Funciones básicas - seccionadas (pdf) PDF

Preview

Summary

123...

Description

UPC – Departamento de Ciencias - Matemática Básica (MA420)

Funciones básicas, seccionadas y técnicas de graficación LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE: Al finalizar la sesión, el estudiante analiza el comportamiento algebraico y gráfico de funciones seccionadas, cuyos tramos son funciones básicas y/o sus transformaciones (técnicas de graficación), demostrando responsabilidad y capacidad de aprender por su propia cuenta.

CONTENIDO

MOTIVACIÓN 1.1 Funciones básicas • Definiciones 1.2 Funciones seccionadas • Definición 1.3 Técnicas de graficación • Traslación horizontal • Traslación Vertical 1.4. Practiquemos en clase • Ejercicios 1.5. Practiquemos más en casa •

Ejercicios

Profesores MA420

97

UPC – Departamento de Ciencias - Matemática Básica (MA420)

Motivación Existen diversos métodos para graficar funciones, como el método simple de tabulación (no siempre adecuado) y otros más avanzados y precisos que utilizan conceptos de cálculo diferencial. También, a partir de la gráfica de una función y transformaciones como la traslación, reflexión, alargamiento o compresión de la gráfica es posible tener la gráfica de una nueva función de forma precisa y sobre todo simple.

1.1. FUNCIONES BÁSICAS En esta sección trazaremos la gráfica de 6 funciones básicas y analizaremos la gráfica de cada una de las funciones para representar sus propiedades tales como dominio, rango, ceros, continuidad, extremos globales y locales, monotonía, asíntotas, intervalos en donde la función es positiva y negativa.

Función constante Una función cuyo rango consta de un único número se llama función constante y su grafica es una recta horizontal que corta al eje 𝑦 en un punto.

Regla de correspondencia de la función constante es: 𝑓(𝑥) = 𝑘

Interpretando la gráfica de izquierda a derecha y proyectando sobre el eje 𝑥, y de abajo hacia arriba y proyectando sobre el eje 𝑦, observamos que el dominio y rango de la función queda representado por: Dom(𝑓) = ℝ

Ran(𝑓) = {𝑘}

Profesores MA420

98

UPC – Departamento de Ciencias - Matemática Básica (MA420)

Función identidad La función identidad está definida para todos los números reales y su regla de correspondencia es: 𝑓(𝑥) = 𝑥

Observación: Cuando trace la gráfica una función debe mostrar por lo menos tres o más puntos de referencia por donde pasa la gráfica y debe usar una escala adecuada. Interpretando la gráfica de izquierda a derecha, representemos algunas de las propiedades de la función identidad. Dom(𝑓) = ℝ Ran(𝑓) = ℝ

Función cuadrática La función cuadrática está definida para todos los números reales, y su gráfica de esta función es una parábola que se usa en la fabricación de faros, discos de satélites, y su regla de correspondencia es: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 Interpretando la gráfica de izquierda a derecha, representemos algunas de las propiedades.

a. La función f es positiva en ]−∞; 0[ y ]0; +∞[ b. El cero de la función f está en 0 c. La función f es creciente en [0; +∞[ d. El valor del mínimo absoluto de la función f es 0

Función raíz cuadrada La función raíz cuadrada está definida para todos los números positivos y cero, y su regla de correspondencia es: 𝑓(𝑥) = √𝑥

Profesores MA420

99

UPC – Departamento de Ciencias - Matemática Básica (MA420)

Interpretando la gráfica de izquierda a derecha, representemos algunas de las propiedades.

a. La función f es positiva en ]0; +∞[ b. El cero de la función f está en 0 c. Rango de la función f es: Ran(𝑓) = [0; +∞[

Función valor absoluto La función valor absoluto está definida para todos los números reales, y la gráfica de esta función tiene un cambio abrupto en el origen, y su regla de correspondencia es: 𝑓(𝑥) = |𝑥| Interpretando la gráfica de izquierda representemos algunas de las propiedades.

a

derecha

a. La función f es positiva en ]−∞; 0[ y ]0; +∞[ b. El cero de la función f está en 0 c. Rango de la función f es Ran(𝑓) = [0; +∞[

Función recíproca La función recíproca está definida para todos los números reales excepto el número cero, y es la primera función asintótica (presenta asíntota horizontal y vertical) y su regla de correspondencia es: 𝑓(𝑥) =

1 𝑥

Interpretando la gráfica de izquierda representemos algunas de las propiedades.

a derecha,

a. La función f es positiva en ]0; +∞[ b. Rango de la función f es Ran(𝑓) = ℝ − {0} c. Ecuación de la asíntota vertical es: 𝑥 = 0 d. La función f tiene una discontinuidad de tipo infinita en 0. (Ya que existe una asíntota vertical de ecuación 𝑥 = 0)

Profesores MA420

100

UPC – Departamento de Ciencias - Matemática Básica (MA420)

1.2 FUNCIONES SECCIONADAS En algunos casos, una única regla de correspondencia no define con claridad una función, en este caso es conveniente utilizar una función seccionada, para describir la situación, y cuya definición presentamos a continuación. Definición de función seccionada En una función seccionada para relacionar las variables 𝑥 con 𝑦, requiere de varias reglas de correspondencia, cada una de estas reglas de correspondencia tiene su propio dominio, es decir, tiene la forma.

𝑓(𝑥) =

𝑓1(𝑥); 𝑓2(𝑥);

𝑠𝑖 𝑥∈𝐷1

{ 𝑓𝑛(𝑥);

𝑠𝑖 𝑥∈𝐷𝑛

𝑠𝑖 𝑥∈𝐷2

. . .

El dominio de la función f se representa como la unión de los dominios de cada función seccionada. Dom(𝑓) = 𝐷1 ∪ 𝐷2 ⋯ 𝐷𝑛

El rango de la función f se representa como la unión de rango de cada función restringida a su dominio. Ran(𝑓) = Ran(𝑓1 ) ∪ Ran(𝑓2 ) ⋯ Ran(𝑓𝑛 )

Cuando tracemos la gráfica de una función seccionada, debemos trazar cada uno de los tramos en su dominio restringido y recuerde que debe mostrar por lo menos tres o más puntos de referencia por donde pasa la gráfica de cada tramo y use una escala adecuada.

1.3 TÉCNICAS DE GRAFICACIÓN Traslación Horizontal Una traslación horizontal es un desplazamiento hacia la izquierda o hacia la derecha de la gráfica de ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥) Es decir, si 𝑐 > 0 la gráfica de la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐) es una traslación horizontal de 𝑐 unidades hacia la derecha; mientras que la de 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑐), es una traslación horizontal de 𝑐 unidades hacia la izquierda.

Profesores MA420

101

UPC – Departamento de Ciencias - Matemática Básica (MA420)

y = f (x)

y = f (x - c)

Es una traslación horizontal de 𝑐 unidades hacia la derecha.

y = f (x + c)

y = f (x)

Es una traslación horizontal de 𝑐 unidades hacia la izquierda.

Traslación Vertical Una traslación vertical es un desplazamiento hacia arriba o hacia abajo de la gráfica con ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥). Es decir, si 𝑐 > 0 la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 es una traslación vertical de 𝑐 unidades hacia arriba; mientras que de 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐, es una traslación vertical de 𝑐 unidades hacia abajo.

y = f (x) + c

y = f (x) y = f (x)

y = f (x) - c

Es una traslación vertical de c unidades hacia arriba.

Profesores MA420

Es una traslación vertical de c unidades hacia abajo.

102

UPC – Departamento de Ciencias - Matemática Básica (MA420)

EN RESUMEN Traslaciones Sea 𝑐 un número real positivo. Entonces las transformaciones siguientes resultan de las traslaciones de la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Traslaciones horizontales 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐): significa una traslación horizontal de 𝑐 unidades hacia la derecha 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑐) : significa una traslación horizontal de 𝑐 unidades hacia la izquierda

Traslaciones verticales 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 : significa una traslación vertical de 𝑐 unidades hacia arriba 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐 : significa una traslación vertical de 𝑐 unidades hacia abajo

1.4 PRACTIQUEMOS EN CLASE 1. Dadas las funciones 𝑓 y 𝑔 con reglas de correspondencia:

3 ; 𝑥 < −1 2 𝑥 i. ii. 𝑔(𝑥) = { ; −1 ≤ 𝑥 < 2 1 ; 𝑥≥2 𝑥 Trace su gráfica e Interprete y determine lo siguiente: a. Dominio y rango b. ¿Cuáles son los intervalos donde la función es creciente y decreciente? |𝑥| ; 𝑥 < 1 𝑓(𝑥) = { √𝑥 ; 𝑥 ≥ 1

2. Dada la gráfica de una función 𝑓 con 𝑦 = 𝑓(𝑥), analice cada tramo y escriba una regla de correspondencia de la función como una función seccionada de funciones básicas, además indique el dominio restringido de cada tramo.

Profesores MA420

103

UPC – Departamento de Ciencias - Matemática Básica (MA420)

3. Describa con sus palabras los pasos a seguir para que a partir de la gráfica de 𝑦 = 𝑥 2 se grafique la función 𝑦 = (𝑥 + 3)2 − 2. |𝑥 | + 2 (𝑥 + 1)2

; 𝑥 < −2 ; −2 ≤ 𝑥 < 1 . Trace su √𝑥 − 1 − 2; 𝑥 ≥ 1 gráfica calculando e indicando los puntos de corte con los ejes coordenados.

4. Dada la función ℎ con regla de correspondencia ℎ(𝑥) = { RESPUESTAS DE PRACTIQUEMOS EN CLASE

1. Para i: a. Dom(𝑓) = ]−∞; ∞[, Ran(𝑓) = [0; ∞[. b. La función f es creciente en [0; +∞[ y decreciente en ]−∞, 0] .

Para ii: a. Dom(𝑔) = ]−∞; ∞[ y Ran(𝑔) = [0; 4[ b. La función g es creciente en [0; 2[ y decreciente en [−1; 0], ]2; +∞[

2. Debe de usar las funciones básicas en cada tramo de la gráfica y se obtiene la regla de correspondencia de la función 𝑓. −2 , −5 < 𝑥 < −2 𝑓(𝑥) = { 𝑥 2 , −2 < 𝑥 < 1 𝑥, 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 3. Paso 1: Función básica 𝑦 = 𝑥2 Paso 2: Traslación de 3 unidades hacia la izquierda 𝑦 = (𝑥 + 3)2 Paso 3: Traslación de 2 unidades hacia abajo 𝑦 = (𝑥 + 3)2 − 2

4. Para graficar use técnicas de graficación, además los puntos de corte con el eje 𝑥 son (-1;0) y (5;0); corte con el eje 𝑦 es (0;1).

1.5 PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA Resuelve los siguientes ejercicios y si tienes dudas aprovecha la asesoría virtual con tu profesor AAD para asegurar que tus soluciones son correctas y retroalimentar tu aprendizaje.

|𝑥| ; 𝑥 < 0 . Trace su gráfica e 1. Dada la función 𝑓 con regla de correspondencia 𝑓(𝑥) = { √𝑥 ; 0 ≤ 𝑥 < 9 Interprete y determine lo siguiente: a. Dominio y rango b. ¿Dónde están los ceros de la función? c. ¿Cuáles son los intervalos donde la función es positiva y negativa? 𝑥 + 5 ; 𝑥 < −1 2 𝑥 2. Dada la función h con regla de correspondencia ℎ(𝑥) = { ; −1 ≤ 𝑥 < 2 . Trace su gráfica e 1 ;2 ≤ 𝑥 𝑥 Interprete y determine lo siguiente:

Profesores MA420

104

UPC – Departamento de Ciencias - Matemática Básica (MA420)

a. b. c. d.

Dominio y rango ¿Dónde están los ceros de la función? ¿Cuáles son los intervalos donde la función es positiva y negativa? ¿Cuáles son los valores 𝑥 de tal qué ℎ(𝑥) = 3,5?

3. Utilice las técnicas de graficación para graficar paso a paso la siguiente función con regla de correspondencia 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)2 − 2.

4. Describa con sus palabras los pasos a seguir para que a partir de la gráfica de 𝑦 = función 𝑦 = −3 +

1 . 𝑥+4

1 x

se grafique la

RESPUESTAS PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA

1. a. Dom(𝑓) = ]−∞; 9[ y Ran(𝑓) = [0; ∞[ b. El cero de la función es 0. c. La función es positiva: ]−∞; 0[ y ]0; 9[ La función es negativa: no existe

2. a. Dom(𝑓) = ]−∞; ∞[ y Ran(𝑓) = ]−∞; 4[ b. Los ceros de la función son: −5 y 0 c. La función es positiva: ]−5; −1[ , [−1; 0[, ]0; 2[ y [2; ∞[ La función es negativa: ]−∞; −5[ d. Los valores de 𝑥 que hacen que la función ℎ(𝑥) = 3,5 son: −1,5 y √3,5

3. Paso 1: Función básica 𝑦 = 𝑥2 Paso 2: Traslación de 2 unidades hacia la derecha 𝑦 = (𝑥 − 2)2 Paso 3: Traslación de dos unidades hacia abajo 𝑦 = (𝑥 − 2)2 − 2

4. Paso 1: Función básica 𝑦 = 𝑥

1

Paso 2: Traslación de 4 unidades hacia la izquierda 𝑦 =

Paso 3: Traslación de 3 unidades hacia abajo 𝑦 =

Profesores MA420

1

𝑥+4

1 𝑥+4

−3

105

UPC – Departamento de Ciencias - Matemática Básica (MA420)

EJERCICIOS RESUELTOS EN VIDEO

Habilidad

Enlace

Determinar la regla de correspondencia de una función seccionada a partir de su gráfica.

https://tinyurl.com/yxebovc8

Graficar una función seccionada conociendo su regla de correspondencia.

https://tinyurl.com/y2ctul42

Construir una función seccionada.

https://tinyurl.com/y488926v

Construir una función seccionada que modela la velocidad de un móvil en función del tiempo.

https://tinyurl.com/y27lddwc

Código QR

MÁS EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS EN: Bibliografía básica: STEWART James, Redlin, Lothar; WATSON, Saleem y ROMO MUÑOZ, Jorge Humberto (2017) Precálculo: matemáticas para el cálculo. México, D.F.: Cengage Learning. (515 STEW/P 2017) FUNCIONES BÁSICAS, SECCIONADAS Y TECNICAS DE GRAFICACIÓN: Revisar páginas desde 159 hasta 162, 166-167 ejercicios 4, 5-11, 19, 20, 22, 24, 33-55.

Profesores MA420

106...