultante que actúa sobre la superficie siempre pasa por el centro del círculo. Esto se debe a que las fuerzas de presión son normales a la superficie, y todas las líneas normales a la superficie de un círculo pasan por el centro del mismo. De este modo, las fuerzas de presión forman un sistema de fuerzas concurrentes en el centro, el cual se puede reducir a una sola fuerza equivalente en ese punto. 9

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Por último, se pueden determinar las fuerzas hidrostáticas que actúan sobre un plano o superficie curva sumergidos en un fluido de capas múltiples de densidades diferentes, cuando se consideran las distintas partes de la superficie que se encuentran en los diferentes fluidos como superficies distintas, si se encuentra la fuerza sobre cada una de las partes, y a continuación se suman aplicando la adición vectorial. Para una superficie plana se puede expresar como:

Donde PC,i = P0 + pighC,i es la presión en el centroide de la porción de la superficie que está en el fluido i y Ai es el área de la placa en ese fluido. Se puede determinar la línea de acción de esta fuerza equivalente con base en el requisito de que el momento de ella respecto a cualquier punto sea igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas respecto al mismo punto.

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EJEMPLO: Un cilindro sólido largo de radio 0.8, articulado en el punto A se emplea como una compuerta automática, como se muestra en la figura. Cuando el nivel del agua llega a 5 m, la compuerta se abre girando en torno a la articulación en el punto A. Determine a) La fuerza hidrostática que actúa sobre el cilindro y su línea de acción cuando la compuerta se abre, b) El peso del cilindro por m de longitud del mismo:

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De esta manera, la magnitud de la fuerza hidrostática que actúa sobre el cilindro es de 52.3 kN por m de longitud del mismo y su línea de acción pasa por el centro de él y forma un ángulo de 46.4° con la horizontal. b) Cuando el nivel del agua tiene 5 m de altura, la compuerta está a punto de abrirse y la fuerza de reacción en el fondo del cilindro es cero.

EJERCICIOS:

1. Considere un pesado automóvil sumergido en un lago con un fondo plano. La puerta del lado del conductor mide 1.1 m de altura y 0.9 m de ancho, y el borde superior de la misma está 8 m abajo de la superficie del agua. Determine la fuerza neta que actúa sobre la puerta (normal a su superficie) y la ubicación del centro de presión si el automóvil está bien cerrado, y contiene aire a presión atmosférica.

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2. Considere una alberca construida sobre el suelo, con 4 m de largo, 4 m de ancho y 1.5 m de altura, con agua hasta el borde. a) Determine la fuerza hidrostática sobre cada pared y la distancia al suelo de la línea de acción de esta fuerza. b) Si se duplica la altura de las paredes de la alberca y se llena, la fuerza hidrostática sobre cada pared ¿se duplicará o se cuadriplicará?

Y así la fuerza hidrostática es proporcional al cuadrado de la altura de la pared, h 2. 3. Considere una presa de 200 ft de altura y 1 200 ft de ancho llena a toda su capacidad. Determine a) la fuerza hidrostática sobre la presa y b) la fuerza por unidad de área de la misma cerca de su parte superior y cerca del fondo.

Consideramos que la densidad del agua es de 62.4 lbm / ft3 en todo momento. 13

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4. El lado del muro de una presa de 100 m de largo que está en contacto con agua tiene forma de un cuarto de círculo con un radio de 10 m. Determine la fuerza hidrostática ejercida sobre la presa y su línea de acción cuando dicha presa está llena hasta el borde.

Por lo tanto, la línea de acción de la fuerza hidrostática atraviesa el centro de la curvatura de la presa, haciendo 57.5 ° hacia abajo desde la horizontal. 5. Una placa rectangular de 4 m de altura y 5 m de ancho bloquea el extremo de un canal de agua dulce de 4 m de profundidad, como se muestra en la figura. La placa está articulada 14

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en torno a un eje horizontal que está a lo largo de su borde superior y que pasa por un punto A, y su apertura la restringe un borde fijo en el punto B. Determine la fuerza que se ejerce sobre la placa por el borde.

Tomamos la densidad del agua como 1000 kg / m3 en todo.

La línea de acción de la fuerza pasa a través del centro de presión, que es 2 h / 3 desde la superficie libre:

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6. Una artesa de agua de sección transversal semicircular y con un radio de 5 m consta de dos partes simétricas articuladas entre sí en el fondo, como se muestra en la figura. Las dos partes se mantienen juntas por medio de cables y tensores colocados cada 3 m a lo largo de la longitud de la artesa. Calcule la tensión en cada cable cuando la artesa está llena hasta el borde.

7. Se debe construir un muro de contención contra un derrumbe de lodo con bloques rectangulares de concreto (r = 2 700 kg/m3) de 0.8 m de altura y 0.2 m de ancho, como se muestra en la figura. El coeficiente de fricción entre el suelo y los bloques es f 0.3, y la densidad del lodo es alrededor de 1 800 kg/m3. Existe la preocupación de que los bloques de concreto puedan resbalarse o voltearse sobre el borde izquierdo inferior conforme suba el nivel del lodo. Determine la altura del lodo a la cual a) los bloques vencerán la fricción y empezarán a resbalar y b) los bloques se voltearán.

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(a) El peso del muro de hormigón por unidad de longitud (L = 1 m) y la fuerza de fricción entre el muro y el suelo son:

(b) La línea de acción de la fuerza hidrostática pasa a través del centro de presión, que está a 2 h / 3 de la superficie libre. Los La línea de acción del peso de la pared pasa a través del plano medio de la pared. Tomando el momento sobre el punto A y poniéndolo igual a cero da:

8. Una compuerta de 4 m de largo con forma de un cuarto de círculo de radio 3 m y de peso despreciable está articulada alrededor de su borde superior A, como se muestra en la figura P3.75. La compuerta controla el flujo de agua sobre el reborde en B, donde está comprimida por un resorte. Determine la fuerza mínima necesaria del resorte para mantener cerrada la compuerta cuando el nivel del agua se eleva hasta A en el borde superior de la compuerta.

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Por lo tanto, la fuerza vertical neta hacia arriba es

Por lo tanto, la magnitud de la fuerza hidrostática que actúa sobre la puerta es de 192.2 kN, y su línea de acción pasa a través del centro de la puerta de un cuarto de círculo que forma un ángulo de 23.2 ° hacia arriba desde la horizontal.

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