GRUP PERMUTASI DAN SIFAT-SIFATNYA PDF

Preview

Summary

Pertemuan 3 GRUP PERMUTASI DAN SIFAT-SIFATNYA A. Pendahuluan Pertemuan ketiga ini akan dibahas grup permutasi, yaitu grup dari fungsi-fungsi bijektif pada himpunan berhingga. Target pertemuan ketiga adalah: a. dapat membentuk grup permutasi b. menjelaskan sifat-sifat grup permutasi c. menentukan ord...

Description

Pertemuan 3

GRUP PERMUTASI DAN SIFAT-SIFATNYA A. Pendahuluan Pertemuan ketiga ini akan dibahas grup permutasi, yaitu grup dari fungsi-fungsi bijektif pada himpunan berhingga. Target pertemuan ketiga adalah: a. dapat membentuk grup permutasi b. menjelaskan sifat-sifat grup permutasi c. menentukan order elemen dalan grup permutasi d. menentukan dan membuktikan sifat-sifat order suatu elemen

B. Grup Permutasi Jika diberikan himpunan berhingga A3 = {1, 2, 3}, cobalah dibuat fungsi bijektif yang mungkin !

(1)

(123)

(12)

1•

•1

1•

•1

1•

•1

2•

•2

2•

•2

2•

•2

3•

•3

3•

•3

3•

•3

Lengkapilah fungsi bijektif lainnya. Berapa banyak fungsi bijektif dari A3 ke A3? Definisi : permutasi Fungsi bijektif dari himpunan n symbol ke himpunan itu sendiri disebut permutasi.

Pengantar Struktur Aljabar

7

Pertemuan 3

Jika An = {1, 2, 3, …, n } maka suatu fungsi berikut : 1 → f(1) = j1 2 → f(2) = j2 3 → f(3) = j3 M M n → f(n) = jn merupakan permutasi jika f bijektif dan ji ∈ An untuk i = 1, 2, 3, …, n Permutasi tersebut disajikan dengan notasi dua baris berikut ini :

1   j1

2

3

L

j2

j3 L

n  jn 

Jika kita himpun fungsi-fungsi bijektif dari A3 ke A3, didapatlah himpunan permutasi, S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}. Kalian masih ingat operasi komposisi fungsi? Catatan : operasi komposisi (23)°(132) misalnya, ditulis dengan (132).(23) = (12) (1)

(12)

(1)

(1)

(12)

(12)

(12)

(1)

(13)

(13)

(132)

(23)

(23)

(13) (13)

(23) (23)

(123) (132) Cobalah lengkapi table (123) (132) Cayley di samping,

selanjutnya tentukan (123)

elemen identitasnya, dan

(132)

tentukan pula invers

(123) (123) (132) (132)

(123)

semua elemen dalam S3.

Ingat : komposisi fungsi mempunyai sifat asosiatif Jadi, S3 terhadap komposisi fungsi merupakan grup, yang selanjutnya disebut grup permutasi.

Pengantar Struktur Aljabar

8

Pertemuan 3

Jika A1 = {1} maka banyaknya fungsi bijektif dari A1 ke A1 adalah 1 = 1! , yaitu (1) sehingga S1 = { (1) } Jika A2 = {1, 2} maka banyaknya fungsi bijektif dari A2 ke A2 adalah 2 = 2!, yaitu (1) , (12), sehinga dipunyai S2 = {(1), (12)} Jika A3 = {1, 2, 3} maka banyaknya fungsi bijektif dari A3 ke A3 adalah 6 = 3!, sehingga diperoleh S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} Jika A4 = {1, 2, 3, 4} maka berapa banyak fungsi bijektif dari A4 ke A4? Sebutkan elemen-elemen dalam S4. Secara umum, jika An = {1, 2, 3, ….., n} maka banyaknya fungsi bijektif dari An ke An adalah n!, sehingga banyaknya anggota Sn juga n!. Cobalah kerjakan beberapa latihan soal berikut : Jika f = (1436), g = (253) maka tentukan : i. f.g ; ii. g.f; iii. Fungsi bijektif h sehingga f.h = g; iv. fungsi k sehingga k.f = g; v. f.g.f-1; vi. g.f.g-1 C. Order atau Periode Suatu Elemen dalam Grup Definisi : Misalkan G suatu grup dan m suatu bilangan bulat positif maka:

m a. a = a o a o a oL o a sebanyak m faktor

−m −1 m a = ( a ) b.

−1 dengan a adalah invers dari a

c. a = e

dengan e elemen identitas

0

m Catatan : a = a + a + a + L + a = ma jika grup G dengan operasi penjumlahan Teorema Misalkan G suatu grup, m dan n sembarang bilangan-bilangan bulat, maka ∀a ∈ G berlaku : (i) a m o a n = a m + n dan (ii) (a m ) n = a mn

Pengantar Struktur Aljabar

9

Pertemuan 3

Bukti: (i) karena m dan n merupakan bilangan bulat maka terdapat lima kemungkinan : Keadaan I

: m dan n keduanya bilangan bulat positif

Keadaan II : m dan n keduanya bilangan bulat negatif Keadaan III : m bilangan bulat positif , n bilangan bulat negatif dan

m >n

Keadaan IV : m bilangan bulat positif, n bilangan bulat negatif dan m < n Keadaan V : m bilangan bulat positif, n bilangan bulat negatif dan m = n Beberapa kemungkinan di atas dibuktikan sebagai contoh, sedangkan keadaan yang lain silakan dibuktikan sebagai latihan mahasiswa, demikian juga untuk teorema poin ii. : • Keadaan II : m dan n keduanya bilangan bulat negatif, maka m = − p & n = -q untuk suatu p dan q bilangan-bilangan bulat positif. a m o a n = a − p o a −q = ( a −1 ) p o (a −1 ) q = ( a −1 o a −1 o a −1 o a −1 oK o a −1 ) o ( a −1 o a −1 o a −1 o a −1 oK o a −1 ) 1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43 1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43 sebanyak p faktor sebanyak q faktor = ( a −1 o a −1 o a −1 o a −1 oK o a −1 ) 1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43 sebanyak p+q faktor = ( a −1 ) p +q = a − p −q = a m+n

• Keadaan III : m bilangan bulat positif , n bilangan bulat negatif dan

m > n,

maka n = -q dengan q bilangan bulat positif maka m>q.

Pengantar Struktur Aljabar

10

Pertemuan 3

a m o a n = a m oa − q = a m o (a −1 ) q = ( a o a o a o a oK o a ) o (a −1 o a −1 o a −1 o a −1 oK o a −1 ) 1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43 sebanyak m faktor sebanyak q faktor = ( a o a o a o a oK o a ) o ( a o a −1 ) o (a −1 o a −1 o a −1 o a −1 oK o a −1 ) 1 4 4 4 2 4 4 43 14 2 43 1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43 e sebanyak m−1 faktor sebanyak q −1 faktor = (a o a o a o a oK o a ) o e 1 4 4 4 2 4 4 43 sebanyak m−q faktor = ( a o a o a o a oK o a ) 1 4 4 4 2 4 4 43 sebanyak m−q faktor = a m−q = a m+ n

Contoh : v

Perhatikan grup permutasi S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}, maka : (12).(12) = (13).(13) = (23).(23) = (1); [(123).(123)](123) =(132).(123) = (1), berarti bahwa : (12)2 = (13)2 = (23)2 = (1); (123)2 = (132) dan (123)3 = (1),

v

Jika diberikan α = (1364) ∈ S6, maka tentukan bilangan bulat positif terkecil n sehingga αn = (1) : 1

2

3

4

5

6

α

3

2

6

1

5

4

α2 = α.α

6

2

4

3

5

1

α3 = α2α = αα2

4

2

1

6

5

3

α4 = α3α = αα3= α2α2

1

2

3

4

5

6

Tampak bahwa α4 = (1) dan tidak ada bilangan bulat positif m < 4, hingga αm = (1). Jadi 4 adalah bilangan bulat positif terkecil, α4 = (1)

selanjutnya : coba tentukan bilangan bulat m sehingga (132)m = (1). Tentukan (123)5; (123)-5; (132)6

Pengantar Struktur Aljabar

11

Pertemuan 3

Bagaimana kalian menentukan (1235)3; [(236)(15)]4 Tentukan bilangan bulat terkecil k, sehingga [(236)(15)]k = (1) Definisi : order (periode) elemen suatu grup dan order grup 1. Diberikan G adalah grup dan a ∈ G, order atau periode dari a ditulis p(a), didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil katakan k, sedemikian sehingga ak = e, dengan e = elemen identitas dalam G. DKL.: p(a) = k ⇔ k bilangan bulat positif terkecil, sehingga ak = e. 2. Jika G grup dengan m buah elemen maka dikatakan G berorder m, dinotasikan o(G) = m. dengan kata lain order suatu grup G adalah banyaknya elemen dalam G. Catatan : jika tidak ada bilangan positif terkecil k ∋ ak = e, maka dikatakan p(a) = 0. Teorema : Jika p(a) = k maka p(a-1) = k Bukti : sebagai latihan mahasiswa Contoh : Z50 = {1, 2, 3, 4} = himpunan bilangan bulat modulo 5 selain 0, terhadap pekalian modulo 5 merupakan grup. Tentukan order setiap elemen dalam Z50 . Jawab : § Jelas p(1) = 1 § 22 = 4, 23 = 3, 24 = 1, jadi p(2) = 4 § Karena 2-1 = 3 maka p(3) = 4 § 42 = 1, maka p(4) = 2

Pengantar Struktur Aljabar

12

Pertemuan 3

Tugas Mandiri : Latihan Soal : I. Tentukan order setiap elemen dalam grup berikut : 1. Z110 = {1, 2, 3, ….., 10 } = grup dari bilangan bulat modulo 11 selain 0 2. G = {1, -1, i, -i} terhadap operasi perkalian biasa 3. S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} 4. Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = grup dari bilangan bulat modulo 6 II. Jika diketahui α = (1 3 5 2) dan β = (1 5 7 9) maka tentukan : i. αβα-1;

ii. periode α dan β;

iii. β-1;

iv. Tentukan grup yang dibentuk oleh α

Pengantar Struktur Aljabar

13...