Planos Y Superficies CuÁdricas. Orientaciones y ejemplos PDF

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA SAN JUAN BOSCO FACULTAD DE INGENIERÍA ASIGNATURA: Análisis Matemático II

MÓDULO 0: PLANOS Y SUPE SUPERFICIES RFICIES CUÁDRICAS ORIENTACIONES Y EJEMPLOS

Sección 1. CÓNICAS

Realizar la lectura del APUNTE DE CÓNICAS elaborado por la Cátedra Análisis Matemático I – Facultad Ingeniería – U.N.P.S.J.B.

Sección 2. PLANOS Y SUPERFICIES CUÁDRICAS

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE PLANOS Cualquier plano puede representarse mediante la ecuación donde a, b, c y d son constantes reales.

ax  by  cz  d  0 (*),

Planos coordenados Si en esta ecuación tomamos a  b  d  0 , obtenemos la ecuación cz  0 , o lo que es lo mismo z  0 , al no interferir las variables x e y en la ecuación, estas pueden tomar cualquier valor real, luego la ecuación nos representa el plano xy . De igual manera para a  c  d  0 y b  c  d  0 , obtendremos las ecuaciones y  0 y x  0 , que representan los planos xz e yz respectivamente. Estos tres planos se los denomina planos coordenados. Ejemplo 1 Si consideramos la ecuación del plano z  3 , notamos la ausencia de las coordenadas x e y , esto nos indica que las constantes a, b, d de la ecuación (*) son nulas, lo que implica que las variables x e y toman cualquier valor real, más precisamente la ecuación z  3 está representado gráficamente por el plano horizontal que es paralelo al plano xy y se encuentra a tres unidades arriba de él (fig. a). Ejemplo 2 Análogamente, la ecuación del plano y  5 representa el conjunto de puntos de 3 cuya segunda coordenada es siempre igual a 5. Este es el plano vertical que es paralelo al plano xz y se encuentra a 5 unidades a la derecha de él, (fig. b).

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Para representar el caso en el que a, b, c y d sean distintos de cero, necesitamos definir previamente el concepto de TRAZA, la cuál es la curva intersección de la superficie con planos paralelos a los planos coordenados. Estas se llaman traza xy , traza yz y traza zx . Observemos el ejemplo3.

Ejemplo 3 Representar el plano de ecuación: 2x + 3y+ 4z = 12 z

Para visualizarlo hallamos las trazas: 3 y  3 (recta en el plano yz ) 4 1 Si y = 0 2x+ 4z =12 z = - x  3 (recta en el plano xz) 2 2 Si z = 0 2x+ 3y =12 y = - x  4 (recta en el plano xy) 3

Si x = 0 3y+ 4z =12 z = -

3

4

y

6 x

La superficie que se obtuvo, vista en el primer octante, se llama Tetraedro (sólido de cuatro vértices y cuatro caras triangulares) Observemos a continuación el ejemplo 4 que muestra la representación gráfica de un plano de ecuación ax  by  cz  d  0 con a = 0, ó b = 0, ó c = 0 (es decir, sólo falta una de las variables en la ecuación).

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Ejemplo 4 Por ejemplo, en la ecuación del plano z  6  y , no aparece el término que contiene la variable x , esto nos indica que x puede tomar cualquier valor real. Luego su gráfica es aproximadamente la siguiente:

6

6

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SUPERFICIES CUÁDRICAS Superficies cilíndricas Ejemplo 1 2 2 Consideremos la ecuación x  y  1 , observamos que en ella falta la variable z, lo que nos indica que z puede tomar cualquier valor constante, para cada uno de estos valores, tenemos una circunferencia de radio 1, esto genera una “sucesión” de circunferencias una arriba de la otra, lo que obtenemos es el denominado cilindro circular cuyo eje es el eje z (ver figura a) Ejemplo 2 Análogamente en la ecuación y 2  z 2  4 , se observa que falta de la variable x , por consiguiente se tiene que la representación gráfica de la ecuación en 3 es un cilindro cuyo eje es el eje x . (Ver figura b) (Otra forma de analizar la gráfica del cilindro es trasladando la circunferencia de radio 2 (situada en el plano yz ), sobre el eje x )

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Figura

a)

x2  y2  1

Figura b)

y2  z2  4

Ejemplo 3 ¿Cómo representamos gráficamente la ecuación z  x 2 ? Notemos que la ecuación no contiene a la variable y ; esto significa que cualquier plano vertical con ecuación y  k corta a la gráfica en una curva de ecuaciónz  x 2 , por lo que estas trazas verticales son parábolas. Para formar la gráfica se traza z  x 2 en el planoxz y se la traslada a lo largo del eje y (fig. 6a). La gráfica de la superficie que se obtiene es la del llamado cilindro parabólico (las generatrices son paralelas al ejey ).

Otras superficies cuádricas Ejemplo 1: Ecuación de la superficie: z  x 2  y 2 . Si x  0  z  y 2 (parábola en el plano zy ) Si y  0  z  x 2 (parábola en el planozx ) Si

z  0  y 2  x2  x  0  y  0

Esta superficie es la que denominamos Paraboloide.

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Ejemplo 2: Ecuación de la superficie: z  9  x 2  y 2 Trazaremos la gráfica de la superficie , indicando las trazas en los planos z  0, x  0, y  0 . Si z = 0  x2 + y2 = 9 Si x = 0  z = 9 – y2 Si y = 0  z = 9 – x2 La gráfica de z  9  x 2  y 2 también es un Paraboloide

Ejemplo 3: Ecuación de la superficie: x 2 

y2 z2  1 9 4

Si

y2 1 9 y2 z2 x  0  Si  1 9 4 2 z 1 Si y  0  x 2  4

z 0 

2 x 

Debido a las trazas elípticas la superficie se llama Elipsoide. Ejemplo 4: Utilicemos nuevamente, las trazas para delinear la superficie de ecuación:z  4x 2  y 2 Si x  0  z  y 2 (parábola en el plano zy ) Si y  0  z  4x 2 (parábola en el plano zx ) Si z  0  y 2  4x 2  x  0  y  0 Si z  k  k  4 x 2  y 2  1 

2 4 2 y x  (Elipses en el plano xy ) k k

Debido a las trazas elípticas y parabólicas la superficie se llama Paraboloide elíptico.

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Ejemplo 5: Ecuación de la superficie: z  y 2  x2 también como la silla de montar):

llamado Paraboloide Hiperbólico (conocido

2 2 Las trazas de los planos x  k son parábolas z  y  k . Las trazas en y  k , z  k 2  x 2 (parábolas).

Las trazas de z  k , 1 

y2 x 2  k k

(hipérbolas).

Ejemplo 6:

x2 z2  y 2   1 (se denomina Hiperboloide de una hoja) . 4 4 2 2 x k  y 2  1 Si z  k  4 4 Son elipses en el plano…… 2 2 x z  1 Si y  0  4 4 Son …………………….en el plano…… z2 Si x  0  y 2   1 4 Son …………………..…en el plano…….. Ecuación de la superficie:

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Ejemplo 7: Ecuación de la superficie: 4x 2  y 2  2z 2  4  0 2 Dividiendo por -4 ponemos la ecuación en forma general:  x 

Analicemos las trazas: y2  1 (Hipérbola en el planoxy Si z  0   x 2  4 ) y2 z2  1 Si x  0  4 2 Si y  0  observe que en este caso se tiene un absurdo (¿Por qué?) z2 k2 2  1 (Elipses en el plano xz Si y  k  x   2 4 para k  2 ) Esta superficie se denomina Hiperboloide de dos hojas Ejemplo 8: Ecuación de la superficie: z 2  x 2  y 2 , llamada Cono. Si z  0  x 2   y 2  obtenemos el punto (0, 0) Si x  0  z 2  y 2  z  y Si y  0  z 2  x 2  z  x Si z  k  k 2  x 2  y 2 (circunferencia de radio k en xy) Observemos que las ecuaciones:

z   x2  y 2

y

z   x 2  y 2 , representan una parte del cono propiamente dicho, la primera ecuación representa la mitad positiva del cono, y la segunda ecuación la mitad negativa del cono, si las representamos gráficamente obtenemos:

Ejemplo 9: 2

2

2

2 Ecuación de la superficie: x  h   y  k   z  m   r , cuya gráfica representa una esfera con centroC h, k , m  y radio r .

y2 z2  1 4 2

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En particular si el centro es el origen la ecuación resultante es: x 2  y2  z 2  r 2 Notemos que las trazas determinan circunferencias en los tres planos coordenados.

En la tabla se muestran las gráficas de ocho tipos básicos de superficies en forma general. Superficie Esfera

Ecuación General

Superficie

Ecuación General

( x  h) 2 2

2

2

( x  h)  ( y  k )  (z  l )  r

a2

2



 y  k2 b2



( z  l) 2 c2

1

Hiperboloide de 1 hoja(simetría respecto al eje z) Elipsoide  x  h2  ( y  k ) 2  ( z  l)2 a2

(z  l ) 2 c2

b2



( x  h) 2 a2

c2

 1

a2



y  k  2 b2



(z  l ) 2 c2

1

Hiperboloide de 2 hojas(simetría respecto al eje y) 2 y  k 2 z ( x h)   2 c a b2

y  k 2  b2

Paraboloide(simetría respecto al eje z)

Cono(simetría respecto al eje z)

2  y  k2 z ( x  h)   c a2 b2

Paraboloide Hiperbólico

( x  h)2

 x h2 a2



2 ( y  k)

b2

1

Cilindro(simetría respecto al eje z)

8...