funciones exponenciales y logarítmicas, debido a que para calcular la derivada con frecuencia se necesita usar los teoremas de derivación de funciones algebraicas y trigonométricas PDF

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Materia de calculo integral se muestra ejercicios de derivadas y calculo integral
funciones
exponenciales y logarítmicas, debido a que para calcular la derivada con
frecuencia se necesita usar los teoremas de derivación de funciones
algebraicas y trigonométricas...

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! Derivadas!de!funciones!exponenciales!y!logarítmicas! ! Por: Oliverio Ramírez

Observa las siguientes funciones: 5 1) f ( x) = x

x 2) f (x ) = 5

¿En qué se diferencian? La función 1 tiene una base variable (x), pero un exponente constante (5). La función 2 tiene una base constante (5) y exponente variable (x). A pesar de que a primera vista ambas parecían muy similares, su comportamiento como veremos a continuación es muy diferente. Analiza la gráfica que se muestra en la figura 1.

Figura 1. Ejemplo de funciones.

! ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 1

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De acuerdo con Oteyza, Osnaya, Hernández y Carrillo (2006), el uso más común de las funciones exponenciales (como 3x) es describir fenómenos de crecimiento (como el incremento de la población) o decrecimiento (como la desintegración radioactiva), para lo cual también suele hacerse uso de sus funciones inversas , las funciones logarítmicas que en la figura 1 aparece su gráfica en color rosa.

Figura 2. Bacteria texture (Behera, 2008).

En esta lectura estudiaremos los teoremas de derivación para ambos tipos de funciones, con la ayuda de la información que se presenta en el siguiente formulario.

Aunque en esta lectura se estudia la derivada de las funciones exponenciales y logarítmicas, debido a que para calcular la derivada con frecuencia se necesita usar los teoremas de derivación de funciones algebraicas y trigonométricas, éstos también se incluyen en esta lectura.

Teoremas de derivación Funciones algebraicas

(1)

d (C ) = 0 dx d d ( cu) = c ( u) = cu′ ! dx dx

d (2) ( x) = 1 dx

(6)

d d (3) (cx ) = c ( x ) dx dx

(7)

d (uv ) = uv ฀′+ vu ฀! dx

d (4) (u + v − w ) = u ′ + v ′ − w ′ dx

(8)

d ฀฀u ฀฀ vu ฀′− uv ฀ ! ฀฀ ฀฀= dx ฀฀v ฀฀ v2

d (5) (x )n = n ( x)n−1 dx

(9)

d (u ) n = n (u) n−1 u′ ! dx

Tabla 1. Teoremas de derivación.

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Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas directas

Funciones trigonométricas inversas

(10)

d ( sen u) = (cos u) u' dx

(16)

d u' (arc sen u ) = 2 dx 1−u

(11)

d (cos u) = ( −sen u) u' dx

(17)

d u' (arc cos u ) = − dx 1− u2

(12)

d (tan u) = (sec 2 u) u' dx

(18)

d u' (arc tan u ) = 2 dx 1+ u

(13)

d (cot u) = ( − csc 2 u) u' dx

(19)

d u' ( arc cot u) = − 2 dx 1+u

(14)

d (sec u) = (tan u sec u) u' dx

(20)

d u' ( arc sec u) = dx u u2 −1

(15)

d (csc u) = ( − cot u csc u) u' dx

(21)

d u' ( arc csc u) = − dx u u2 −1

Tabla 2. Funciones trigonométricas.

Funciones exponenciales (22)

d u a = a u ln a u' dx

(

)

Tabla 3. Funciones exponenciales.

(23)

d u e = e u u' dx

( )

Funciones logarítmicas (24)

(25)

d u' ฀฀log e ฀฀ (log a u ) = ฀฀ a ฀฀u ' = dx u ln a ฀฀ u ฀฀ u' d ฀฀1 ฀฀ (ln u ) = ฀฀ ฀฀ u' = dx u ฀฀u ฀฀

Tabla 4. Funciones logarítmicas.

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Derivación*de*funciones*exponenciales! En general, podemos decir que existen dos tipos de funciones exponenciales: •

u

Funciones del tipo y = a , que utilizan cualquier constante como base. +

Ejemplos: y = 5 x , y = 10 2 x , y = 20 •

2x

Funciones del tipo y = e u , que describe funciones que utilizan la constante de Euler (e = 2.71828…) como base. Ejemplos: y = e x , y = e 2+ x , y = e 2 x

A continuación se te presenta la forma de aplicar los teoremas de derivación en cualquiera de las dos situaciones:

Ejemplo*1* Deriva y = 10 x

2

Solución: La fórmula a utilizar es la fórmula 22, por lo que 𝑎 = 10, 𝑢 = 𝑥 ! y 𝑢 ! = 2𝑥. Sustituyendo estos valores en la fórmula se obtiene: 𝑦! =

𝑑 ! ! ! 10 ! = 10! 𝑙𝑛10 ∙ 2𝑥 = 2𝑥 10 ! 𝑙𝑛10 𝑑𝑥

Que es el resultado buscado.

Veamos ahora un ejemplo de la fórmula 23.

Ejemplo*2* * Deriva 𝑦 = 𝑒 !! Solución: La fórmula a utilizar es la fórmula 23, por lo que 𝑢 = 3𝑥 y 𝑢 ! = 3. Sustituyendo estos valores en la fórmula se obtiene: 𝑦! =

𝑑 !! 𝑒 = 𝑒 !! ∙ 3 = 3𝑒 !! 𝑑𝑥

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Que es el resultado buscado. ¿Qué te han parecido estos dos ejemplos? Veamos otro ejemplo.

Ejemplo*3* * Deriva 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔! 5𝑥 ! Solución: La fórmula a utilizar es la fórmula 24, por lo que 𝑎 = 2 𝑢 = 5𝑥 ! y 𝑢! = 15𝑥 ! . Sustituyendo estos valores en la fórmula se obtiene: 𝑦! =

𝑑 15𝑥 ! 𝑙𝑜𝑔! 5𝑥 ! = 5𝑥 ! 𝑙𝑛2 𝑑𝑥

Que es el resultado buscado.

Calculemos la derivada de una función logarítmica de base 𝑒.

Ejemplo*4* * Deriva 𝑦 = 𝑙𝑛 4𝑥 ! − 3 Solución: La fórmula a utilizar es la fórmula 25, por lo que 𝑢 = 4𝑥 ! − 3 y 𝑢 ! = 8𝑥. Sustituyendo estos valores en la fórmula se obtiene: 𝑦! =

8𝑥 𝑑 𝑙𝑛 4𝑥 ! − 3 = ! 𝑑𝑥 4𝑥 − 3

Que es el resultado buscado. En los siguientes ejemplos se resuelven derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas en combinación con funciones algebraicas y trigonométricas.

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Ejemplo*5* * Deriva 𝑦 = 3𝑥𝑙𝑛 6𝑥 !! Solución: La fórmula a utilizar es la 7, en combinación con la fórmula 25.

d (uv ) = uv ฀′+ vu ฀ dx 𝑢 = 3𝑥

𝑢′ = 3

𝑣 = 𝑙𝑛 6𝑥 !!

𝑣! =

!!"! !! !! !!

= −2𝑥 !!

𝑦 ! = 3𝑥 −2𝑥 !! + 𝑙𝑛 6𝑥 !! 3 𝑦 ! = −6 + 3𝑙𝑛 6𝑥 !!

Ejemplo*6* * Deriva 𝑦 = 𝑒 !! 𝑙𝑛 𝑥 + 1 Solución: La fórmula a utilizar es la 7, en combinación con las fórmulas 23 y 25.

𝑢 = 𝑒 !! 𝑣 = 𝑙𝑛 𝑥 + 1

𝑢′ = 5𝑒 !! ! 𝑣! = !!!

𝑦 ! = 𝑒 !! 𝑦! =

1 + 𝑙𝑛 𝑥 + 1 5𝑒 !! 𝑥+1

𝑒 !! + 𝑙𝑛 𝑥 + 1 5𝑒 !! 𝑥+1

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Ejemplo*7* Deriva 𝑦

=

!"# !! !!!

Solución: La fórmula a utilizar es la 8, en combinación con las fórmulas 12 y 22.

d ฀฀u ฀฀ vu ฀′− uv ฀′ ฀฀ ฀฀= dx ฀฀v ฀฀ v2

𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 5𝑥

𝑢′ = 5𝑠𝑒𝑐 ! 5𝑥

𝑣 = 7!!

𝑣 ! = 7!! 𝑙𝑛 7 ∙ 2 𝑦! =

𝑦! =

7!! 5𝑠𝑒𝑐 ! 5𝑥 − 𝑡𝑎𝑛 5𝑥 7!! 𝑙𝑛 7 ∙ 2 7!!

!

7!! 5𝑠𝑒𝑐 ! 5𝑥 − 𝑡𝑎𝑛 5𝑥 7!! 𝑙𝑛 7 ∙ 2 7!!

Ejemplo*8* * Deriva 𝑦 = 𝑒 !! + 𝑙𝑛 𝑥

!

Solución: La fórmula a utilizar es la 9, en combinación con las fórmulas 23 y 25.

d n−1 ( u) n = n (u) u′ dx 𝑢 = 𝑒 !! + 𝑙𝑛 𝑥

!

𝑢 ! = 6𝑒 !! + !

𝑛=4

1 𝑥 1 𝑦 ! = 4 𝑒 !! + 𝑙𝑛 𝑥 ! ∙ 6𝑒 !! + 𝑥

𝑦 ! = 4 𝑒 !! + 𝑙𝑛 𝑥

!!!

∙ 6𝑒 !! +

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Referencia) Oteyza, E.; Lam, E.; Hernández, C. y Carrillo, A. M. (2006). Conocimientos fundamentas de Matemáticas. México: Pearson Educación.

Referencia)de)la)imagen Behera, J. (2008). Bacteria texture. Recuperada de http://www.freeimages.com/photo/1066715 (imagen publicada bajo licencia Royalty free, de acuerdo a: http://www.freeimages.com/help/7_2).

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)Bibliografía) Arya, J. y Lardner, R. (2002). Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía. México: Pearson Educación. Cruz, L.; Prado, C. y Vallejo, F. (2006). Cálculo diferencial para ingeniería. México: Pearson Educación. Edwards, C. (1996). Cálculo con geometría analítica. México: Prentice Hall. Edwards, C. H. & Penney, D. E. (1997). Cálculo diferencial e integral (O. A. Palmas, trad.). México: Prentice Hall. Fuenlabrada, S. (2001). Cálculo Diferencial. México: McGraw-Hill. Purcell, E.; Varberg, D. y Rigdon, S. (2001). Cálculo (V. H. Ibarra y O. Palmas, trad.). México: Pearson Educación. Smith, R. y Minton, R. (2000). Cálculo. Colombia: McGraw-Hill.

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