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Apunte completo de superficies cuádricas...

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Superficies Cuádricas

o Cuádricas

Ya hemos tenido un primer contacto con el tema de superficies cuando trabajamos con plano. Así, las ecuaciones x = 2, 2x + y = 2, x + 3y + 4z = 1 corresponden, respectivamente, a los planos: z z z

1/4 2

y 2

x

y

1/3

1

x

y

1

x

Vemos, que en cada caso se trata de una sola ecuación de primer grado, con a lo sumo, tres variables: x, y, z. Definimos como superficie al conjunto de puntos y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen una sola ecuación de la forma F(x; y; z) = 0. Ej.: 3x2 + y2 + 2z2 = 1 x2 + y2 – z2 = 25 cuyos respectivos gráficos son (según veremos enseguida):

x2 + y 2 = z

S3

S1

1

Elipsoide

S2 Hiperboloide de una hoja

Paraboloide elíptico

En la Geometría Analítica de tres dimensiones es sumamente importante la ecuación general de segundo grado con tres variables de la forma: a11 x 2  a22 y 2  a33 z 2  2a12 xy  2a13 xz  2a23 yz  2a14 x  2a24 y  2a34 z                               Términos cuadráticos

Términos rectangulares

Términos lineales

a44  T .independ .

0

,

con a11, a22, a33, a12, a13, a23 no simultáneamente nulos. Las superficies cuyas ecuaciones tienen esta forma, se denominan superficies cuádricas o simplemente cuádricas. Análogamente a lo visto cuando estudiamos cónicas, se puede hacer una rototraslación conveniente de ejes coordenados según la cual la superficie queda en posición canónica o normal. Así, se obtienen ecuaciones que anotamos: Ax2 + By2 + Cz2 = P

(I)

Ax2 + By2 = Qz

( II )

Si todos los coeficientes de estas ecuaciones son no nulos, las mismas pueden escribirse, respectivamente: 

x2 y 2 z 2   2 1 a2 b2 c



x2 y 2  2 c z a2 b2

Ecuaciones canónicas de las cuádricas con centro Ecuaciones canónicas de las cuádricas sin centro

Si uno o más de los coeficientes de las ecuaciones ( I ) y ( II ) son nulos, se dice que las cuádricas a las que corresponden estas ecuaciones son cuádricas degeneradas.

Análisis de la ecuación de una superficie 2

Para graficar una superficie es conveniente tener en cuenta: 1)

Intersecciones con los ejes coordenados (a los que llamaremos ejes principales de la superficie).

2)

Trazas o intersecciones con los planos coordenados (a los que llamaremos planos principales de la superficie).

3)

Simetría con respecto a los ejes coordenados, planos coordenados y al origen de coordenadas.

4)

Secciones con planos paralelos a los coordenados.

5)

Extensión de la gráfica.

Con respecto a la simetría, decimos que para determinar si una superficie F(x; y; z) = 0 es simétrica con respecto a los ejes coordenados, planos coordenados y origen de coordenadas debe tenerse en cuenta el siguiente cuadro:

Superficie simétrica respecto al: 1

2

3

a) b) c) a) b) c)

F(x; y; z) = F(-x; y; z) = 0 F(x; y; z) = F(x; -y; z) = 0 F(x; y; z) = F(x; y; -z) = 0 F(x; y; z) = F(-x;-y; z) = 0 F(x; y; z) = F(-x; y; -z) = 0 F(x; y; z) = F(x; -y; -z) = 0 F(x; y; z) = F(-x; -y; -z)= 0

Plano yz Plano xz Plano xy Eje z Eje y Eje x Origen de coordenadas.

Así, la superficie de ecuación x2 – 2y2 + 3z2 = 1 es simétrica con respecto a los tres ejes coordenados, a los tres planos coordenados y al origen de coordenadas pues: x2 – 2y2 + 3z2 = (-x)2 – 2(-y)2 + 3(-z)2 = 1 Analizamos primero las cuádricas con centro. Son: A

Elipsoide

B

Hiperboloide de una hoja

C

Hiperboloide de dos hojas

3

Ka Kb

S1 S2

a. Elipsoide Si todos los coeficientes de la ecuación 

x 2 y2 z2   1 a 2 b2 c2

son positivos, se tiene la ecuación de un elipsoide. O sea: x2 y2 z2   1 a2 b2 c 2 Del análisis de esta ecuación, resultan las siguientes propiedades:

( I ) Las intersecciones del elipsoide con los ejes de abscisas, ordenadas y cotas son, respectivamente, los puntos A1,2 ( a;0 ;0 ) , B1,2 ( 0 ; b;0 ) y C1,2 ( 0 ;0 ; c ).

Los segmentos A1A2 = 2 a; B1B2 = 2 b; C1C2 = 2 c son los “ejes del elipsoide”. 4

(II)

El elipsoide es simétrico con respecto a cada uno de los planos coordenados (estos planos se denominan “planos principales” del elipsoide), con respecto a cada uno de los ejes coordenados (estos ejes se denominan “ejes principales” del elipsoide) y con respecto al origen de coordenadas. Ello se debe a que: x 2 y 2 z 2 (  x )2 (  y )2 (  z )2    2  2  2 1 a2 b 2 c 2 a b c

(III)

Las “trazas” del elipsoide, o sea, sus intersecciones con los planos principales son las elipses cuyas respectivas ecuaciones son: y2 z2 x2 z 2 x2 y 2 1 y 1 ,      1 , que se obtienen haciendo, en la ecuación b2 c2 a 2 c2 a2 b2 x2 y 2 z2   1 , z = 0 para la primera, y = 0 para la segunda y x = 0 para la tercera. a2 b 2 c 2

(IV)

Cuando el elipsoide es intersecado por un plano paralelo al plano xy, o sea, por un plano de ecuación z = k, la ecuación resultante se obtiene reemplazando en la ecuación del elipsoide a z por k. Es decir:

x2 y2 k2   1 a2 b2 c 2

Resulta:

k2 x2 y2 1 2 . 2  2   c a b

#

Puede darse: (i)

1

(ii)

1

(iii) 1 

k2  0 (se obtienen elipses) c2

k2 1  k  c   c  k  c c2

k2 0 (se obtienen dos puntos: ( 0 ;0 ; c ) , “elipses degeneradas”) c2 k2 1  k c  k c o k   c c2 k2  0 (no existe lugar geométrico) 2 c

k2 1  2 c

k c  k c o k  c

Por lo tanto ya podemos decir que el elipsoide está definido o se extiende en el intervalo [-c; c] con respecto al eje z. Un razonamiento similar se debe hacer cuando el plano es paralelo al plano xz (el elipsoide de extiende en [-b, b]), o al plano yz (se extiende en [-a,a]). Luego el elipsoide es una superficie cerrada.

5

Casos particulares de elipsoide 1)

Si a = b la ecuación # corresponde a una circunferencia para k  c y se dice entonces que el elipsoide es un elipsoide de revolución de eje z, es decir, se puede obtener el elipsoide haciendo rotar su traza con el plano xz, en torno del eje z. Análogamente, si a = c tenemos un elipsoide de revolución de eje y y si b = c un elipsoide de revolución de eje x. Si a = b = c , el elipsoide es una “superficie esférica” de radio a. Su ecuación puede escribirse: x2 + y2 + z2 = a2

2)

El elipsoide puede ser real o imaginario, según que en la ecuación 

x2 y2 z2   1 , se verifique a2 b2 c2

         

elipsoide real

          

elipsoide imaginario.

b. Hiperboloide de una hoja Si dos de los coeficientes de la ecuación: 

x2 y2 z2   1 a2 b2 c2

son positivos y uno es negativo, se tiene la ecuación de un hiperboloide de una hoja. O sea: x2 y2 z2 x2 y 2 z2 x 2 y 2 z2 1 ; 1 ;          1 a2 b2 c 2 a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c2

Consideremos, por ejemplo, la ecuación:

6

S2 2

2

2

x y z  2  2 1 2 a b c

Del análisis de la misma, resultan las siguientes propiedades: (I)

Las intersecciones del hiperboloide con el eje de abscisas son los puntos A =(

a;0 ; 0 ), con el eje de ordenadas: B = (0; b; 0) y no corta al eje de cotas. Se dice

que es un hiperboloide situado a lo largo del eje z. (II) El hiperboloide es simétrico con respecto a cada uno de los planos coordenados (son los planos principales del hiperboloide), con respecto a los ejes coordenados y con respecto al origen. (III) Las “trazas” del hiperboloide o sea, sus secciones con los planos principales son las cónicas de ecuaciones: x2 y 2  1 a2 b 2 x2 z 2  1 a2 c 2 y 2 z2  1 b2 c2

Elipse (con respecto al plano xy). Hipérbola (con respecto al plano xz). Hipérbola (con respecto al plano yz).

(IV) La sección del hiperboloide con un plano paralelo al plano xy es una cónica que tiene por ecuaciones:

7

 x 2 y 2 z2  2  2  2 1 a b c z k  k2 x2 y 2 1 , que corresponde a elipses.    c2 a2 b 2

O sea:

Si k crece en valor absoluto, el plano de ecuación z = k se aleja del plano coordenado xy y los diámetros de la elipse se hacen cada vez mayores. Análogamente, las secciones del hiperboloide con planos paralelos al plano xz o al plano yz son hipérbolas cuyas respectivas ecuaciones son:

x y z  2  2 21 a b c  ky 1

x y z  2  2  2 1 y a b c  kx 2

222

2 22

O sea: 2

2

x2 k1 z2   1 a 2 b 2 c2

y

k2 y 2 z 2   1 a2 b2 c 2

y

y 2 z2 k 22  1  2 b 2 c2 a

2

x2 z2 k  2 1  12 2 a c b

Cuando k1 crece en valor absoluto hasta b, los vértices de la hipérbola se van acercando. Cuando k1 b la hipérbola degenera en un par de rectas que se cortan en B = (0; b; 0) y cuando k1  b los ejes de la hipérbola intercambian sus direcciones.

Caso particular Si a = b, la traza con el plano xy es una circunferencia y el hiperboloide se denomina hiperboloide de revolución, de eje z. Análogamente, 8

x2 y 2 z 2 x 2 y2 z 2 1 y       1 a2 b2 c 2 a2 b2 c 2 corresponden, respectivamente, a hiperboloides de una hoja situados a lo largo del eje y y del eje x, que se transformarán en hiperboloides de revolución cuando a = c y b = c. Ejercicio: Sea el hiperboloide de una hoja de ecuación: x2 y2 z2   1 4 9 2

Halle las ecuaciones de las secciones del hiperboloide con los planos de ecuaciones z = 2 , y = 2. Para hallar las ecuaciones pedidas, resolvemos los sistemas:

x y z x y z    1    1 4 9 2 y 4 9 2 z 2 y 2   222

222

O sea: x2 y2 22   1 4 9 2 x2 y2  1 12 27

“elipse”

y

x2 22 z2   1 4 9 2

y

x2 z2  1 20 10 9 9

“hipérbola”

c. Hiperboloide de dos hojas Si uno de los coeficientes de la ecuación: 

x2 y2 z2   1 a2 b2 c2

es positivo y los otros dos son negativos, se dice que la superficie a la que corresponde es un hiperboloide de dos hojas. O sea: 9

x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2           1 1 1 ; ; a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c2 a2 b 2 c 2

Consideremos por ejemplo la ecuación: x 2 y 2 z2   1 a2 b 2 c 2

Ka Kb

Del análisis de la misma, resultan las siguientes propiedades: (I)

Las intersecciones del hiperboloide con el eje de abscisas son los puntos ( a ;0 ;0 ) . No hay intersecciones con el eje de ordenadas ni con el eje de cotas.

(II)

El hiperboloide es simétrico con respecto de cada uno de los planos coordenados (son los planos principales del hiperboloide), con respecto a los ejes coordenados y con respecto al origen, pues x2 y 2 z 2 (  x )2 ( y )2 ( z )2    2   1 . a 2 b2 c2 a b2 c2 (III) Sus trazas son las cónicas de ecuaciones: x2 y 2  1 a2 b 2

Hipérbola (con respecto al plano xy)

x2 z2  1 a 2 c2

Hipérbola (con respecto al plano xz)

10

(IV)

Las secciones del hiperboloide con planos paralelos al xy y al xz, o sea, con planos de ecuaciones z = k1 y y = k2 , respectivamente, son hipérbolas cuyos vértices se van alejando uno del otro a medida que k1 y k2 crecen en valor absoluto. En el primer caso:

En el segundo caso:

x2 y 2 k12  1  2 a2 b 2 c

x 2 z2 k22  1  2 a2 c2 b

Las secciones del hiperboloide con planos paralelos al yz, o sea, con planos de ecuación x = k3 , son elipses si k3  a , dos puntos si k3  a y no hay intersección si k3  a .

(V)

El hiperboloide de ecuación: 2

2

2

x y z  2  2 1 2 c a b

está situado a lo largo del eje x.

Análogamente, los de ecuaciones: 

x2 y2 z 2   1 a2 b 2 c 2

y



x2 y2 z 2   1 a2 b 2 c 2

están situados, respectivamente, a lo largo del eje y y del eje z (que son los términos positivos).

Caso particular Si en las ecuaciones del punto (V), b = c, a = c o a = b, respectivamente, los hiperboloides se denominan hiperboloides de revolución. Importante: Resumen de la clasificación de cuádricas con centro. La superficie correspondiente a 

x 2 y 2 z2  2  2 1 2 c a b

es un elipsoide si todos los términos del primer miembro son positivos; un hiperboloide de una hoja si un solo término es negativo y un hiperboloide de dos hojas si dos términos son negativos. Si es un hiperboloide, se dice que está situado a lo largo del eje correspondiente al término cuyo signo difiere del de los demás. 11

Si todos los términos del primer miembro son negativos, la superficie es imaginaria.

Ejercicio. Exprese las siguientes ecuaciones en su forma canónica u ordinaria, según corresponda. Clasifíquelas, a. b. c. d.

2x2 + y2 – z2 + 4 = 0 3x2 + y2 + z2 – 6x + 8y + 3 = 0 x2 – 4y2 – 2z2 + 16y – 2 = 0 x2 + 8y2 + 5z2 + 1 = 0

Resultan: a. 2x2 + y2 – z2 + 4 = 0 

x2 y 2 z 2   1 2 4 4

que es un hiperboloide de dos hojas situado a lo largo del eje z.

b. 3x2 + y2 + z2 – 6x + 8y + 3 = 0 Completando cuadrados: 3(x – 1)2 + (y + 4)2 + z2 = 16 ( x  1) 2 ( y  4) 2 z 2   1 16 16 16 3

que es un elipsoide con centro en O´ = (1; -4; 0)

c. x2 – 4y2 – 2z2 + 16y – 2 = 0 Completando cuadrados: x2 – 4(y – 2)2 – 2z2 = -14 

x 2 ( y  2) 2 z 2   1 7 14 7 2

que es un hiperboloide de una hoja, con centro O´= (0; 2; 0), situado a lo largo de un eje paralelo al de las x.

d. x2 + 8y2 + 5z2 + 1 = 0 - x2 – 8y2 – 5z2 = 1

que es un elipsoide imaginario.

12

Analizamos ahora las cuádricas sin centro. Son: A

Paraboloide elíptico

B

Paraboloide hiperbólico

Paraboloide5

S3

Si los signos de los coeficientes de x2 e y2 en la ecuación: x2 y2  2  2 2 c z a b

son iguales, la superficie correspondiente es un paraboloide elíptico y si son distintos, se tiene un paraboloide hiperbólico.

13

a. Paraboloide elíptico

S3 Sea la ecuación

x2 y 2  2 2 c z 2 a b

Del análisis de la misma, resultan las siguientes propiedades: (I) (II)

La única intersección del paraboloide elíptico con los ejes coordenados es el origen El paraboloide elíptico es simétrico con respecto a los planos coordenados yz y xz, y con respecto al semieje positivo de cotas. (III) Sus trazas son:

(IV)

x2 y 2  0 a 2 b2

(con respecto al plano xy es una elipse degenerada, es el punto (0;0; 0)).

x2 2 c z a2

(con respecto al plano xz es una parábola de eje z)

y2 2 c z b2

(con respecto al plano yz es una parábola de eje z).

Las secciones del paraboloide elíptico con planos paralelos al yz y al xz, o sea con planos cuyas respectivas ecuaciones son x = k 1 y y = k2 , son parábolas cuyos vértices se alejan del plano xy a medida que k1 o k2 crecen en valor absoluto. La sección del paraboloide elíptico con un plano paralelo al xy o sea con un plano de ecuación z = k3 está dada por:

14

 x 2 y2  2  2 2 c z a b  z k  3 o sea:

x2 y 2   2 c k3 a 2 b2

x2 y2  1 2a 2ck 3 2b2 ck 3

o bien:

que corresponde a una elipse si c y k 3 tienen igual signo, a una cónica imaginaria si c y k 3 tienen signos distintos. Si c > 0 el paraboloide se encuentra arriba del plano xy y cuando k 3 crece, las elipses se van alejando del plano xy. Se dice que es un paraboloide elíptico situado a lo largo del semieje positivo de cotas. Análogamente, si c < 0, la superficie se halla por debajo del plano xy y se dice que está situado a lo largo del semieje negativo de cotas. Luego, x 2 z2  2 2 b y 2 a c

y

y2 z 2  2 a x 2 b c2

son ecuaciones que corresponden, respectivamente, a paraboloides elípticos situados a lo largo del semieje positivo de ordenadas (si b > 0) y a lo largo del semieje positivo de abscisas (si a > 0). Caso particular Si a = b, a = c y b = c, las ecuaciones x2 y 2  2 c z a2 b 2

,

x 2 z2  2 b y a2 c 2

y

y2 z 2  2 a x b 2 c2

corresponden, respectivamente, a paraboloides elípticos de revolución, cuyos ejes coinciden con los semiejes positivos de coordenadas (si c > 0, b > 0 y a > 0).

b. Paraboloide hiperbólico

15

Paraboloide5 Sea la ecuación x2 a2



y2 b2

2 c z

Del análisis de la misma, resultan las siguientes propiedades: (I)

Es simétrico con especto a los planos yz y xz y con respecto al eje de cotas pues ( x ) 2 ( y ) 2 x y    2 c z a 2 b2 a2 b2 2

2

(II)

La única intersección del paraboloide hiperbólico con los ejes coordenados es el origen.

(III)

Sus trazas son las cónicas de ecuaciones: x2 y2  2 0 2 a b x2 2 c z a2 

y2 2 c z b2

Hipérbola que degenera en dos rectas (con el plano xy)

parábola de eje z (con el plano xz)

parábola de eje z (con el plano yz)

IV) La sección del paraboloide hiperbólico con un plano paralelo al xy o sea, con un plano de ecuación z = k1 , se expresa:

16

 x 2 y2  2  2 2 c z a b z k  1 O sea:

x2 y 2  2 c k1 a2 b2

O bien:

x2 y2  1 2a 2ck 1 2b 2ck 1

que corresponde a hipérbolas. A medida que k1 crece en valor absoluto, los vértices de las hipérbolas se alejan del eje z. Se dice que se tiene un paraboloide hiperbólico situado a lo largo del eje de cotas. Análogamente, se dice que las ecuaciones 2

2

2

x z  2 b y a 2 c2

y

2

y z  2 a x b 2 c2

corresponden a paraboloides hiperbólicos situados a lo largo del eje de ordenadas y de abscisas, respectivamente. Las secciones del paraboloide hiperbólico con planos paralelos al yz o al xz son parábolas. Obtenga sus ecuaciones. Importante. El paraboloide elíptico y el paraboloide hiperbólico se hallan situados a lo largo del eje correspondiente a la variable de primer grado de sus respectivas ecuaciones. Ejercicio 1. Clasifique las ecuaciones: a. 2x2 + 3z2 – y = 0 b. 3x2 – y2 + 4x = 0 c. 4y2 + z2 + 2x = 0 Desarrollo: a. 2x2 + 3z2 = y

Paraboloide elíptico situado a lo largo del semieje positivo de ordenadas.

b. 3x2 – y2 = -4z

Paraboloide hiperbólico situado a lo largo del eje z

c. 4y2 + z2 = -2z

Paraboloide elíptico situado a lo largo del semieje negativo de abscisas.

Ejercicio 2. Halle las ecuaciones de las trazas de los hiperboloides de ecuaciones 17

x2 z2  4 y 4 9



y

x2 y2  9z 9 25

...