Geo analitik PDF

Preview

Summary

PENGANTAR GEOMETRI ANALITIK ERIDANI Pendahuluan. Pada umumnya perkuliahan “Geometri Analitik” di tingkat Sarjana mempunyai cakupan materi: Kurva di bidang datar, atau yang lebih dikenal sebagai irisan kerucut, vektor di bidang datar maupun ruang, ditambah dengan beberapa kurva- kurva sederhana dalam...

Description

Accelerat ing t he world's research.

Geo analitik Yudit Yasin

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

GEOMET RI ANALIT IK DATAR PROGRAM ST UDI PENDIDIKAN MAT EMAT IKA Ellenda Alkhori

Draft Modul Mat emat ika Geodesi Enggar Budhi Surya Hut ama Irisan kerucut Aini Wardat us Sholihah

PENGANTAR GEOMETRI ANALITIK ERIDANI Pendahuluan. Pada umumnya perkuliahan “Geometri Analitik” di tingkat Sarjana mempunyai cakupan materi: Kurva di bidang datar, atau yang lebih dikenal sebagai irisan kerucut, vektor di bidang datar maupun ruang, ditambah dengan beberapa kurvakurva sederhana dalam ruang terutama garis lurus dan bidang datar. Pendekatan yang dilakukan dalam pembelajaran ini melalui beberapa sifat-sifat vektor. Kadangkala beberapa konsep dalam aljabar juga digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam geometri.

1. Kontrak Perkuliahan (1) Manfaat: Dalam perkuliahan Kalkulus telah diketahui bahwa permasalahan maksimum-minimum umumnya selalu berkaitan dengan konsep-konsep yang sudah dikenal dalam Geometri (seperti misalnya titik puncak suatu grafik, garis singgung dan luasan suatu daerah yang dibatasi oleh suatu kurva). Pemahaman konsep-konsep Geometri bidang atau ruang yang mumpuni mutlak diperlukan jika telaah lanjut yang lebih mendalam tentang konsep-konsep Kalkulus akan dilakukan. Perkuliahan ini memberikan kesempatan kepada peserta untuk mempunyai pengalaman bekerja di bidang datar atau pun ruang, dan melakukan telaah tentang jenis atau sifat-sifat kurva di bidang datar mau pun bidang datar di ruang dimensi tiga. Kuliah ini juga dimaksudkan untuk memberikan pengalaman mentransformasi permasalahan geometris ke dalam permasalahan manipulasi lambang-lambang atau persamaan aljabar. (Dari sinilah nama mata kuliah ini berasal.) Pengalaman kerja ini diperlukan karena konsep-konsep Aljabar Linier pada dasarnya dikembangkan dari konsep-konsep Geometri bidang mau pun ruang. Dengan demikian, melalui penguasaan materi perkuliahan ini secara mantap ditambah dengan sedikit imajinasi geometris sudah merupakan bekal yang cukup dalam mempelajari Aljabar Linier, Kalkulus Peubah Banyak, atau pun cabang ilmu Aljabar yang lainnya. Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Kampus C Mulyorejo, Surabaya 60115. Alamat e-mail: [email protected]. 1

2

ERIDANI

(2) Deskripsi: Sebelum ini peserta diasumsikan sudah mengetahui beberapa sifatsifat elementer bangun-bangun geometris, seperti: garis lurus, segitiga, dan beberapa bangun yang lain (termasuk bidang datar). Deskripsi mata kuliah ini meliputi: Sistem koordinat bidang (ortogonal dan miring), dan konsep jarak, garis lurus, lingkaran, ellips dan parabola, sistem koordinat dan vektor di ruang, garis lurus, bidang datar, dan persamaan permukaan derajat dua. (3) Tujuan: Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan telah siap untuk memasuki salah satu tahap baru dalam bermatematika, yaitu mampu memandang sekaligus menyelesaikan suatu permasalahan geometri secara aljabar, dan sebaliknya mampu memberikan interpretasi geometris terhadap seperangkat persamaan sekaligus selesaiannya. Mahasiswa diharapkan mampu menggabungkan antara manipulasi aljabar yang dilakukan terhadap seperangkat sistem persamaan dan konsekuensinya terhadap sifat-sifat kurva (mencari interpretasi geometris terhadap selesaian seperangkat persamaan tersebut). (4) Strategi Perkuliahan: Strategi perkuliahan ini memusatkan perhatian pada manipulasi seperangkat persamaan aljabar (untuk mencari selesaiannya), memberikan ilustrasi geometris sederhana dari persamaan tersebut, dan pada akhirnya melakukan interpretasi geometris selesaian persamaan aljabar tersebut. Untuk membangun ketajaman intuisi geometris, akan dilakukan pentahapan dalam pemberian ilustrasi geometris dari persamaan aljabar. Mahasiswa diharapkan berpartisipasi aktif dalam hal ini. (5) Bacaan: Buku Teks utama “Problems in Analytic Geometry”, oleh D. Kletenik, Peace Publishers, Moskow, 1965. Buku Teks pendukung “Kalkulus jilid 2, edisi 8”, oleh Dale Varberg, Edwin J. Purcell, Steven E. Rigdon, Penerbit Erlangga, Ciracas, Jakarta, 2003. (6) Penilaian: Sepanjang masa perkuliahan akan diadakan empat kali kuis. Ratarata tiga nilai terbaik kuis akan diproyeksikan sebagai nilai kuis (yang memberikan kontribusi sebesar 20% nilai akhir). Prosentasi nilai akhir yang lainnya berasal dari nilai UTS (Ujian Tengah Semester) yang memberikan kontribusi 30% dari nilai akhir. Sedangkan nilai UAS (Ujian Akhir Semester) memberikan kontribusi 35% dari nilai akhir. Kontribusi untuk nilai akhir (sebesar 15%) yang lain berasal dari tugas tak-terstruktur dari pembina kuliah. Cakupan materi Ujian (tidak termasuk ujian susulan) akan didiskusikan lebih detil dalam perkuliahan pertama.

GEOMETRI ANALITIK

3

2. Bahan Kuliah (1) Pertemuan pertama: Sistem Koordinat Datar, Konsep Jarak, Tugas. (2) Kedua: Garis Lurus. (3) Ketiga: Koordinat Miring, Vektor di Bidang Datar. (4) Keempat: Kuis. (5) Kelima: Lingkaran dan Garis Singgung. (6) Keenam: Parabola, Ellips dan sifat-sifatnya, Tugas. (7) Ketujuh: Kuis. (8) Kedelapan dan kesembilan: Ujian Tengah Semester. (9) Kesepuluh: Sistem Koordinat Ruang, Pengantar Vektor. (10) Kesebelas: Vektor, Garis dan Bidang Datar di Ruang, Tugas. (11) Keduabelas: Kuis. (12) Ketigabelas: Bidang Datar dan Sifat-sifatnya, Hubungan Garis dan Bidang. (13) Keempatbelas: Bola, Tugas. (14) Kelimabelas: Kuis. (15) Keenambelas: Persamaan Kurva derajat dua. 3. Sistem Koordinat Kartesius dan Garis Lurus (1) Hitunglah jarak antara dua titik di bidang koordinat. Catatan: Misalkan kedua titik tersebut tersebut terletak di kuadran I. Dengan menggunakan teorema Pythagoras dapat ditemukan rumus jarak yang diinginkan. Secara umum dapat ditinjau dalam hal kedua titik terletak di dua kuadran yang berbeda. (2) Misalkan P0 suatu titik yang terletak pada ruas garis P1 P2 sedemikian sehingga |P1 P0 | : |P2 P0 | = m : n. Tentukan koordinat P0 . Jika koordinat P0 dan P1

diketahui, dapatkah koordinat P2 ditentukan? Catatan: Soal dapat disederhanakan dalam hal P1 dan P2 terletak di kuadran yang sama. (3) Carilah titik P yang berjarak sama terhadap titik-titik µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ a a a a am1 , , am2 , , am3 , , dan , am1 m2 m3 . m1 m2 m3 m 1 m2 m 3 (4) Jika dalam △ABC, D merupakan titik tengah BC, buktikan bahwa |AB|2 + |AC|2 = 2(|AD|2 + |DC|2 ).

4

ERIDANI

Catatan: Sebagai langkah awal, soal dapat diselesaikan dalam hal △ABC segitiga siku-siku di A. Selanjutnya dapat ditinjau untuk sebarang segitiga. (5) (Pusat massa suatu segitiga). Misalkan D, E, dan F berturut-turut menyatakan titik tengah ruasgaris BC, CA, dan AB dalam △ABC. Jika titik X bersifat |AX| : |XD| = 2 : 1, buktikan bahwa

|BX| : |XE| = |CX| : |XF | = 2 : 1. (6) Misalkan ℓ menyatakan garis yang melalui (1, 0) dan (0, 1). Jika (x, y) terletak di ℓ, buktikan bahwa 1 = x + y. Catatan: Setelah mensketsa garis yang dimaksud, dapat ditinjau tiga macam kemungkinan, yaitu (x, y) berada di kuadran I, II atau IV. (7) Tunjukkan bahwa A = {(x, 1 − x) : x ∈ R} menyatakan kumpulan titik yang terletak pada garis yang melalui (1, 0) dan (0, 1).

Catatan: Salah satu sifat dari garis (lurus) adalah AB ⊂ A, jika A, B ∈ A. (8) Tunjukkan bahwa, untuk a, b > 0, x y + = 1, a b menyatakan persamaan garis yang melalui (a, 0) dan (0, b). (9) Misalkan c > 0. Tentukan persamaan garis yang melalui (0, c) dan membentuk sudut lancip α dengan sumbu-x positif. (10) Buktikan bahwa y = m x + c menyatakan persamaan garis yang melalui (0, c) dan membentuk sudut α := arctan m dengan sumbu-x positif. (11) Buktikan bahwa luas segitiga dengan titik-titik sudut (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), dan (x3 , y3 ) adalah  x1 y 1 1 1 det  x2 y2 1  2 x3 y 3 1 

Catatan: Notasi “det(A)” menyatakan nilai determinan sebarang matriks bujursangkar A. (12) Buktikan bahwa Ax + By + C = 0 selalu menyatakan persamaan garis di bidang, jika A, dan B tidak bersama-sama bernilai nol. (13) Misalkan y = m1 x + c1 dan y = m2 x + c2 menyatakan dua garis yang berpotongan dan membentuk sudut α. Buktikan bahwa m1 − m 2 . tan α = 1 + m1 m2

GEOMETRI ANALITIK

5

(14) Tentukan syarat agar A1 x + B1 y + C1 = 0 dan A2 x + B2 y + C2 = 0 keduanya berimpit, sejajar atau saling tegak lurus. (15) Misalkan dalam △ABC titik-titik D, E, dan F berturut-turut terletak di

AB, BC, dan CA. Jika AB⊥ CD, BC⊥ AE, dan AC⊥ BF , buktikan bahwa CD, AE, dan BF berpotongan di satu titik.

(16) Buktikan bahwa persamaan garis yang melalui (a cos3 θ, a sin3 θ) dan tegak lurus garis x sec θ + y csc θ = a adalah x cos θ − y sin θ = a cos 2θ.

(17) Misalkan garis ℓ berpotongan tegak lurus dengan y = mx di (x0 , y0 ). Jika y = mx membentuk sudut α dengan sumbu-x positif, buktikan bahwa ℓ mempunyai p persamaan x cos α + y sin α = x20 + y02 .

(18) Misalkan ℓ adalah garis yang melalui (x0 , y0 ) dan membentuk sudut α dengan garis y = mx + c. Buktikan bahwa ℓ mempunyai persamaan m + tan α m − tan α y − y0 = (x − x0 ), atau y − y0 = (x − x0 ). 1 − m tan α 1 + m tan α (19) Misalkan garis ℓ, yang melalui P1 (x1 , y1 ) dan P2 (x2 , y2 ), memotong Ax + By + C = 0 di P0 . Jika P0 terletak diantara P1 dan P2 , buktikan bahwa (Ax1 + By1 + C)(Ax2 + By2 + C) < 0. (20) Misalkan (x0 , y0 ) tidak terletak pada garis Ax + By + C = 0. Buktikan bahwa jarak titik tersebut terhadap garis adalah |Ax0 + By0 + C| √ . A2 + B 2 Apa yang terjadi jika (x0 , y0 ) terletak pada suatu garis yang sejajar dengan Ax + By + C = 0? (21) Buktikan bahwa syarat agar tiga garis a1 x + b1 y + c1 = 0, a2 x + b2 y + c2 = 0, a3 x + b3 y + c3 = 0 berpotongan di satu titik adalah   a1 b1 c1 det  a2 b2 c2  = 0. a3 b3 c3 (22) Misalkan ℓ1 , dan ℓ2 berturut-turut mempunyai persamaan a1 x + b1 y + c1 = 0 dan a2 x + b2 y + c2 = 0. Jika ℓ3 adalah garis yang mempunyai sifat ∠(ℓ1 , ℓ3 ) = ∠(ℓ2 , ℓ3 ), buktikan bahwa persamaan untuk ℓ3 adalah a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2 p p = ± . a21 + b21 a22 + b22

6

ERIDANI

Catatan: Notasi ∠(ℓ1 , ℓ2 ) menyatakan besar sudut yang dibentuk oleh garis ℓ1 dan ℓ2 . 4. Pengertian Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah, kurang, kali, dan bagi), dan pengertian urutan. Pada dasarnya, R2 := {(x, y) : x, y ∈ R} dapat didefinisikan (selain sebagai himpunan semua titik pada bidang datar) sebagai kumpulan semua vektor dengan titik awal pusat koordinat O := (0, 0), dan titik akhir (x, y).

−→ Misalkan A := (x1 , y1 ) ∈ R2 , maka A dapat juga dituliskan dalam bentuk OA, −→ → atau − a saja. Jika B := (x2 , y2 ), maka kita definisikan vektor lokasi AB dengan − → → −→ −→ AB := b − − a . Dengan demikian, AB = (x2 − x1 , y2 − y1 ). Jelas bahwa A dan B −→ adalah titik awal, dan titik akhir dari AB. → → (1) Misalkan k− a k menyatakan panjang vektor − a . Dengan menggunakan rumus 2

→ Phytagoras, buktikan bahwa k− a k2 = (x21 + y12 )1/2 , dan → → k− a k2 = 0 ⇐⇒ − a = O.

→ → Jika didefinisikan, untuk setiap k ∈ R, k − a := (kx1 , ky1 ), hitunglah kk − a k2 . − → Berikan interpretasi geometris untuk k a . Berikan definisi tentang dua vektor yang sejajar.

− → − → → → (2) Jika α := ∠(− a , b ), dan − a · b := x1 x2 + y1 y2 (yang kita definisikan sebagai − → → hasil kali titik antara − a dan b ), buktikan berturut-turut, bahwa − → − → − → → → → k− a − b k22 = k− a k22 + k b k22 − 2 k− a k2 k b k2 cos α,

dan

− → − → a · b cos α = − → − → . k b k2 k b k2 − → → − → → − → → → → → Tunjukkan pula bahwa − a ·− a = k− a k22 , dan − a ·( b +− c)=− a · b +− a ·→ c. − → − → (3) Jika α := ∠( a , b ), buktikan bahwa − → − → − → − → → → → → α = 90◦ ⇐⇒ k− a + b k22 = k− a k22 + k b k22 ⇐⇒ k− a + b k2 = k− a − b k2 . Catatan: Soal ini bercerita tentang Teorema Phytagoras yang disajikan dalam − → → bahasa vektor. Jika − a dan b memenuhi kondisi di atas, maka kita katakan − → − → → → bahwa − a tegak lurus terhadap b , yang kita notasikan dengan − a ⊥ b.

GEOMETRI ANALITIK

7

− → → (4) Untuk sebarang − a dan b , buktikan bahwa − → − → − → − → → → → → |− a · b | ≤ k− a k2 k b k2 , dan k− a + b k2 ≤ k − a k2 + k b k2 . Catatan: Ketaksamaan yang terakhir merupakan ketaksamaan segitiga yang disajikan dalam bahasa vektor. − → → → → → → (5) Misalkan − c = k b , untuk suatu k ∈ R. Jika k− a k22 = k− c k22 + k− a −− c k22 ,

carilah nilai k. Konstruksikan posisi vektor-vektor yang menggambarkan soal

tersebut.

− → → Catatan: Soal ini bercerita tentang proyeksi − a sepanjang b . Nilai k didefin− → → isikan sebagai komponen dari − a sepanjang b . − → → → (6) Misalkan {− a , b ,− c } menyatakan sekumpulan vektor-vektor taknol yang sal− → → → c = O, buktikan bahwa k1 = k2 = k3 = 0. a +k2 b +k3 − ing tegak lurus. Jika k1 − − → → → Catatan: Soal di atas menyatakan bahwa {− a , b ,− c } adalah himpunan yang bebas linier. (7) Kembangkan konsep di atas untuk vektor-vektor di ruang. 5. Vektor dan Garis pada Bidang Pertama-tama, akan kita bicarakan terlebih dahulu tentang konsep garis lurus pada − → bidang datar. Misalkan A terletak pada garis lurus ℓ. Jika vektor b sejajar dengan − → → garis ℓ, maka sebarang titik C pada ℓ dapat disajikan dalam bentuk − a + t0 b , untuk − → → → suatu t0 ∈ R. Dengan kata lain, terdapat t0 ∈ R sedemikian hingga − c =− a + t0 b . − → Di sini dikatakan bahwa b merupakan vektor arah garis ℓ. Cukup jelas bahwa − → → ℓ := {− a + t b : t ∈ R}, − → → dan X(t) := − a + t b = (x1 + t x2 , y1 + t y2 ) menyatakan posisi titik pada ℓ untuk setiap t ∈ R. Kadangkala X(t) juga disebut sebagai persamaan parametrik suatu garis

lurus.

(1) Tuliskan semua persamaan garis yang anda ketahui dalam Geometri Analitik dalam bentuk persamaan parametrik X(t). (2) Misalkan X1 (t), dan X2 (t) menyatakan dua buah garis di bidang. Tentukan syarat agar kedua garis tersebut, berturut-turut, berpotongan, sejajar, atau identik. (3) Tentukan syarat agar X1 (t) dan X2 (t) saling tegak lurus. Jika α := ∠(X1 , X2 ), hitunglah tan α.

8

ERIDANI

6. Garis pada sistem koordinat miring Misalkan bidang datar kita dilengkapi dengan sistem koordinat sedemikian sehingga kedua sumbu koordinatnya membentuk sudut lancip ω. Untuk selanjutnya, sistem koordinat yang seperti itu akan kita sebut sistem koordinat miring. (1) Tentukan jarak antara dua titik pada sistem koordinat miring. (2) Buktikan bahwa luas segitiga dengan (x3 , y3 ) adalah  x1 1  (sin ω) det x2 2 x3

titik-titik sudut (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), dan  y1 1 y2 1  y3 1

(3) Jika garis ℓ memotong sumbu-y di (0, c), c > 0, dan membentuk sudut α dengan sumbu-x, buktikan bahwa persamaan garis ℓ adalah sin α . y = mx + c, m := sin(ω − α)

(4) Jika y = m1 x + c1 dan y = m2 x + c2 berpotongan dan membentuk sudut α, buktikan bahwa (m1 − m2 ) sin ω tan α = . 1 + (m1 + m2 ) cos ω + m1 m2 (5) Tentukan syarat agar A1 x + B1 y + C1 = 0 dan A2 x + B2 y + C2 = 0 keduanya sejajar atau saling tegak lurus. 7. Pengertian Lingkaran Lingkaran didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang berjarak sama (disebut jejari lingkaran) terhadap satu titik tertentu (disebut pusat lingkaran). Misalkan diketahui suatu titik P0 (x0 , y0 ), dan r > 0. Lingkaran yang berpusat di P0 dan berjari-jari r > 0 (atau himpunan semua titik yang jaraknya terhadap P0 sebesar r) dinyatakan sebagai himpunan ª © L(P0 , r) := (x, y) ∈ R2 : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 . Posisi sebarang titik P1 terhadap L(P0 , r) mempunyai kemungkinan sebagai berikut: • P1 terletak di luar lingkaran, jika |P0 P1 | > r; • P1 terletak pada lingkaran, jika |P0 P1 | = r;

• P1 terletak di dalam lingkaran, jika |P0 P1 | < r.

(1) Tentukan pusat dan jejari lingkaran yang memenuhi persamaan x2 + y 2 + 2gx + 2f y + c = 0.

GEOMETRI ANALITIK

9

(2) Misalkan P1 dan P2 terletak pada lingkaran x2 + y 2 = 1. Tentukan |P1 P2 |.

(3) Misalkan P1 terletak pada lingkaran x2 + y 2 = 1. Tentukan (persamaan) garis yang menyinggung lingkaran tersebut di P1 . (4) Buktikan bahwa g 2 + f 2 > c adalah syarat cukup dan perlu agar x2 + y 2 + 2gx + 2f y + c = 0 menyatakan suatu persamaan lingkaran di bidang datar. (5) Jika suatu garis memotong lingkaran di P1 dan P2 , hitunglah |P1 P2 |.

(6) Misalkan lingkaran L(P0 , r) melalui titik-titik P1 , P2 , dan P3 , dengan |P1 P3 | = 2r. Jika ℓ1 , dan ℓ2 berturut-turut adalah garis lurus yang melalui P1 , P2 , dan

P2 , P3 , hitunglah ∠(ℓ1 , ℓ2 ). (7) Misalkan diberikan titik-titik P1 (x1 , y1 ) dan P2 (x2 , y2 ). Buktikan bahwa (x − x1 )(x − x2 ) + (y − y1 )(y − y2 ) = 0 menyatakan persamaan lingkaran yang berpusat di titik tengah P1 P2 . (8) Tentukan syarat agar suatu lingkaran melalui titik-titik sudut suatu segitiga (bujursangkar/persegi). (9) Buktikan bahwa lingkaran ax2 + ay 2 + 2gx + 2f y + c = 0 menyentuh sumbu-x, jika g 2 = ac. Carilah syarat agar lingkaran tersebut menyentuh sumbu-y. (10) Tentukan syarat agar suatu lingkaran memotong sumbu-sumbu koordinat di tiga (empat) titik berbeda. (11) Carilah persamaan lingkaran yang melalui (1, −2), (4, −3) dan titik pusatnya terletak di 3x + 4y = 7. (12) Misalkan garis y = mx + c menyinggung lingkaran x2 + y 2 = r2 . Buktikan bahwa c2 = r2 (1 + m2 ). (13) Misalkan P1 terletak di luar lingkaran L(P0 , r). Buktikan bahwa akan selalu ada dua garis singgung terhadap L(P0 , r) yang melalui P1 . (14) Misalkan tiga garis singgung suatu lingkaran membentuk segitiga siku-siku. Carilah persamaan lingkaran tersebut. Catatan: Tinjaulah lingkaran di kuadran I dan pilihlah garis-garis singgung yang relevan. (15) Buktikan bahwa garis x0 x + y0 y = r2 menyinggung lingkaran x2 + y 2 = r2 di (x0 , y0 ). (16) Misalkan P1 (x1 , y1 ) terletak di luar lingkaran x2 + y 2 = r2 . Jika ℓ1 dan ℓ2 garis-garis singgung terhadap lingkaran di P2 dan P3 yang berpotongan di P1 , carilah persamaan garis yang melalui P2 dan P3 .

10

ERIDANI

(17) Tentukan nilai p agar garis x cos α + y sin α = p menyinggung lingkaran x2 + y 2 − 2ax cos α − 2by sin α = a2 sin2 α. (18) Misalkan P1 , dan P2 adalah titik-titik potong garis y = mx + c terhadap lingkaran x2 + y 2 = 2ax + 2by. Misalkan ℓ1 , dan ℓ2 (keduanya melalui pusat koordinat) masing-masing adalah garis yang melalui P1 , dan P2 , tentukan syarat yang harus dipenuhi agar ℓ1 ⊥ ℓ2 . 8. Pengertian Parabola Grafik parabola telah cukup dikenal saat di Sekolah Menengah. Saat membicarakan lintasan peluru yang ditembakkan dari suatu meriam, maka para ahli mekanika langsung terasosiasi dengan grafik yang berbentuk parabola sebagai lintasan peluru tersebut. Misalkan p > 0. Parabola didefinisikan sebagai kumpulan semua titik yang jaraknya terhadap titik (p, 0) (disebut fokus parabola) sama dengan jaraknya terhadap garis x = −p (disebut direktriks parabola). Tentu saja salah satu titik yang memenuhi ketentuan tersebut adalah (0, 0) (disebut verteks parabola). Ini berarti (0, 0) juga terletak pada parabola tersebut. Kelak akan diketahui pula bahwa (0, 0) sekaligus dapat dianggap sebagai “puncak” parabola tersebut. Pencarian persamaan parabola dapat dijelaskan melalui cara berikut ini. Misalkan (x0 , y0 ) terletak pada parabola. Cukup jelas bahwa: y02 + (x0 − p)2 = (x0 + p)2 . Melalui beberapa penyederhanaan, akan kita peroleh y02 = 4p x0 . Ini berarti (x0 , y0 ) terletak pada kurva y 2 = 4p x yang merupakan persamaan parabola yang dicari. (1) Tentukan persamaan parabola yang mempunyai fokus (a, b) dan direktriks x y + = 1. a b (2) Misalkan suatu parabola mempunyai ketentuan bahwa verteks dan fokusnya terletak pada sumbu-x dan masing-masing berjarak a1 dan a2 terhadap pusat koordinat. Buktikan bahwa persamaan parabolanya adalah y 2 = 4(a2 − a1 )(x − a1 ). (3) Misalkan OP menyatakan busur pada parabola y 2 = 4p x. Jika P bergerak disepanjang parabola, buktikan bahwa tempat kedudukan titik tengah busur juga merupakan parabola.

GEOMETRI ANALITIK

11

(4) Misalkan A dan B terletak ...