Sesión 6.3-Libro digital Funciones básicas, seccionadas y técnicas de graficación PDF

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definiciones de funciones, clasificacion, ejecicios resueltos...

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UPC – Área de Ciencias - Matemática Básica – Blended (MA420)

SESIÓN VIRTUAL SEMANA 6 Funciones básicas, seccionadas y técnicas de graficación CONTENIDO

6.1 Funciones básicas • Definiciones •

Ejemplos

6.2 Funciones seccionadas • Definición • Ejemplo 6.3 Técnicas de graficación • Traslación horizontal • Traslación Vertical • Reflexión con respecto al eje X • •

Reflexión con respecto al eje Y Alargamientos y compresiones verticales

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6.1 Funciones básicas Introducción En esta sección trazaremos la gráfica de 6 funciones básicas y analizaremos la gráfica de cada una de las funciones para representar sus propiedades tales como dominio, rango, ceros, continuidad, extremos globales y locales, monotonía, asíntotas, intervalos en donde la función es positiva y negativa.

Función constante Una función cuyo rango consta de un único número se llama función constante y su grafica es una recta horizontal que corta al eje y en un punto. Regla de correspondencia de la función constante es: f (x)  k Interpretando la gráfica de izquierda a derecha y proyectando sobre el eje X, y de abajo hacia arriba y proyectando sobre el eje Y, observamos que el dominio y rango de la función queda representado por:

Dom  f   R Ran f   k 

Ejemplo: La figura muestra la gráfica de la función f, con regla de correspondencia f (x)  2 interprete y determine el dominio y el rango. Solución: Interpretando la gráfica de izquierda a derecha y proyectando sobre el eje X, y de abajo hacia arriba y proyectando sobre el eje Y, observamos que el dominio y rango de la función queda representado por:

Dom  f   R Ran  f   2 

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Función identidad La función identidad está definida para todos los números reales y su regla de correspondencia es: f (x)  x Observación: Cuando trace la gráfica una función debe mostrar por lo menos tres o más puntos de referencia por donde pasa la gráfica y debe usar una escala adecuada. Interpretando la gráfica de izquierda a derecha representemos algunas de las propiedades de la función identidad.

Dom  f   R Ran  f   R

Actividad: Responda las siguientes preguntas, a partir del grafico de la función lineal. a. La función f es positiva en  . ..... ; ....  y negativa en  . ..... ; ....  b. El cero de la función f está en………..

c. La función f es creciente en . ..... ; .... 

Función cuadrática La función cuadrática está definida para todos los números reales, y su gráfica de esta función es una parábola que se usa en la fabricación de faros, discos de satélites, y su regla de correspondencia es:

f ( x)  x 2 Interpretando la gráfica de izquierda a derecha representemos algunas de las propiedades. a. La función f es positiva en  ; 0  y  0 ;    b. El cero de la función f está en 0 c. La función f es creciente en 0 ;   d. El valor del mínimo absoluto de la función f es 0 Actividad:

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Responda las siguientes preguntas, a partir del gráfico de la función cuadrática. a. Dominio y rango de la función es: Dom f   ............

y Ran f   .............

b. El valor del mínimo relativo de la función f es:……….. c. La función f es decreciente en  ..... ; .... 

Función raíz cuadrada La función raíz cuadrada está definida para todos los números positivos y cero, y su regla de correspondencia es: f (x)  x Interpretando la gráfica de izquierda a derecha representemos algunas de las propiedades. a. La función f es positiva en  0 ;    b. El cero de la función f está en 0 c. Rango de la función f es: Ran f   0 ;  



Actividad: Responda las siguientes preguntas, a partir del grafico de la función raíz cuadrada. a. Dominio de la función f es Dom f   ............ b. El valor del mínimo absoluto de la función f es……….. c. La función f es creciente en

..... ; ....

Función valor absoluto La función valor absoluto está definida para todos los números reales, y la gráfica de esta función tiene un cambio abrupto en el origen, y su regla de correspondencia es: f ( x)  x Interpretando la gráfica de izquierda a derecha representemos algunas de las propiedades. a. La función f es positiva en  ; 0  y  0 ;    b. El cero de la función f está en 0 c. Rango de la función f es Ran  f    0;   Actividad:



Responda las siguientes preguntas, a partir del

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grafico de la función raíz cuadrada. a. Dominio de la función f es Dom f   ............ b. El valor del mínimo absoluto de la función f es……….. c. El valor del mínimo relativo de la función f es……….. d. La función f es creciente en

..... ; .... 

e. La función f es decreciente en……………

Función recíproca La función recíproca está definida para todos los números reales excepto el número cero, y es la primera función asintótica (presenta asíntota horizontal y vertical) y su regla de correspondencia es:

f (x ) 

1 x Interpretando la gráfica de izquierda representemos algunas de las propiedades. a. La función f es positiva en

a

derecha

 0;  

b. Rango de la función f es Ran f  R 0  c. Ecuación de la asíntota vertical es: x  0 d. La función f tiene una discontinuidad de tipo infinita en 0. (Ya que existe una asíntota vertical de ecuación x = 0)

Actividad: Haciendo la interpretación del gráfico, responda las siguientes preguntas. a. Dominio de la función f es Dom f   ............ b. La ecuación de la asíntota horizontal es ……….. c. La función f es decreciente en……………

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6.2 Funciones seccionadas En algunos casos , una única regla de correspondencia no define con claridad una función, en este caso es conveniente utilizar una función seccionada, para describir la situación, y cuya definición presentamos a continuación.

Definición de función seccionada En una función seccionada para relacionar las variables x con y, requiere de varias reglas de correspondencia, cada una de estas reglas de correspondencia tiene su propio dominio, es decir, tiene la forma.

    f (x )      

f1 (x ) ; si x D1 f2 (x ) ; si x D2 . . . fn (x ) ; si x Dn

El dominio de la función f se representa como la unión de los dominios de cada función seccionada.

Dom ( f )  D1  D2  .... D n El rango de la función f se representa como la unión de rango de cada función restringida a su dominio.

Ran ( f )  Ran  f1  Ran  f2  . . .  Ran  fn  Cuando tracemos la gráfica de una función seccionada, debemos trazar cada una de las funciones seccionadas en su dominio restringido y recuerde que debes mostrar por lo menos tres o más puntos de referencia por donde pasa la gráfica en cada tramo y use una escala adecuada. Ejemplo 1: 2 Dadas las funciones f (x )  x y g ( x)  x , construya una función seccionada indicando su dominio.

 .......... ; x ........... h( x)    .......... ; x ...........

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Solución: Logro del ejemplo

Revise la solución del ejemplo a través del siguiente video:

Al finalizar el ejemplo, el estudiante representa una función seccionada a partir de funciones básicas indicando su dominio. Link: Código QR: https://goo.gl/VQYaYD

Ejemplo 2: Dada la función f con regla de correspondencia:

  3 ; x  1  h( x)   x2 ;  1 x  2 1  ; 2 x x Trace su gráfica, interprete y determine lo siguiente: a. Dominio y rango b. ¿Dónde están los ceros de la función? c. ¿Cuáles son los intervalos donde la función es positiva y negativa?

Solución: Logro del ejemplo

Revise la solución del ejemplo a través del siguiente video:

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Al finalizar el ejemplo, el estudiante traza la gráfica de una función seccionada e interpreta la gráfica para representar sus propiedades.

Link: https ://g oo.g l/3jps S i

Código QR:

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6.3 Técnicas de Graficación Traslación Horizontal Una traslación horizontal es un desplazamiento hacia la izquierda o hacia la derecha de la gráfica de ecuación y  f (x) . Es decir, si c  0 la gráfica de la ecuación y  f (x  c) es una traslación horizontal de c unidades hacia la derecha; mientras que la de y  f (x  c) , es una traslación horizontal de c unidades hacia la izquierda.

y = f (x)

y = f (x - c)

Es una traslación horizontal de c unidades hacia la derecha.

y = f (x + c)

y = f (x)

Es una traslación horizontal de c unidades hacia la izquierda.

Ejemplo: Describa los pasos a seguir para transformar la gráfica de la función f con regla de correspondencia 𝑓(𝑥) = √𝑥 en la gráfica de la función con regla de correspondencia

f (x)  x  3 .

Solución: Paso 1: Identificamos la función básica, en este caso es: y  x . Paso 2: Analizando la regla de correspondencia y  x  3 . Observamos que la gráfica del paso 1 se traslada horizontalmente 3 unidades hacia la derecha.

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Traslación Vertical Una traslación vertical es un desplazamiento hacia arriba o hacia abajo de la gráfica con ecuación

y  f (x ).

c  0 la gráfica de y  f ( x)  c es una traslación vertical de c unidades hacia arriba; mientras que de y  f (x)  c , es una traslación vertical de c unidades hacia abajo. Es decir, si

y = f (x)

y = f (x) + c y = f (x)

y = f (x) - c

Es una traslación vertical de c unidades hacia arriba.

Es una traslación vertical de c unidades hacia abajo.

Ejemplo: Describa los pasos a seguir para transformar la gráfica de con regla de correspondencia

f (x)  x 2 en la gráfica de la función

f (x )  x 2  2 .

Solución: Paso 1: Identificamos la función básica, en este caso es y  x 2 . Paso 2: Analizando la regla de correspondencia y  x 2  2 . Observamos que la gráfica con respecto al paso 1 se traslada verticalmente 2 unidades hacia abajo. EN RESUMEN Traslaciones Sea c un número real positivo. Entonces las transformaciones siguientes resultan de las traslaciones de la gráfica de y  f (x) Traslaciones horizontales y  f ( x  c) : significa una traslación horizontal de c unidades hacia la derecha

y  f (x  c) : significa una traslación horizontal de c unidades hacia la izquierda Traslaciones verticales y  f ( x)  c : significa una traslación vertical de c unidades hacia arriba

y  f ( x)  c : significa una traslación vertical de c unidades hacia abajo

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Reflexión respecto al eje X La gráfica con ecuación y   f (x) es el reflejo (como un espejo) de la gráfica de la ecuación y  f (x) con respecto al eje X.

y = f (x)

y = - f (x)

Reflexión respecto al eje Y La gráfica con ecuación y  f (x)es el reflejo (como un espejo) de la gráfica de la ecuación y  f (x) con respecto al eje Y.

y = f (-x)

y = f (x)

Ejemplo: Describa como transformar la gráfica de la ecuación f (x)  x , para trazar la gráfica de la ecuación f ( x)  

1 x 3.

Solución: Paso 1: Identificamos la función básica, que en este caso es y 

x.

Paso 2: Analizando y  x  1 . Se observa que la gráfica del paso 1 se traslada horizontalmente 1 unidad hacia la izquierda. Paso 3: Analizando y   x  1 . Se observa que la gráfica del paso 2 se refleja con respecto al eje y. Paso 4: Analizando y    x  1 . Se observa que la gráfica del paso 3 se refleja con respecto al eje x. Paso 5: Por último analizando y    x  1  3 . Se observa que la gráfica del paso 4 se traslada verticalmente hacia arriba 3 unidades.

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Alargamientos y compresiones verticales ✓

Si c  1 , la gráfica de la ecuación y  c  f x  es un alargamiento vertical en un factor de c respecto a la gráfica de y  f (x) .

✓

Si 0  c  1 , la gráfica de la ecuación y  c  f x  es una compresión vertical en un factor de c respecto a la gráfica de y  f (x) .

Ejemplo: Trace la gráfica de la función con regla de correspondencia: f (x)  2 x Solución: En este caso tenemos un alargamiento vertical. Para obtener la gráfica de y  2 x a partir de la gráfica de y 

x fijamos (por ejemplo) los valores 0 , 1 y 4 del eje X y evaluamos de la siguiente

manera: y 

x

x

y 2 x

0

y 

0 0

y  2(0)  0 , así tenemos 0; 0

1

y  1 1

y  2(1)  2 , así tenemos 1; 2

4

y 

y  2(2)  4 , así tenemos 4; 4 

4 2

Este proceso lo podemos hacer mental. Pero es importante que conozcamos tres o más puntos por donde pasa la función básica y  x . Observe los puntos fijados en la gráfica siguiente: (estos puntos pueden ser otros).

f ( x)  2 x

f (x ) 

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x

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Ejemplo 3: Describa con sus palabras los pasos a seguir para que a partir de la gráfica de y  f (x) se grafique la función y   f ( x  1)  2 .

Solución: Al finalizar la sesión, el estudiante transforma las gráficas de las funciones básicas usando las técnicas de graficación. Al finalizar el ejemplo, el estudiante describe con palabras los pasos a seguir para graficar funciones a partir de una función básica.

Logro del ejemplo

Revise la solución del ejemplo a través del siguiente video:

Link: https://goo.gl/O755R0

Código QR:

Ejemplo 4: Utilice las técnicas de graficación para graficar paso a paso la siguiente función con regla de correspondencia f ( x) 

2  x 1 .

Solución: Logro del ejemplo

Revise la solución del ejemplo a través del siguiente video:

Al finalizar el ejemplo, el estudiante transforma las gráficas de funciones básicas usando las técnicas de graficación. Link: https ://youtu.be/s L O g d9yvB 54

Código QR:

BIBLIOGRAFÍA STEWART JAMES, R., WATSON REDLIN, S. & ROMO MUÑOZ, J. (2017) Precálculo matemáticas para el cálculo. (7a edición) México, D.F.: Cengage Learning.

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EJERCICIOS RESUELTOS:

Ejercicio 1: Dada la función f con regla de correspondencia: x ; x  1  f ( x)   1 ;  1  x  1   x ; 1 x Trace su gráfica e Interprete y determine lo siguiente: a. Dominio y rango b. ¿Dónde están los ceros de la función? c. ¿Cuáles son los intervalos donde la función es positiva y negativa?

Solución: Tracemos la gráfica de la función, para ello debemos mostrar por lo menos dos o tres puntos de referencia en cada tramo por donde pasa la gráfica y usemos una escala adecuada.

a. Para el dominio: Interpretando cada tramo de la gráfica (de izquierda a derecha) y proyectándola sobre el eje X, observamos que la función está definida en los siguientes valores del eje X, los cuales se describen mediante los conjuntos: •

x   ;  1 

•

x   1; 1 

•

x  1;  

Haciendo la unión de estos conjuntos se obtiene:

  ;  1    1;1    1;     R Por lo tanto, el dominio de la función queda representado por: Dom( f )  R

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Para el rango: Interpretando cada tramo de la gráfica (de abajo hacia arriba) y proyectándola sobre el eje Y, observamos que la función toma los siguientes valores sobre el eje Y, y el rango de la función queda representado por: Ran( f )   1  1;    b.

¿Dónde están los ceros de la función? Haciendo la interpretación del gráfico de izquierda a derecha, la gráfica no intersecta al eje x, luego argumentemos la respuesta. La función f no tiene ceros.

c.

¿Cuáles son los intervalos donde la función es positiva y negativa? Haciendo la interpretación del gráfico de izquierda a derecha, la función es positiva cuando la gráfica está sobre el eje x, y es negativa cuando la gráfica está debajo del eje x. (la intersección de la gráfica con eje x son los ceros de la función, que no es positiva ni negativa por lo cual se deja abierto), ahora argumentemos la respuesta. •

La función f es positiva en los siguientes intervalos:  ;  1  y  1;   

•

La función f es negativa en los siguientes intervalos:

  1;1 

Ejercicio 2: Dada la gráfica de una función y  f (x)

Analice cada uno de los tramos y escriba la regla de correspondencia de la función y  f (x) como una función seccionada e indique los dominios restringidos de cada tramo.

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Solución:

Revise la solución del ejercicio a través del siguiente video:

Link: https ://goo.g l/61F yaq

Código QR:

Ejercicio 3: Un móvil inicia su recorrido con una velocidad de “ t ” m/s hasta los 3 segundos, luego la velocidad del móvil es de “ (t  4)  2 ” m/s entre los 3 y los 6 segundos de su recorrido, finalmente mantiene una velocidad 2

constante de “6” m/s desde los 6 hasta los 10 segundos. a. b. c. d. e.

Defina las variables y sus unidades. Escriba una función seccionada que modele la variación de la velocidad del móvil en función del tiempo, indicar el dominio restringido de cada tramo. ¿Cuál es la velocidad del móvil a los 5,4 segundos? ¿En qué instantes de tiempo la velocidad del móvil es de 2,25 m/s? Trace la gráfica de la variación de la velocidad en cada instante de tiempo.

Solución:

Revise la solución del ejercicio a través del siguiente video:

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Código QR: Link: https ://g oo.g l/K xpo1R

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Ejemplo 4: Usando un asistente matemático (por ejemplo la ClassPad) trace la gráfica de la función g con regla de correspondencia:

2x  0,8 ; 0  x  2,5  g (x)  5,8 ; 2,5  x  4  2   0,2 x  6   6,6 ; 4  x  9,2 Además: a. Calcule el valor de g (1,34). b. ¿Cuáles son los valores de x tal que g ( x)  6,4 ?

Solución:

Revise la solución del ejercicio a través del siguiente video:

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