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Desarrollo de ejercicios de control bajo lógica difusa utilizando Matlab...

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Área Académica Electricidad y Electrónica Ingeniería en Automatización y Control Industrial (T73-4) Automatización y Control Industrial (B7-7)

Informe N°1 Desarrollo Ejercicios FUZZY Análisis De Sistemas De Control Con Tecnología De Lógica Difusa, Redes Neuronales

Asignatura: Automatización de los Sistemas Eléctricos Sección: 60-A Nombre del académico:

Fecha de entrega 22 de noviembre de 2019

Contenido Introducción..................................................................................................................................................................... 3 Objetivo........................................................................................................................................................................... 3 Desarrollo........................................................................................................................................................................ 4 Ejercicio n°1:

......................................................................................................................................................... 4

Ejercicio n°2:

....................................................................................................................................................... 21

Ejercicio n°3:

....................................................................................................................................................... 26

Conclusiones.................................................................................................................................................................. 34 Bibliografía..................................................................................................................................................................... 34

Desarrollo ejercicios FUZZY

2

Introducción La lógica difusa es una técnica de la inteligencia artificial que trabaja desde un método simple para poder concluir con alguna interrogante planteada y a través de una información imprecisa o incompleta puede trabajar para llegar a una respuesta concreta. Este tipo de inteligencia trata de ser muy parecida a la inteligencia del ser humano ya que no necesita de mucha información para lograr tomar decisiones precisas. En este informe se presentarán el actuar de la lógica difusa en los sistemas de control eléctricos y como está varía dependiendo de los datos a trabajar desde el software utilizado “Matlab”.

Objetivo 

Analizar los conjuntos difusos, funciones y características aplicados al control de la lógica difusa.



Implementar los conocimientos y teoría aprendida en clase para lograr el desarrollo de los ejercicios.



Diseñar un sistema de control utilizando método de lógica difusa Mamdani para los ejercicios que lo requieran.



Analizar las especificaciones de desempeño del sistema de control para diseñar compensadores para sistema de control utilizando el criterio de Rout Hurwitz y la segunda regla de sintonización de Ziegler-Nichols, para construcción de controlador PID.



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3

Desarrollo Ejercicio n°1:

(40%)

Se tiene un proceso para el control de nivel de un estanque como el mostrado en la figura. Un motor de corriente continua permite abrir una válvula mientras gira. Se despreciarán la inductancia del motor y la fricción entre el motor y la válvula para mayor simplicidad. La altura del agua en el estanque se relaciona con el ángulo de giro del motor mediante la ecuación: τ

h ( t )=∫ [ 6.66 θ ( t ) −h(t) ] dt 0

La constante del motor es Km=7.7 y la inercia del mismo es J=0.00777 [kg*m2] Las ecuaciones diferenciales mecánicas del sistema vienen dadas por:

Las ecuaciones eléctricas las pueden obtener aplicando leyes de Kirchoff.

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a) Diseñar un controlador PD+I fuzzy que permita controlar el proceso de llenado del estanque a un valor de 7.96 [mca]. La función de transferencia con la que se debe trabajar en el proceso es G=H/Vi. Ecuaciones diferenciales:

Datos:

(Ec. 1)

Km= 7.7 2

J= 0.00777 [kg*m ]

(Ec. 2)

Ka= 50

(Ec. 3)

K= 1

Ecuaciones Eléctricas:

V a=50 V i=V b+ 10ia

(Ec.

4)

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5

Desarrollo Matemático Paso 1: Derivar la función principal para eliminar la integral τ

h ( t )=∫ [ 6.66 θ ( t ) −h(t) ] dt 0

Paso 2:

t 6.66 θ ( t ) −h(¿) h' (t)=¿ Derivar la función resultante para obtener

θ'

Paso 3:

t 6.66 θ ' ( t )−h '(¿) 2 d h =¿ dt 2 Reemplazar Ec.1 en el paso 3 Paso 4

t 6.66 w ( t )−h ' (¿) d2 h =¿ 2 dt Derivamos

w (t ) para obtener w ' (t )

Paso 5 2 d3 h d h ' =6.66 w (t)− 2 3 dt dt

Despejar ' w (t )=

w ' (t ) de la Ec.2 y reemplazar en paso 5 Km∗i a J

Paso 6

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6

d3 h dt

3

+

Despejar

ia=

d 2 h 6.66∗Km∗ia = 2 J dt ia de la Ec.4 y reemplazar en paso 6

50V i−V b 10

Paso 7 2

d3 h d h + 2 = 3 dt dt

6.66∗Km ∗50 V i−V b J 10

Paso 8 Despejar

V b=

v b de la Ec.3

θ '(t) K

Paso 9: Despejar

θ' (t)=

V b=

θ '(t ) del paso 3 y reemplazar en V b del paso 8

(

1 d 2 h dh ∗ 2+ dt 6.66 d t

)

(

2 1 d h dh + ∗ 6.66∗K d t 2 dt

)

Paso 9

( ((

2

)

d h dh + ∗1 3 2 dt 2 dt d h d h 6.66∗Km = ∗ 5 0 V − + i 2 10 J 6.66∗K dt 3 dt

)

Paso 10: Reemplazar las constantes

( ((

)

d2 h + dh ∗1 2 dt 2 dt 6.66∗7.7 d3 h d h 5 0 V − + = ∗ i 6.66∗1 dt 3 dt 2 10∗0.00777

)

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Paso 11 Resolver la ecuación

( ((

) ))

2 d3 h d h d 2 h + dh ∗0.15 + =660∗ 50 V i− 3 2 dt2 dt dt dt

Paso 12

(

3

2 d h d2 h 0.15∗d h 0.15∗dh − + 2 =660∗ 50 V i− 3 2 dt dt dt dt

)

Paso 13 3

d h d2 h + 2 =¿ 3 dt dt

2

33000 V i−99

d h dh −99 dt dt 2

Paso 14 2 3 d h + 100∗d h + 99 dh =33000 V i 2 3 dt dt dt

Paso 15 Aplicar Laplace al paso 14

s 3 H (s)+100 s2 H (s )+ 99 sH (s )=33000V i (s ) Paso 16 Ordenar la ecuación para obtener la función de transferencia del tipo G=H/Vi.

G (s )=

H (s) 33000 = V i (s) s 3 +100 s 2+99 s

Con la función de transferencia se procede a trabajar con Fuzzy.

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Diseño Fuzzy 

Matriz PD FUZZY (T. Brehm; S. Rattan, IEEE) Donde: NB=Negativo Grande NM= Negativo Mediano NS= Negativo Pequeño ZO= Cero PS= Positivo Pequeño PM= Positivo Mediano PB= Positivo Grande



Programa Fuzzy Logic Designer de Matlab

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

Función de membresía de las entradas



Función de membresía de la salida

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Diseño Fuzzy Simulink



Gráfica de la salida del sistema

Nota: A la salida del sistema se aplicó un bloque saturador, ya que el sistema es estable en sí, pero al variar las ganancias este no está regulando al valor deseado, por esta razón se aplicó el bloque para limitar la salida al valor solicitado.

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

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12

b) Diseñar un controlador PI+D fuzzy.

Diseño Fuzzy 

Matriz PI FUZZY (T. Brehm; S. Rattan, IEEE) Donde: NB=Negativo Grande NM= Negativo Mediano NS= Negativo Pequeño ZO= Cero PS= Positivo Pequeño PM= Positivo Mediano PB= Positivo Grande



Programa Fuzzy Logic Designer de Matlab



Función de membresía de las entradas



Función de membresía de la salida

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Diseño Fuzzy Simulink



Grafica de la salida del sistema

Nota: A la salida del sistema se aplicó un bloque saturador, ya que el sistema es estable en sí, pero al variar las ganancias este no está regulando al valor deseado, por esta razón se aplicó el bloque para limitar la salida al valor solicitado.

c) Sintonizar mediante sisotool un PID mediante Z-N y controlar el sistema mediante dicho controlador. 

Grafica del sistema sin el compensador



Configuración del compensador



Función de transferencia del compensador



Configuración del filtro

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

Grafica del sistema con el compensador y el filtro

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d) Realizar un control PID convencional sintonizado con segundo método de Z-N (a mano) y comparar las respuestas con los controladores anteriores. ¿Cuál de todos se comportó de mejor manera? Justifique su respuesta mediante comentarios y gráficas de MATLAB.



Función de transferencia del sistema

G (s )= 

33000 s 3+ 100 s2 +99 s

Función de transferencia del sistema a lazo cerrado

H ( s) = 

33000 k 3 2 s +100 s + 99 s+33000 k

Aplicando criterio de Ruth- Hurwitz para encontrar el

3

k cr

Despejando k de

s 1 99 0

s1

s 100 33000 k

9900−33000 k > 0

9900−33000 k 100 0 s 33000 k

k<

2

s

1

−9900 −33000

k 0 Los rangos de k son: 0 < k < 0.3 Por lo tanto

k cr =0.3

Aplicado criterio de Ziegler-Nichols 3

2

s +100 s + 99 s + 9900 

Reemplazando las s por jw 3

2 ( jw ) +100( jw ) + 99 jw + 9900



Factorizar la parte real y la imaginaria

( 9900−100 w2) + j ( −w3 +99 w )=0

w cr

−w 3+ 99 w=0/w

− j w 3−100 w2 +99 jw+9900=0 

Despejar w para encontrar

2

−w +99=0 99=w2 /√ 9.95=wcr

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 

Pcr = 

w cr se procede a encontrar el Pcr

Con el

2π 2π =0.63 = wcr 9.95 k cr y el w cr

Con el Nichols

se calculan los parámetros para el PID con la tabla del 2° Método de Ziegler-

kp=0.6∗k cr =0.6∗0.3

kp=0.18 Ti=0.5∗Pcr =0.5∗0.63 Ti=0.315

(s)

Td=0.125∗Pcr =0.125∗0.63 Td=0.07875 

(s)

Ganancias para Matlab

kp=0.18 ki=

kp 0.18 = Ti 0.315

ki=0.5714 kd = kp∗Td=0.18∗0.07875 kd=0.014175

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Diseño PID Simulink



Ajuste de los parámetros PID calculados



Grafica del sistema

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¿Cuál de todos se comportó de mejor manera? Justifique su respuesta mediante comentarios y gráficas de MATLAB. 

Comparación de las graficas Donde: PD+I Grafica amarilla PI+D Grafica verde PID sintonizado Z-N Grafica morada

De los 4 controladores el que mejor funciona es sisotool (grafica de abajo), ya que la gráfica entregada se comporta de una mejor a los requerimientos dados y no es tan brusca en los cambios. Dado que los controladores PD+I y la PI+D se tuvo que aplicar un saturador a la salida para que se pudiera ajustar al setpoint solicitado por lo cual se está forzando la salida para que llegue al valor deseado. El PID ajustado a mano de igual manera es inestable en este caso, al aplicar una sintonización fina puede que se comporte de una mejor manera, pero en este ejercicio no es lo solicitado.

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Ejercicio n°2:

(30%)

Se desea controlar la temperatura de un edificio residencial variando la velocidad de un sistema de bombeo. La lógica indica que a mayor temperatura mayor velocidad y por tanto intrínsecamente la presión subiría y viceversa. Para ello se dispone de los siguientes instrumentos:  Un transmisor de temperatura que cubre un rango de -10°C hasta 80°C.  Un transmisor de presión de 2 hasta 185 [psi]  La velocidad de la bomba deberá cubrir un rango de 300 hasta 3600 [rpm]  Diseño de un controlador Fuzzy hecho a la medida del proceso mediante funciones de pertenencias trapezoidales (para arranque suave de la motobomba). Complete la tabla con los datos faltantes para comprobar el diseño difuso:

Temperatura (°C)

Presión (psi)

-6.31

2

-1.1

100

0

60.88

Velocidad (rpm)

25 157.69

300

80

1800 185

3600

(Tabla completa al final del ejercicio)

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Diseño Fuzzy Se crean las dos entradas del sistema correspondiente a las variables de temperatura y presión, al igual que la salida correspondiente a la velocidad de la bomba.

Se procede a crear las funciones de membresía del tipo trapezoidales como lo solicita el ejercicio para todas nuestras variables de entrada y salida.



Funciones de membresía para las entradas

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

Función de membresía de la salida



Con las funciones de membresía creadas y con los rangos establecidos se procede a la creación de la base de conocimiento o FAM.

Temperatura/presión MF F N C MC

MB ML ML ML ML ML

B ML ML ML ML ML

N ML ML ML ML N

A ML ML ML L R

MA ML ML ML L MR

Donde: Entradas Temperatura MF= Muy Fría F= Fría N= Normal C= Caliente MC= Muy Caliente

Presión MB= Muy Baja B= Baja N= Normal A= Alta MA= Muy Alta

Salida Velocidad ML= Muy Lento L= Lento N= Normal R= Rápido MR= Muy Rápido

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

Con estas 25 combinaciones se crean las reglas para que el controlador Fuzzy trabaje.



Con la creación de las reglas se puede observar la superficie que abarcara nuestro controlador Fuzzy para las entadas y salidas.

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

Ya con el controlador listo se procede a completar la tabla solicitada, ingresando los datos ya establecidos para así completar los faltantes.

Temperatura (°C)

Presión (psi)

Velocidad (rpm)

-6.31

2

369

-1.1 0

100 60.88

374 376

25 40

120 157.69

377 300 (382)

80

86

1800

80

185

3600 (3360)

Nota: Por razones de los rangos de los trapecios no se pudo llegar a los valores exactos solicitados en la tabla, quizás al agregar más variables a la FAM u otros tipos de funciones de membresía que complementen a las funciones trapezoidales se pueda llegar a los valores exactos solicitados.

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Ejercicio n°3:

(30%)

Se tiene un proceso de control para un brazo robótico, mediante el mando de un servomotor gobernado por un controlador fuzzy. Las mediciones realizadas antes de controlar el proceso fueron las siguientes:

Corriente (mA) 0 2 3 4 5 7 9 11 12 14 15 16 19 20

Ángulo (grados) -8,32 19,68 33,68 47,68 61,68 89,68 117,68 145,68 159,68 187,68 201,68 235,66 280,98 360

a) Realice un control PI fuzzy para regular el ángulo de giro de la pinza del robot. 

Creación de las variables en matlab para la obtencion de la funcion de transferencia.

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

Programa para la obtención de la función de transferencia del sistema



Ingresamos las variables al programa en el dominio del tiempo



Seleccionamos la cantidad de zeros y polos para la función de transferencia

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

Se seleccionó 2 polos y ningún zero ya que el ajuste de estimación para los datos fue de un 84.62%, el cual fue el mayor porcentaje dentro de las posibilidades que existían.



Se exporta la función de transferencia del sistema para diseñar el compensador Fuzzy.

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Diseño Fuzzy 

Matriz PI FUZZY (T. Brehm; S. Rattan, IEEE) Donde: NB=Negativo Grande NM= Negativo Mediano NS= Negativo Pequeño ZO= Cero PS= Positivo Pequeño PM= Positivo Mediano

PB= Positivo Grande 

Programa Fuzzy Logic Designer de Matlab

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

Función de membresía de las entradas



Función de membresía de la salida

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Diseño Fuzzy Simulink



Gráfica de la salida del sistema

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b) Compare la respuesta con un P convencional autosintonizado. Conclusiones y gráficas de respaldo.



Constante proporcional para el P convencional



Diseño del P convencional Simulink



Grafica de la salida del P.

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

Comparación de las gráficas

Como se logra observar en las gráficas el controlador tipo P es más efectivo y rápido para la estabilización del sistema, ya que presenta un pequeño overshoot y la estabilización es casi inmediata. No como lo es el caso del controlador PI FUZZY, el cual no cuenta con overshoot, pero el tiempo de estabilización es más lento. Pero aun así los dos tipos de controladores responderían bien al sistema de movimiento del brazo robótico.

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Conclusiones

• Utilizando los conocimientos impartidos en clase acerca de la lógica difusa fue • posible implementar un sistema difuso utilizando la herramienta fuzzy de MATLAB. • Utilizando los conocimientos impartidos en clase Desarrollo ejercicios FUZZY

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acerca de la lógica difusa fue • posible implementar un sistema difuso utilizando la herramienta fuzzy de MATLAB. •

Utilizando los conocimientos impartidos...