Funciones inyectiva, biyectiva o sobreyectiva PDF

Preview

Summary

Esta práctica presenta básicamente ejercicios resueltos de Cálculo I sobre analizar si una función es inyectiva, biyectiva o sobreyectiva....

Description

1. Analizar la inyectividad de las siguientes funciones.

a)

f (x )=

x x −2

f (x1 )  f (x 2 ) 

x1 x  2  x1 x 2  f es inyectiva 2  x1 x2  2

2

b) f (x )=x +2 f ( x1 )  f ( x2 )  x12  2 x22  2  x1 x2 y x1  x2  f no es inyectiva 2

c)

f (x )=( x−h) +k , x≥k

f (x 1) f (x 2 ) (x 1 h ) 2 k  (x 2 h ) 2 k  x 1 x 2 yx 1 x 2 2h  f no es inyectiva

d)

f (x )=1− √x 2 −4 x −5 , x≤−1

f (x1 )  f (x2 )  1

x12  4x1  5 1

x 22  4x 2  5 

x1 x2 y x1  x2  2 h  f no es inyectiva

x f (x )= | x |+2 e) No es inyectiva

f (x )=

x−3 1 −1 , x∈⟨ 1,2⟩ + x−1 (x−1)2

f) Si es inyectiva

2. Determinar si la función f :[ 0, 2 [→ ] −∞ , 0 ] tal que

f (x )=

x x−2 es biyectiva.

Primero verificamos si la funcion es inyectiva x1 x f ( x1 )  f ( x2 )   2  x1 x2  si es inyectiva x1  2 x 2  2 Verificamos si la funcion es sobreyectiva Codom(f): IR-  2 x 2y x  y  IR   1 x 2 y 1 como el codominio y el rango no son iguales entonces la funcion no es sobreyectiva Por tanto la funcion no es inyectiva 3. En los siguientes ejercicios comprueba analíticamente si cada una de las funciones que se proponen son sobreyectivas. Rango ( f ) : y 

a)

f : ℜ→ [ 0 , 2] / f (x )= √ 4−x 2 Dom ( f ) : 2 4  x 0

x2  4 0 ( x  2)( x  2) 0 x    2,2  Rango ( f ) : y 4 x

2

y2  4  x2 x  4  y2 y   0, 2  no es sobreyectiva b)

f : ℜ→ ℜ / f ( x )=4 x−7 Dom ( f ) : IR Rang ( f ) : y  4x  7 y 7 , y  IR 4 si es sobreyectiva

x

c)

f : ℜ→ ℜ / f ( x )=

1 x Dom ( f ) : IR   0 Rang ( f ) : 1 y x 1 x  , y  IR   0  y no si es inyectiva

d)

f : ℜ→(0,∞⟩ / f ( x)= √x 2 −4 y  x2  4 x  y 2  4, y  IR si es sobreyectiva 4. Probar si es o no biyectiva cada una de las funciones reales siguientes:

a) f (x )=3+ x Haciendo : f (x 1)  f (x 2 )  3 x 1  3 x 2  x 1  x 2  si es inyectiva Hallando el rango(f): y=3+x x=3-y, y IR  si es sobreyectiva Por tanto la funcion si es biyectiva

f (x )= √x+1 3

b)

f (x1 )  f (x 2 ) 

3

x1  1  3 x 2  1  x 1 x 2  si es inyectiva

Hallando el rango(f): y= 3 x 1  x  y 3  1, y  IR como y  IR  si es sobreyectiva Por tanto la funcion si es biyectiva c)

g( x)= √ x−1

f ( x1 )  f ( x2 ) 

x1  1  x2  1  x1  x2  si es inyectiva

Hallando el rango(f): y= x  1  x  y 1, y  IR como y IR  si es sobreyectiva 2

Por tanto la funcion si es biyectiva

h( x )= d)

1 x +1 2

1 1  2  x1  x2 , x1  x 2  no es inyectiva x 1 x 2 1 Hallando el rango(f): f ( x1 )  f ( x2 ) 

y=

2 1

1 1  x  1, y   ,1    0  x 1 y 2

 no es sobreyectiva Por tanto la funcion no es biyectiva

5. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I.

f : R  R, f ( x)  2x





x 1 es una función creciente en  1,1 .

Apoyándonos con su grafica diremos que si es creciente.

f :  1,1  R, f ( x)  x

1

II. f ( x1 )  f ( x2 ) 

x

es una función inyectiva.

x1 x  2 1 x1 1 x2

cuando : x x  x1 x2 cuando : x  x  x1 x2  x1  x2 ,  si es inyectiva

f :  1,1  R, f ( x)  x

1 x es una función impar.

III. f ( x) 

x 1 x

, f ( x) 

x x   f (x )  f ( x ) 1  x 1 x

Po r lo tanto la funcion es impar f : R  R, f (x )  x x  (x  1) (x  1) es sobreyectiva. IV. Haciendo : y x x  ( x  1) ( x  1) para : x x y x 2  ( x  1) 2 y 1 1 1   , y   ,   2 4 2 2 Ya podemos decir que no es sobreyectiva x

6. Dados los siguientes enunciados cuántos son correctos:  f: A  B, A; B ¿ R si es creciente, entonces es inyectiva No es correcto, que sea creciente no asegura la inyectividad de la función 

Si f: R R es decreciente, entonces f no es inyectiva Que sea decreciente no asegura la inyectividad de la función



Si, f, g : R  R ambas inyectivas, entonces f + g es inyectiva Si las dos funciones son inyectivas la suma también.



Si f: R  R es inyectiva, entonces f2 es inyectiva.

No necesariamente, porque elevarlo al cuadrado a una función lineal puede volverle cuadrática.

ACTIVIDADES. Ejercicios Propuestos 1- determine la inversa y verifique su respuesta. Haga la gráfica de f y f —1 en los mismos ejes coordenados.

a) f ( x )=x 2 +4 , x≥0

Dom ( f )  0,   f ( f  1 ( x))  x ( f  1 ( x)) 2  4  x

f  1 ( x)  x  4, Dom( f  1 ( x))  4,  

3

b) f ( x)=x −1

Dom ( f ) IR f ( f  1 ( x )) x ( f  1 ( x)) 3  1  x f  1 ( x) ( x 1)1/3

c ) f ( x )=3 x−6 Dom ( f ) IR f ( f  ( x))  x 1

3 f  1 ( x)  6  x x 6 1 f  ( x)  3

d ) f (x )=

x−1 x−2

Dom ( f ) IR   2 f ( f  ( x ))  x 1

f  1 ( x)  1 x f 1 ( x)  2 f  1 ( x) 

2x  1 , Dom( f  1 ( x)) IR   1 x1

e ) f ( x )=

3 x+1 x

Dom ( f ) IR   0 f ( f  1 ( x))  x 3 f  1( x) 1 x f  1 (x ) 1 f  1 ( x)  , Dom( f  1 ( x)) IR   3 x 3

f ) f ( x )=

4 x−1

Dom ( f ) IR   1 f ( f  1 ( x))  x 4 x f (x )  1 4 1 1 f  ( x)  1, Dom( f  ( x)) IR   0 x 1

2- Si f (x )=3 x+2a 2

−1

, determinar los valores de

f (a )= f ( a+2 ) Solución: Hallamos la inversa de la funcion f f ( f  1 (x )) x 3 f  1 ( x)  2 a  x x  2a 3 reemplazamos en la sgte. relacion. f  1 (x ) 

f (a 2 )  f  1 (a  2) 3( a2 )  2a 

(a  2)  2a 3

9a 2  7a  2 0  a  1,a 

2 9

a

de tal modo que:...