Cilindros y Superficies Cuádricas PDF

Preview

Summary

practica acerca de las figuras geométricas y sus ecuaciones...

Description

26-7-2020

Víctor José Terrero 100520501

Cilindros y Superficies Cuádricas Cilindros Un cilindro es una superficie compuesta que:  

Son paralelas a una recta dada en el espacio. Pasan por una curva plana dada; la curva es una curva generatriz para el cilindro.

Teorema En el espacio tridimensional, la gráfica de una ecuación en dos de las tres variables x, y, z es un cilindro cuyas regladuras son paralelas al eje asociado con la variable que falta y cuya directriz .es una curva en el plano asociado con las dos variables que aparecen en la ecuación.

Superficies Cuádricas Una superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables x. y. z. La ecuación más general es:

Dependiendo de los valores de las constantes se clasifican en: elipsoide, paraboloide elíptico, hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, paraboloide hiperbólico y cono. Este tipo de superficies en el espacio son las análogas a las secciones cónicas en R2.

Elipsoide Es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos. Un elipsoide es una superficie cuádrica; es decir, una superficie que puede ser definido como el ajuste a cero de un polinomio de grado dos en tres variables.

Entre superficies cuadráticas, un elipsoide se caracteriza por cualquiera de las dos siguientes propiedades: -Cada planar sección transversal es o bien una elipse, o está vacío, o se reduce a un solo punto (esto explica el nombre, que significa "elipse como"). -Es limitado, lo que significa que puede estar encerrada en una suficientemente grande esfera. Un elipsoide tiene tres pares perpendiculares ejes de simetría que se cortan en un centro de simetría, llamado el centro del elipsoide. Los segmentos de línea que están delimitadas en los ejes de simetría por el elipsoide son llamados los ejes principales, o simplemente ejes del elipsoide. Si los tres ejes tienen longitudes diferentes, se dice que el elipsoide es tri-axial o raramente escaleno, y los ejes están definidos de forma exclusiva. Si dos de los ejes tienen la misma longitud, entonces el elipsoide es un "elipsoide de revolución ", también llamado un esferoide. En este caso, el elipsoide es invariante bajo una rotación alrededor del tercer eje, y hay por lo tanto un número infinito de formas de elegir los dos ejes perpendiculares de la misma longitud. Si el tercer eje es más corto, el elipsoide es un esferoide achatado; si es más largo, es un esferoide alargado. Si los tres ejes tienen la misma longitud, el elipsoide es una esfera. Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con planos paralelos a los planos coordenados es una elipse:

Paraboloide Elíptica Es la superficie que se ha creado al deslizar una parábola vertical con la concavidad hacia abajo, a lo largo de la otra, perpendicular a la primera; las secciones horizontales son elipses mientras que las verticales son parábolas. Se denomina Paraboloide Elíptico a la superficie que en un sistema de coordenadas cartesianos se determina por la ecuación: Las secciones de la cual son parabólicas o elípticas. El caso de revolución se obtiene haciendo girar una parábola alrededor de su eje de simetría y resulta ser el lugar geométrico de los centros de las esferas que pasan por un punto y son tangentes a un plano.

Características El punto que coincide con el origen de coordenadas se llama vértice del paraboloide. Si la figura no coincide con el origen de coordenadas en el vértice entonces la ecuación es:

Las secciones que se obtienen al cortar la figura por planos con el eje Oz son parábolas. Las secciones que se obtiene al corta la figura por planos con el eje Oz son elipses. Cuando a= b es el paraboloide elíptico es un Paraboloide en Revolución.

Aplicación: Tiene la forma de las llamadas antenas parabólicas. Entre otros usos de origen cotidiano. Tiene la propiedad de reflejar (en caso de tener una superficie reflectante) la luz hacia un punto.

Paraboloide hiperbólico También se lo conoce bajo los nombres de silla de montar o paso de montaña por su conformación geométrica, pues es una superficie que en una dirección tiene las secciones en forma de parábola con los lados hacia arriba y, en la sección perpendicular, las secciones son en forma de parábola con los lados hacia abajo. Se puede simplificar el concepto afirmando que es un plano alabeado. Las secciones según planos perpendiculares a los dos anteriores (según la tercera dimensión del espacio) son en forma de hipérbola. Si están por debajo del punto de la silla, en el centro de la figura, los lados de la hipérbola dan la forma de valles. Si están por arriba de este punto, las secciones de la hipérbola dan forma a los picos que flanquean el paso. Su ecuación cartesiana es:

Con los planos z =k: hipérbolas que cambian de eje con el signo de k. Si k = 0 se reduce a un par de rectas Con x =k: parábolas de eje con ramas descendentes y vértices en ascenso. Con y =k: quedan determinadas parábolas de eje z con ramas ascendentes y vértices en descenso. La superficie tiene la forma de una silla de montar. Así el origen parece un máximo local desde una dirección, pero un mínimo local desde una dirección distinta. Tal punto de una superficie se llama punto silla.

Propiedades -Aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. -Dados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos.

Aplicaciones El Paraboloide Hiperbólico ha sido una de las superficies que más se han aplicado en arquitectura. Gaudí fue uno de los que la emplearon, pero quien más la ha trabajado ha sido Félix Candela. Dentro de la fauna de las superficies, esta curva es un espécimen ya conocido por los griegos. La propiedad realmente importante, que motivó el interés tanto de Gaudí como de Candela, es el hecho de que el paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva. Este tipo de superficies los geómetras las denominan superficies regladas y existen ejemplos en cantidad suficiente en otro arte, en la escultura.

El mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante Los Manantiales (1958) del parque de Xochimilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos. La misma estructura se puede encontrar ahora en el nuevo Oceanográfico (2002) de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia.

Su Construcción Dados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos. Ésta es la misma propiedad que dice que dos puntos determinan una única recta. Lo que tenían que hacer los obreros era unir con sendas barras uno de los pares de puntos de una parte, y el otro par opuesto por la otra. Después sólo se tiene que dejar resbalar otra barra sobre las dos anteriores manteniendo una velocidad constante en los extremos.

Hiperboloide de una hoja Esta figura geométrica se llama así porque nace a partir de la revolución de una hipérbola. Es la superficie que se engendra al deslizar un segmento inclinado sobre dos círculos horizontales. Los parámetros a, b, c son los semiejes del hiperboloide de una hoja. Si seccionamos la figura por planos paralelos al XOY, las secciones son elipses semejantes. La elipse determinada por el plano XOY es la menor de todas las posibles y recibe el nombre de elipse de garganta.

Hiperboloide de dos hojas El hiperboloide de dos hojas se origina al graficar la figura resultante de las trazas en los planos cartesianos: xy, xz, yz tomando en cuenta la siguiente ecuación:

Una consideración muy importante, es que la ecuación del hiperboloide de dos hojas es la misma que la del hiperboloide de una hoja, a excepción que tiene otra variable más negativa, esto hace de que no exista traza en dos planos, o mejor dicho que solo exista traza para un solo eje, este eje va a ser el que este positivo, para el caso de la ecuación que estamos contemplando, no va existir traza en los ejes y e z, solo va existir traza en el eje x.

Aplicaciones Gracias a la geometría hiperbólica, tanto el hiperboloide de una hoja como el de dos hojas, se han podido construir numerosas estructuras con forma de hiperboloide (una hoja y dos hojas). La curva que se genera hacia el interior del hiperboloide o hacia el exterior da soporte estructural y estética a las construcciones, y además la superficie en la que se soporta esta forma geométrica es doblemente reglada lo que significa que se puede realizar con un entramado de vigas rectas. Debido a estas consideraciones cualquier objeto que forma la forma de un hiperboloide (dos hojas o una hoja) son más fáciles de construir y más resistentes que las estructuras curvadas, las cuales necesitan vigas curvas para su construcción.

Si quisiéramos comparar la forma geométrica del hiperboloide de dos hojas, la pudiéramos asociar a la forma geométrica del reloj de arena....