Fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas PDF

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La fuerza sobre una superficie sumergida se compone de:
1. La magnitud de la fuerza.
2. La dirección de la fuerza.
3. La línea de acción de la fuerza...

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Fuerzas sobre superficies sumergidas La fuerza sobre una superficie sumergida se compone de: 1. La magnitud de la fuerza. 2. La dirección de la fuerza. 3. La línea de acción de la fuerza.

Sea la superficie de la figura, se desea determinar la fuerza sobre su superficie superior, si ésta está bajo la presión de un líquido mientras que por el otro lado no tiene presión aplicada. Cp: centro de presión Cg: centroide x , y : coordenadas del centroide de la placa x', y': coordenadas del centro de presión de la placa. y : coordenada del elemento diferencial de presión θ : ángulo de la placa con el eje vertical h: altura desde la superficie libre la elemento diferencial FR : fuerza resultante

Las fuerzas que actúan sobre superficies sumergidas son paralelas y su resultante se aplica sobre un punto llamado centro de presión. El Centro de presión está desplazado, respecto al centro de masas o Centroide siempre en sentido descendente por ser la presión mayor a medida que descendemos. Para determinar el punto de aplicación de la fuerza, es necesario establecer condición de equilibrio incluyendo suma nula de momentos.

Las fuerzas hidrostáticas que actúan sobre una superficie plana forman un volumen cuya base (cara izquierda) es la superficie y cuya altura es la presión. Para determinar la fuerza sobre una superficie curva se descompone la fuerza en sus componentes vertical y horizontal. La componente horizontal es la fuerza hidrostática que actúa sobre la proyección vertical. La componente vertical es la fuerza hidrostática que actúa sobre la proyección horizontal más el peso del fluido contenido en el volumen. Cuando la superficie está en contacto con varios fluidos se trata de manera independiente la zona afectada por cada fluido. La diferencia básica en el cálculo de la fuerza que actúa sobre una superficie curva respecto de una plana radica en el hecho de ser dF perpendicular en todo momento a la superficie, entonces cada diferencial de fuerza tiene una dirección diferente. Para simplificar la operación de totalización solo debemos sumar los componentes de los vectores fuerza, referidos a un eje de coordenadas adecuado. Por lo tanto en este caso debemos aplicar 3 veces, como máximo, la ecuación para la superficie.

MECANICA DE FLUIDOS

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS

Practica

INTRODUCCION

Un fluido es un estado de la materia en el que la forma de los cuerpos no es constante y es estático si todas y cada una de sus partículas se encuentran en reposo o tienen una velocidad constante con respecto a un punto de referencia inercial, de aquí que la estática de fluidos cuente con las herramientas para estudiarlos, con la certeza de que en este caso no tendremos esfuerzos cortantes y que manejaremos solo distribuciones escalares de presión, lo cual es el objetivo principal de esta práctica.

Esta distribución de presiones a lo largo de toda el área finita puede reemplazarse convenientemente por una sola fuerza resultante, con ubicación en un punto específico de dicha área, el cual es otro punto que le corresponde cuantificar a la estática de fluidos.

OBJETIVOS GENERALES



Análisis práctico-teórico de las fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana sumergida en un fluido incompresible en reposo.

ESPECIFICOS

    

Análisis cualitativo de las fuerzas ejercidas por el fluido sobre la superficie plana sumergida. Determinación práctica de la fuerza de presion ejercida sobre la superficie y su ubicación. Determinación teórica de la fuerza de presion y la ubicación dentro de la superficie sumergida. Comparación de los datos teóricos y prácticos de la experiencia. Análisis del momento con respecto al eje de giro de una compuerta.

MARCO TEÓRICO

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS

Superficies Horizontales

Una superficie plana en una posición horizontal en un fluido en reposo está sujeta a una presion constante. La magnitud de la fuerza que actúa sobre la superficie es:

Fp = ∫ p dA = p ∫ dA = pA

Todas las fuerzas elementales pdA que actúan sobre A son paralelas y tienen el mismo sentido. Por consiguiente, la suma escalar de todos estos elementos es la magnitud de la fuerza resultante.

Figura 1

Su dirección es perpendicular a la superficie y hacia esta si p es positiva. Para encontrar la línea de acción de la resultante, es decir, el punto en el área donde el momento de la fuerza distribuida alrededor de cualquier eje a través del punto es 0, se seleccionan arbitrariamente los ejes xy, tal como se muestra en la figura.1. Puesto que el momento de la resultante debe

ser igual al momento del sistema de fuerzas distribuidas alrededor de cualquier eje, por ejemplo el eje y,

pAx’ = ∫A xp dA

Donde x’ es la distancia desde el eje y hasta la resultante. Como p es constante,

x’= 1/A ∫A x dA =

xg

en la cual xg es la distancia al centroide del área. Por consiguiente, para un área horizontal sujeta a una presión estática, la resultante pasa a través del centroide del área.

Superficies Planas Inclinadas

En la figura 2 se indica una superficie plana por la línea A’B’. Esta se encuentra inclinada un ángulo θ desde la horizontal. La intersección del plano del área y la superficie libre se toma como el eje x. el eje y se toma como el plano del área, con el origen O, tal como se muestra en la superficie libre. El área inclinada arbitraria esta en el plano xy. Lo que se busca es la magnitud, dirección y línea de acción de la fuerza resultante debida al líquido que actúa sobre un lado del área.

Figura 2

La magnitud de la fuerza δF que actúa sobre un electo con un área δA en forma de banda con espesor δy con sus bordes largos horizontales es: δF = p δA = γh δA = γy sen θ δA

Debido a que todas estas fuerzas elementales son paralelas, la integral sobre el área es la magnitud de la fuerza F, que actúa sobre un lado del área.

F = ∫A pdA = γ sen θ ∫ ydA = γ sen θ y A = γhA = pGA

con la relaciones tomadas de la figura ysen θ=h y pG =γh la presión en el centroide del área. En palabras, la magnitud de la fuerzas ejercida en uno de los lados del área plana sumergida en un líquido es el producto del área por la presion en su centroide. En esta forma se debe notar que la presencia de una superficie libre no es necesaria. Para determinar la presión en el centroide cualquier medio se puede utilizar. El sentido de la fuerza es empujar el área si pG es positiva. Como todos los elementos de fuerzas son perpendiculares a la superficie, la línea de acción de la resultante también es perpendicular a la superficie. Cualquier superficie puede rotarse alrededor de cualquier eje que pase por su centroide sin cambiar la magnitud de su resultante, si el área total permanece sumergida en el líquido estático.

Centro de Presión

La línea de acción de la fuerza resultante tiene su punto de aplicación sobre la superficie en un punto conocido como centro de presión, con coordenadas (xp , yp) apreciable también en

la figura. A diferencia de lo que ocurre con una superficie horizontal, el centro de presión de una superficie inclinada no se encuentra en el centroide. Para encontrar el centro de presión, se igualan los momentos de la resultante xpF y ypF al momento de las fuerzas distribuidas alrededor de los ejes x y y , respectivamente; por consiguiente,

xpF = ∫A xp dA

y ypF = ∫A yp dA

El elemento de área de xpF debe ser δxδy. Al resolver las coordenadas para el centro de presión se obtiene:

xp = 1/F ∫A xp dA

y

yp = 1/F ∫A yp dA

en muchas de las aplicaciones de estas ecuaciones pueden ser evaluadas en una forma más conveniente a través de una integración gráfica; para áreas simples, éstas pueden transformarse en ecuaciones generales así:

xp = 1/(γygAsenθ) ∫A xγysenθ dA = 1/(ygA) ∫A xy dA = Ixy/ygA

obteniendo finalmente:

xp = Ixy g/ygA + xg

aquí debemos aclarar para xp que:

 xp > xg, entonces el centro de presión está a la izquierda del centro de gravedad.  xp< xg, el centro de presión está a la derecha del centro de gravedad.  xp = 0, el centro de presión esta justamente por debajo del centro de gravedad y el Ixy g =0 Cuando cualquiera de los ejes centroidales x=xg y y=yg se encuentra sobre un eje de simetría de la superficie, Ixy g desaparece y el centro de presión se encuentra en x=xg. Debido a que Ixy g puede ser positivo o negativo, el centro de presión puede estar a cualquier lado de la línea x=x. Para calcular yp procedemos así:

yp = 1/(γygAsenθ) ∫A yγysenθ dA = 1/(ygA) ∫A y2 dA = Ix/ygA

En el teorema de ejes paralelos para momentos de inercia

Ix = IG + yg2A

en el cual IG es el segundo momento de área alrededor de su eje centroidal horizontal. Si Ix se elimina de la ecuación, tenemos:

yp = IG /ygA + yg

o

yp – yg = IG/ygA

IG siempre es positivo, por consiguiente, yp – yg siempre es positivo y el centro de presión siempre está por debajo del centroide de la superficie. Se debe enfatizar que yg y yp – yg son distancias en el plano de la superficie.

El Prisma de Presión

Figura 3

Otro enfoque al problema de determinar la fuerza resultante y la línea de acción de la fuerza sobre una superficie plana está dado por el concepto de un prisma de presión. Este es un volumen prismático con su base conformada por el área superficial dada y con altitud sobre cualquier punto de la base dada por p=γh, h es la distancia vertical hasta la superficie libre como se observa en la figura 3. (Se puede utilizar una superficie libre imaginaria para definir h si no existe una superficie libre real). En la figura, γh puede dibujarse en cualquier escala conveniente de tal manera que su traza sea OM. La fuerza que actúa sobre un elemento de área diferencial δA es:

δF = γhδA = δV

el cual es un elemento de volumen del prisma de presión. Después de integrar, F= V, el volumen del prima de presión es igual a la magnitud de la fuerza resultante que actúa en uno de los lados de la superficie. Y tememos que:

xp = 1/V ∫V x dV y

yp = 1/V ∫V y dV

Lo cual muestra que xp y yp son las distancias al centroide del prima de presion, por consiguiente, la línea de acción de la resultante pasa a través del centroide del prima de presión. Para algunas áreas simples, el prima de presión es más conveniente que la integración o que el uso de ecuaciones. Por ejemplo un área rectangular con uno de sus bordes en la superficie libre tiene un prisma en forma de cuña. Su centoide está a 1/3 de la altitud desde la base; por consiguiente, el centro de presión se encuentra a 1/3 de la altitud desde su borde más bajo.

Efectos de la Presión Atmosférica Sobre las Fuerzas en Áreas Planas

En la discusión sobre fuerzas de presión, la presión datum no se mencionó. Las presiones se calcularon mediante p=γh en donde h es la distancia vertical por debajo de la superficie libre. Por consiguiente el datum tomado fue una presión manométrica 0, o la presión atmosférica local. Cuando el lado apuesto de la superficie se encuentra abierto a la atmósfera, se ejerce una fuerza sobre ésta, causada por la atmósfera, igual al producto de la presión atmosférica p0 y al área p0A, basado en el 0 absoluto como datum. En el lado líquido la fuerza es:

∫ (p0 + γh) dA = p0A + γ∫ h dA

El efecto de p0A de la atmósfera actúa en forma igual a ambos lados y no contribuye a la fuerza resultante o a su localización.

Mientras se seleccione la misma presión datum para todos los lados de un cuerpo libre, la fuerza resultante y el momento pueden determinarse construyendo una superficie libre a presión 0 de este datum y utilizando los métodos anteriores. MATERIALES



Un banco hidrostático provisto de: una bomba de pie, un tanque presurizado, un recipiente rectangular transparente, con su aditamento giratorio para medición de fuerzas sobre superficies planas y un mesón de soporte en acero inoxidable.



Juego de pesas, monedas, arandelas metálicas y en general todo lo que pueda ser colocado en el platillo de la balanza.



Cinta métrica, regla o escuadra.



Balanza.



Limpiones.

PROCEDIMIENTO

La recolección de los datos correspondientes a esta experiencia se dio de la siguiente manera:

1. Se midieron las dimensiones de la sección rectangular de la superficie. 2. Se midió la distancia desde el punto C del eje sobre el cual se realizará momento hasta el extremo donde se colocan los pesos para equilibrar el sistema. 3. Se suministró agua al sistema exactamente hasta el borde superior de la sección transversal rectangular del elemento sumergido.

4.

Se equilibró la superficie colocando pesos en uno de los extremos del eje al cual está conectado el elemento.

5. Se Tomó la lectura de la altura que alcanzó el agua dentro del recipiente rectangular. 6. Se Llevaron todos los pesos colocados para equilibrar el elemento a la balanza y se registró su masa. 7. Se repitieron los pasos anteriores para diferentes alturas del nivel del agua dentro del recipiente y se registraron cada uno de estos datos. 8. Se Calculó la fuerza de presión por el método del prisma de presiones. 9. Se Comprobó matemáticamente, utilizando los datos recolectados, que el sistema estaba en equilibrio. 10. Se Calculó teóricamente el peso W necesario para tal equilibrio, en cada caso, y se hizo una tabla comparativa entre estos datos y los prácticos.

MONTAJE

DATOS

Dimensiones del Área transversal

b = 10cm = 0.1m h = 7.8cm = 0.078m

Área de la sección transversal

A = 0.1m * 0.078m = 7.8 *10-3

Altura del recipiente

H = 25.5cm = 0.255m

Distancia del punto O hasta donde se aplica el peso

K = 31.5cm = 0.315m

Los demás datos se encuentran en las figuras correspondientes a cada paso del procedimiento experimenta CÁLCULOS

1

Experimentalmente, equilibramos la fuerza P ejercida por el agua poniendo una masa, que corresponde a un peso W; como se muestra.

Teoricamente lo demostramos utilizando el método de prisma de presiones para areas rectangulares. (el prisma está descrito en la figura). La base de esta prueba consiste en que al aplicar la sumatoria de momento usando los valores de W obtenidos experimentalmente, el resultado debe dar aproximadamente cero*.

2

Experimentalmente, equilibramos la fuerza P ejercida por el agua poniendo una masa, que corresponde a un peso W; como se muestra.

Teoricamente lo demostramos utilizando el método de prisma de presiones para areas rectangulares. (el prisma está descrito en la figura). La base de esta prueba consiste en que al aplicar la sumatoria de momento usando los valores de W obtenidos experimentalmente, el resultado debe dar aproximadamente cero*.

3

Experimentalmente, equilibramos la fuerza P ejercida por el agua poniendo una masa, que corresponde a un peso W; como se muestra.

Teoricamente lo demostramos utilizando el método de prisma de presiones para areas rectangulares. (el prisma está descrito en la figura). La base de esta prueba consiste en que al aplicar la sumatoria de momento usando los valores de W obtenidos experimentalmente, el resultado debe dar aproximadamente cero*.

ANALISIS DE RESULTADOS Y OBSERVACIONES

(*) A causa de errores milimétricos en los que se incurre al efectuar mediciones y practicas de este tipo, o a la supresión de algunos decimales en el momento de realizar los cálculos, el resultado se aproxima, Pero en realidad es muy difícil que sea exactamente cero.

Tabla Comparativa

CASO

W. EXPERIMENTAL(N)

W. TEORICO(N)

1

2.5

2.26

2

4.02

3.71

3

4.82

4.54

Los resultados de los análisis matemáticos y teóricos, arrojaron datos muy cercanos a los obtenidos de manera práctica, lo que nos indica que en realidad los métodos de cálculo fueron realmente acertados.

Aunque el equipo de laboratorio no esta perfectamente calibrado, pudimos realizar un experimento satisfactorio.

Una leve corriente de aire impidió por momentos que el sistema estuviera realmente estático. Lo mismo ocasiono el movimiento natural del fluido al ser introducido en el recipiente.

El elemento equilibrante, nunca estuvo en una posición totalmente horizontal, pero su inclinación era en realidad tan insignificante, que decidimos despreciarla CONCLUSION

Así como en otras experiencias, pudimos darnos cuenta, que, aunque muy cercanos, los valores arrojados por la teoría y la practica, no son exactamente iguales; debemos presumir que dicho margen de error se debe a la mala calibración de los instrumentos, al error humano que se introduce en cualquier tipo de medición, a factores ambientales como corrientes de aire y al apremio, que no nos permitió esperar a que el fluido estuviera totalmente en reposo. De todos modos fue muy gratificante comprobar mediante la experiencia, que los métodos matemáticos que hemos estado estudiando son en realidad útiles y fáciles de aplicar.

La observación de la utilidad práctica de los estudios de física y matemáticas lleva a que el estudiante sienta un mayor interés por la materia. Acá comprendimos la importancia de conocer como se puede utilizar el método matemático a la hora de resolver un problema cotidiano de cualquier ingeniero de nuestra rama o de una rama afín.

BIBLIOGRAFIA



Victor L. Streeter; Mecánica de Fluidos Novena edición. Editorial Mc Graw Hill



Irving H. Shames; Mecánica de los Fluidos. Editorial Mc Graw Hill.



Sotelo, Gilberto; Hidraulica general. Ed. Limusa Noriega Editores.



http://www.loner.ccsr.uiuc.edu/



Fuentes suministradas por el docente y monitor de laboratorio.

Ejercicio Un tanque de aceite tiene un panel triangular derecho cerca de la parte inferior, al igual que en la figura. E2.6. omitiendo P a, encontrar la (a) fuerza hidrostática y (b) CP en el panel.

a) El triángulo tiene propiedades dadas en la figura el centroide es un tercio hacia arriba (4 m) y más de un tercio (2 m) desde la esquina izquierda inferior, como se muestra. El área es:

½(6m)(12m) = 36m2

Los momentos de inercia son

La profundidad del centroide es hCG = 5 + 4 = 9 m; entonces la fuerza hidrostática es

F = pghCGA = (800 kg/m3)(9.807 m/s2)(9 m)(36 m2)

2.54 x 106 (kg ∙m)/s2 = 2.54 x 106 N = 2.54 MN

La posición CP está dada por

La fuerza resultante F = 2.54 MN actúa a través de este punto, hacia abajo y a la derecha del centroide de la figura....