Funkcje cyklometryczne PDF

Preview

Summary

Dr inż. Ewa Marciniak...

Description

Przypomnijmy Niech f:D

f(D) = { y P: x D y = f(x) }.

P. Wówczas f: D

r

Definiujemy funkcję f-1: f(D)

wj

D następująco

(*) -1

(to powinno być na algebrze. Wiedzieć powinni – ale niekoniecznie – Ŝe wykresy f i f są symetryczne względem przekątnej I i III ćwiartki )

WPU funkcję sin: [ –

]

,

R

2 2

Jest ona róŜnowartościowa i mamy sin: [ –

,

2 2

]

wj

sin([–

2

,

1

]) = [ -1, 1 ]

2

–

2

czyli sin: [ –

,

2 2

]

wj

2

[ -1, 1 ]

-1

istnieje więc funkcja odwrotna sin -1: [ -1, 1 ]

[–

,

2 2

wj

] i w związku z tym

Wprowadzamy oznaczenie (**)

: [ -1, 1 ]

wj

[–

,

2 2

]

Jest funkcją określoną wzorem (***)

y [-1, 1] arcsin y

x

sin y = x

- trochę zabawy ( moŜe nie aŜ tyle co poniŜej) arcsin( -1) = p [ –

,

2 2

sin p = -1 p =

3 )=p [ – , ] 2 2 2

arcsin( –

1 arcsin( – ) = p [ – 2

arcsin( 0) = p [ –

2

, ]

1 2

2 2

, ]

sin p = 0 p =

, ]

sin p =

2 2

3)=p [ – , ] 2 2 2

arcsin(1) = p [ –

3 2

sin p = sin p = -

–

,

2 2

]

sin p =

1 2

2

, więc arcsin( -1) = –

p=

p=

–

–

6

3

, więc arcsin(–

2 3 )=– 2 3

1 , więc arcsin(– ) = – 2

6

0 , więc arcsin( 0) = 0

2 2

1 arcsin( ) = p [ –

arcsin(

]

p= 3 2

6

, więc arcsin(

p= 3

sin p = 1 p = 2

1 )= 2 6

, więc arcsin(

, więc arcsin(1) =

2

3 )= 2 3

MoŜemy teraz sporządzić wykres (jego ideę) (jako tako nawet symetrię widać) Z wykresu odczytujemy wszystkie

2

własności tej funkcji. I tak dla porządku:

1

1. Dziedzina D = [-1, 1] –

2

-1

, ]

2. arcsin ([-1, 1]) = [–

2 2

1

3. arcsin – jest rosnąca

2

-1

4. i nie wiem co jeszcze moŜe np. coś –

takiego x [-1, 1]

–

≤ arcsin x ≤

2

2 2

5. arcsin – jest parzysta

Jako pracę domową moŜna zadać przeprowadzenie analogicznego rozumowania dla funkcji cos: [ 0 ,

]

R i utworzenia z niej arccos: [-1, 1]

[0,

]

Tu ograniczmy się tylko do rysunku i odczytanych zeń własności 1. Dziedzina D = [-1, 1] 2. arccos ([-1, 1]) = [0 ,

]

2

3. arccos – jest malejąca 4.

x [-1, 1]

0 ≤ arccos x ≤

1

-1

2

5. arccos – nie jest parzysta ani nieparzysta Szybko zróbmy tg: ( – (*) x R arctg y

x

,

2 2

)

R i dla niej arctg: R

tg x = y [

(–

2

, ) określoną 2

]

ś

1. Dziedzina D = R 2. arctg(R) = [–

2

,

2

2

]

3. arctg – jest rosnąca 4. 5.

xR –

2

≤ arctg x ≤

lim arctgx

x

2

2

2

2

6.

x

lim arctgx

2

2

Dla arcctg ograniczmy się tylko do rysunku (oczywiście w przedziale [0,

 Rozwiązać równania i nierówności: 1) arcsin x =

6

; 2) arctg x ≤

4

; 3) (

3

- 2arcsin x)(5

 Wykazać, Ŝe x [-1, 1] arcsin x + arccos x = 2

Jako praca domowa 

x R arctg x + arcctg x =



x [0, 1] arcsin x = arccos



x R

2

+

arctg x = arcctg

1 x

1 x2

+3arcsin x) ≥ 0.

] odwracamy)...