GUIA 4 Interciclo - Rectas y planos en el espacio PDF

Preview

Summary

UNIVERSIDAD TECNOLOGICADEEL SALVADORDOCENTE:Ing. Ramiro Puente Márquez.INTEGRANTES:Nombres CarneMeléndez García, Jorge Alfredo 25-0569-Martinez Panameño, Kevin Alexander 25-2321-Rivas Alonso, Héctor Vidal 25-1001-Vásquez Alvarado, Luis Enrique 25-0094-ASIGNATURA:Matemática III.TEMA:Guías: Unidad IV ...

Description

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE EL SALVADOR

DOCENTE: Ing. Ramiro Puente Márquez.

INTEGRANTES:

Nombres

Carne

Meléndez García, Jorge Alfredo

25-0569-2018

Martinez Panameño, Kevin Alexander

25-2321-2019

Rivas Alonso, Héctor Vidal

25-1001-2014

Vásquez Alvarado, Luis Enrique

25-0094-2018

ASIGNATURA: Matemática III.

TEMA: Guías: Unidad IV (Rectas y esferas / Plano)

FECHA DE ENTREGA: 18/07/2020

GUIA DE RECTAS Y ESFERAS 1) Indicaciones: Encuentre el conjunto de ecuaciones: simétrica y paramétrica de la recta que pasa por los puntos indicados: 𝟐

𝟐

1. (𝟓, −𝟑, −𝟐), (− 𝟑 , 𝟑 , 𝟏) P = (5, −3, −2),

Q=(

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑃𝑄 = (5, −3, −2) − ( 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑃𝑄 = (

−2 2 , , 1) 3 3

−2 2 , , 1) 3 3

2 −2 − 5) , ( − (−3)) , (1 − (−2)) 3 3

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = −5.6, 3.6,3 = −𝟓. 𝟔𝒊 + 𝟑. 𝟔𝒋 + 𝟑𝒌 𝑃𝑄 Respuesta: Paramétrica 𝑥 = 5 − 5.6𝑡

𝑦 = −3 + 3.6𝑡 𝑧 = −2 + 3𝑡

Simétrica

𝑥+5 𝑦+3 𝑧+2 = = 3 5.6 3.6

2. (𝟐, 𝟒, 𝟑), (𝟔, 𝟒, 𝟑)

𝑃 = (2,4,3),

𝑄 = (6,4,3),

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑃𝑄 = (2,4,3) − (6,4,3)

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (6 − 2), (4 − 4), (3 − 3) 𝑃𝑄

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 4,0,0 = 4𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘 𝑃𝑄 Respuesta: Paramétrica 𝑥 = 2 − 4𝑡

𝑦 = 4 − 0𝑡 𝑧 = 3 − 0𝑡

Simétrica

𝑥−2 𝑦−4 𝑧−3 = = 0 4 0

3. (𝟏, 𝟎, 𝟏), (𝟏, 𝟑, −𝟐)

𝑃 = (1,0,1),

𝑄 = (1,3, −2)

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (1,0,1) − (1,3, −2) 𝑃𝑄

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (1 − 1), (3 − 0), (−2 − 1) 𝑃𝑄 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑃𝑄 = 0, 3, −3 = 0𝑖 + 3𝑗 − 3𝑘 Respuesta: Paramétrica 𝑥 = 1 + 0𝑡

𝑦 = 0 + 3𝑡 𝑧 = 1 − 3𝑡

Simétrica

𝑥−1 𝑦 𝑧−1 = = −3 0 3

4. (𝟏, 𝟏, 𝟏), (−𝟓, 𝟓, 𝟓)

𝑃 = (1,1,1),

𝑄 = (−5,5,5)

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (1,1,1) − (−5,5,5) 𝑃𝑄

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (−5 − 1), (5 − 1), (5 − 1) 𝑃𝑄 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑃𝑄 = −6, 4, 4 = −6𝑖 + 4𝑗 + 4𝑘 Respuesta: Paramétrica 𝑥 = 1 − 6𝑡

𝑦 = 1 + 4𝑡 𝑧 = 1 + 4𝑡

Simétrica

𝑥−1 𝑦−1 𝑧−1 = = 4 −6 4

5. (−𝟐, 𝟓, 𝟑), (𝟏, 𝟕, −𝟐) 𝑃 = (−2,5,3),

𝑄 = (1,7, −2)

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑃𝑄 = (−2,5,3) − (1,7, −2)

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (1 − (−2)), (7 − 5), (−2 − 3) 𝑃𝑄 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑃𝑄 = 3, 2, −5 = 3𝑖 + 2𝑗 − 5𝑘 Respuesta: Paramétrica 𝑥 = −2 + 3𝑡

𝑦 = 5 + 2𝑡 𝑧 = 3 − 5𝑡

Simétrica

𝑥+2 𝑦−5 𝑧−3 = = −5 3 2

6. (−𝟑, 𝟐, 𝟕), (𝟐, −𝟏, 𝟑)

𝑃 = (−3,2,7),

𝑄 = (2, −1,3)

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (−3,2,7) − (2, −1, 3) 𝑃𝑄

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (2 − (−3)), (−1 − 2), (2 − 7) 𝑃𝑄 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑃𝑄 = 5, −3, −5 = 5𝑖 − 3𝑗 − 5𝑘 Respuesta: Paramétrica 𝑥 = −3 + 5𝑡

𝑦 = 2 − 3𝑡 𝑧 = 7 − 5𝑡

Simétrica

𝑥+3 𝑦−2 𝑧−7 = = −5 5 −3

󰇍󰇍 = 𝟐𝒊 − 𝟓𝒋 + 𝒌 7. Inicia en el punto (-2,4,3) y tiene como vector de dirección 𝑷

Respuesta: Paramétrica 𝑥 = −2 + 2𝑡

𝑦 = 4 − 5𝑡 𝑧 = 3 + 1𝑡

Simétrica

𝑥+2 𝑦−4 𝑧−3 = = 2 −5 1

󰇍󰇍 = −𝟐𝒊 + 𝟓𝒋 + 𝟑𝒌 8. Inicia en el punto (2,-3,4) y tiene como vector de dirección 𝑷

Respuesta: Paramétrica 𝑥 = 2 − 2𝑡

𝑦 = −3 + 5𝑡 𝑧 = 4 + 3𝑡

Simétrica

𝑥−2 𝑦+4 𝑧−4 = = 3 −2 5

󰇍󰇍 = 𝒊 + 𝟐𝒋 + 𝟑𝒌 9. Pasa por (0, 0, 0) y es paralela a 𝑽

Respuesta: Paramétrica 𝑥 = 0−𝑡

𝑦 = 0 + 2𝑡 𝑧 = 0 + 3𝑡

Simétrica

𝑥 𝑦 𝑧 = = 1 2 3

󰇍󰇍 = 𝟐𝒊 + 𝟒𝒋 − 𝟐𝒌 10. Pasa por (-2,0,3) y es perpendicular a el vector 𝑽 𝑃 = (−2,0,3)

𝑟1 = 2𝑖 + 4𝑗 − 2𝑘

𝑟2 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 − 𝑐𝑘

𝑎 = 1,

𝑟1 . 𝑟2 = 2(𝑎) + 4(𝑏) − 2𝑐 = 0

𝑏=2

2(1) + 4(2) − 2𝑐 = 0 2 + 8 − 2𝑐 = 0

−2𝑐 = −2 − 8 = 𝑐 = Punto (−𝟐, 𝟎, 𝟑)

−10 =5 −2

𝒓𝟐 = 𝒊 + 𝟐𝒋 + 𝟓𝒌

Respuesta: Paramétrica 𝑥 = −2 + 𝑡 𝑦 = 0 + 2𝑡 𝑧 = 3 + 5𝑡

Simétrica

𝑥+2 𝑦−0 𝑧−3 = = 5 1 2

11. Pasa por (1,0,1) y es paralela a 𝒙 = 𝟑 + 𝟑𝒕; 𝑃 = (1,0,1)

𝑄 = (3,5, −7)

𝒚 = 𝟓 − 𝟐𝒕;

𝒛 = −𝟕 + 𝒕

𝑟1 = 3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘

𝑟2 = 3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘

Respuesta: Simétrica

Paramétrica 𝑥 = 1 + 3t

𝑦 = 0 − 2𝑡 𝑧=1+𝑡

𝑥−1 𝑦 𝑧−1 = = 1 3 −2

12. Pasa por (5,0,5) y perpendicular 𝒙 = 𝟑 + 𝟑𝒕; 𝑃 = (3,5, −7)

𝑟1 = 3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘

𝑄 = (5,0,5) 𝑎 = 1,

𝑟2 = 𝑎𝑖 − 𝑏𝑗 + 𝑐𝑘

𝑏=2

𝑟1 . 𝑟2 = 3(𝑎) − 2(𝑏) + 𝑐 = 0

3( 1) − 2( 2) + 𝑐 = 0

3−4+𝑐 = 0 𝑐 = −3 + 4 𝑐 = −3 + 4 𝑐=1

𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 (𝟓, 𝟎, 𝟓)

𝒓𝟐 = 𝒊 + 𝟐𝒋 + 𝒌

Respuesta: Paramétrica 𝑥 = 5+t

𝑦 = 0 + 2𝑡 𝑧=5+𝑡

Simétrica

𝑥−5 𝑦 𝑧−5 = = 1 1 2

𝒚 = 𝟓 − 𝟐𝒕;

𝒛 = −𝟕 + 𝒕

2) Indicaciones: Determine si las rectas se cortan y en caso afirmativo hallar el punto de intersección y el coseno del ángulo de intersección. 1. 𝒙 = 𝟒𝒕 + 𝟐; 𝒚 = 𝟑; 𝒛 = −𝟒 − 𝒕; 𝐴(2,3, −4) 𝐵(3,3,1)

𝒙 = 𝟐𝒔 + 𝟑 𝒚 = 𝟐𝒔 + 𝟑 𝒛 = 𝒔+ 𝟏 𝐴 = 4𝑖 + 0𝑗 − 𝑘

󰇍𝐵 = 2𝑖 + 2𝑗 + 𝑘

Verificar si las rectas son paralelas 2 3 −4 = = 3 3 1

(0.6 ≠ 0 ≠ −4) → 𝑷𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒔𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒐 𝒔𝒆 𝒄𝒓𝒖𝒛𝒂𝒏

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (2,3, −4) − (3,3,1) 𝐴𝐵

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (3 − 2), (3 − 3) , (1 − (−4)) 𝐴𝐵 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 1, 0, 5 = 𝑖 + 0𝑗 + 5𝑘 𝐴𝐵

Producto mixto de los tres vectores

𝐴 = 4𝑖 + 0𝑗 − 𝑘; 𝐵󰇍 = 2𝑖 + 2𝑗 + 𝑘;

󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍 = 𝑖 + 0𝑗 + 5𝑘 𝐴𝐵

4 0 −1 2 1 (4) 2 1 (0) 2 2 (−1) | −| | +| | |2 2 1 | = | 0 5 1 5 1 0 1 0 5

= (10 − 0)(4) − (10 − 1)(0) + (0 − 2)(−1)

= (10)(4) − (9)(0) + (−2)(−1) = 40 − 0 + 2

= 42 − −→ 𝑳𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒔 𝒔𝒆 𝒄𝒓𝒖𝒛𝒂𝒏

2.

𝒙

𝟑

=

𝒚−𝟐 −𝟏

= 𝒛 + 𝟏;

𝐴(0,2, −1)

𝐵(1, −2, −3)

𝒙−𝟏 𝟒

=𝒚+𝟐=

𝒛+𝟑 −𝟑

𝐴 = 3𝑖 − 𝑗 + 0𝑘

󰇍𝐵 = 4𝑖 + 0𝑗 − 3𝑘

Verificar si son paralelas 0 2 −1 = = 1 2 −3

0 ≠ 1 ≠ 0.33 −→ 𝑷𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒔𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒐 𝒔𝒆 𝒄𝒓𝒖𝒛𝒂𝒏

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (0,2, −1) − (1, −2, −3) 𝑨𝑩

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (1 − 0), (−2 − 2), (−3 − (−1)) 𝑨𝑩 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑨𝑩 = 1, −4, −2 = 𝑖 − 4𝑗 − 2𝑘

Producto mixto de los tres vectores 𝐴 = 3𝑖 − 𝑗 + 0𝑘;

𝐵󰇍 = 4𝑖 + 0𝑗 − 3𝑘;

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐴𝐵 = 𝑖 − 4𝑗 − 2𝑘

3 −1 0 0 −3 4 −3 (−1) 4 0 | (3) − | | +| |4 0 −3| = | | (0) −4 −2 1 −2 1 −4 1 −4 −2 = (0 − 12)(3) − (−8 − (−3))(−1) + (−16 − 0)(0)

= (−12)(3) − (−5)(−1) + (−16)(0) = −36 − (5) + 0

= −41 − −→ 𝑳𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒔 𝒔𝒆 𝒄𝒓𝒖𝒛𝒂𝒏

3. 𝒙 = −𝟑𝒕 + 𝟏; 𝒚 = 𝟒𝒕 + 𝟏; 𝒛 = 𝟐𝒕 + 𝟒; 𝐴(1,1,4)

𝐵(1,4,1)

𝒙 = 𝟑𝒔 + 𝟏 𝒚 = 𝟐𝒔 + 𝟒 𝒛 = −𝒔 + 𝟏 𝐴 = −3𝑖 + 4𝑗 + 2𝑘

󰇍𝐵 = 3𝑖 + 2𝑗 − 𝑘

Verificar si son paralelas 1 1 4 = = 1 4 1

1 ≠ 0.25 ≠ 4 33 −→ 𝑷𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒔𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒐 𝒔𝒆 𝒄𝒓𝒖𝒛𝒂𝒏

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (1,1,4) − (1,4,1) 𝑨𝑩

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (1 − 1), (4 − 1), (1 − 4) 𝑨𝑩 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 0, 3, −3 = 0𝑖 + 3𝑗 − 3𝑘 𝑨𝑩

Producto mixto de los tres vectores 𝐴 = −3𝑖 + 4𝑗 + 2𝑘;

𝐴𝐵 = 0𝑖 + 3𝑗 − 3𝑘 𝐵󰇍 = 3𝑖 + 2𝑗 − 𝑘; 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

−3 4 2 2 −1 (−3) 3 −1 (4) 3 2 (2) | −| | +| | | 3 2 −1| = | 3 −3 0 −3 0 3 0 3 −3

= (−6 − (−3))(−3) − (−9 − 0)(4) + (9 − 0)(2) = (−3)(−3) − (−9)(4) + (9)(2)

= 9 − (−36) + 18

= 9 − (−18)

= 27 − −→ 𝑳𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒔 𝒔𝒆 𝒄𝒓𝒖𝒛𝒂𝒏

3) Indicaciones: Hallar la forma general de la ecuación de la esfera y grafíquela. 1. Centro (0, 2, 5) y r=2

Ecuación ordinaria (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 2)2 + (𝑧 − 5)2 = 4

Ecuación general Desarrollar cuadrados

[𝑥 2 − 2(𝑥 )(0) + 0²] + [𝑦 2 − 2(𝑦)(2) + 2²] + [𝑧 2 − 2(𝑧)(5) + 5²]

[𝑥 2 ] + [𝑦 2 − 4𝑦 + 4] + [𝑧 2 − 10𝑧 + 25] = 4

𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑧 2 − 4𝑦 − 10𝑧 + 4 + 25 = 4

= 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑧 2 − 4𝑦 − 10𝑧 + 29 − 4 = 0

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 +𝒛𝟐 − 𝟒𝒚 − 𝟏𝟎𝒛 + 𝟐𝟓 = 𝟎 − −→ 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 2. Centro (4, -1, 1) y r=5

Ecuación ordinaria (𝑥 − 4) 2 + (𝑦 + 1) 2 + (𝑧 − 1) 2 = 25 Ecuación general Desarrollar cuadrados

[𝑥 2 − 2(𝑥 )(4) + 4²] + [𝑦 2 + 2(𝑦)(1) + 1²] + [𝑧 2 − 2(𝑧)(1) + 1²]

[𝑥 2 − 8𝑥 + 16] + [𝑦 2 + 2𝑦 + 1] + [𝑧 2 − 2𝑧 + 1] = 25

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧2 − 8𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 16 + 1 + 1 − 25 = 0

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧2 − 8𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 16 + 1 + 1 − 25 = 0 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 − 𝟕 = 𝟎

− −→ 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂

3. Centro (0,0,0) y r=4

Ecuación ordinaria (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 + (𝑧 − 0)2 = 16 Ecuación general Desarrollar cuadrados

[𝑥 2 − 2(𝑥 )(0) + 0²] + [𝑦 2 − 2(𝑦)(0) + 0²] + [𝑧 2 − 2(𝑧)(0) + 0²]

[𝑥 2 ] + [𝑦 2 ] + [𝑧 2 ] = 16

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎

−→ 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂

4) Indicaciones: Hallar el centro y el radio de las siguientes: 𝟏. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟖𝒛 + 𝟏 = 𝟎

𝑥 2 − 2𝑥 + 12 + 𝑦 2 + 6𝑦 + 32 𝑧 2 + 8𝑧 + 42 = −1 + 1 + 9 + 16

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 + (𝑧 + 4)2 = 25 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 (𝟏, −𝟑, −𝟒) 𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 = 𝟓

𝟐. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 + 𝟗𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟏𝟎𝒛 + 𝟏𝟗 = 𝟎 𝑥 2 + 9𝑥 + 32 + 𝑦2 − 2𝑦 + 12 + 𝑧 2 + 10𝑧 + 52

= −19 + 9 + 1 + 25

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 + (𝑧 + 5)2 = 16 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 (𝟑, −𝟏, −𝟓) 𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 = 𝟒

𝟑. 𝟗𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 + 𝟗𝒛𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟖𝒚 + 𝟏 = 𝟎 (9𝑥 2 − 6𝑥) + (9𝑦 2 + 18𝑦) + (9𝑧 2 + 1) = −1

9 (𝑥 2 −

2 2 + ) + 9(𝑦 2 + 2𝑦 + 1)+ → 𝑆𝑖𝑔𝑢𝑒 3 6

9(𝑧 2 + 𝑧 + 1) = −1 + 3 + 9 + 4.5 2

1 9 (𝑥 − ) + 9(𝑦 + 1)2 + 9(𝑧 + 0.5)2 = 20 3

9 1 2 9 9 20 (𝑥 − ) + (𝑦 + 1)2 + (𝑧 + 0.5)2 = 9 9 3 9 9

1 2 (𝑥 − ) + (𝑦 + 1)2 + (𝑧 + 0.5)2 = 2.2 3 𝟏 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 ( , −𝟏, −𝟎. 𝟓) 𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 = 𝟏. 𝟒 𝟑

𝟒. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟎𝒚 − 𝟒𝒛 + 𝟖 = 𝟎 𝑥 2 − 4𝑥 + 22 + 𝑦 2 + 10𝑦 + 52 + 𝑧 2 − 4𝑧 + 22

= −8 + 4 + 25 + 4

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 5)2 + (𝑧 + 2)2 = 25 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 (𝟐, −𝟓, −𝟐) 𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 = 𝟓

GUIA DEL PLANO 1) Indicaciones: Encuentre la ecuación del plano especificado: 1. Pasa por el punto (2,1,2) y su vector normal es 󰇍𝒏󰇍 = 𝒊 𝑃 = (2, 1, 2)

󰇍𝑛 = 𝑖

1( 𝑥 − 2) + ( 𝑦 − 1) + ( 𝑧 − 2) = 0 (𝑥 − 2) + (𝑦 − 1) + (𝑧 − 2) = 0 𝑥+𝑦+𝑧−2−1−2 = 0

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 − 𝟓 = 𝟎 −→ 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍







2. Pasa por el punto (3,2,2) y su vector normal es n = 2 i + 3 j − k 𝑃 = (3, 2, 2)

󰇍𝑛 = 2𝑖 + 3𝑗 − 𝑘

2( 𝑥 − 3) + 3 ( 𝑦 − 2) − 1( 𝑧 − 2) = 0 2𝑥 − 6 + 3𝑦 − 6 − 𝑧 + 2 = 0

2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 6 − 6 + 2 = 0 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 12 + 2 = 0

𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝒛 − 𝟏𝟎 = 𝟎 −→ 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍

3. Pasa por los puntos (1,2,-3), (2,3,1) ^ (0,-2,-1). 𝐴 = (1,2, −3)

𝐵 = (2,3,1)

𝐶 = (0, −2, −1)

Encontrando vectores

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (1,2, −3) − (2,3,1) 𝐴𝐵

󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍 = (2 − 1), (3 − 2), (1 − (−3)) 𝐴𝐵

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 1,1,4 = 𝒊 + 𝒋 + 𝟒𝒌 𝐴𝐵

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐴𝐶 = (1,2, −3) − (0, −2, −1)

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (0 − 1), (−2 − 2), (−1 − (−3)) 𝐴𝐶 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = −1, −4,2 = −𝒊 − 𝟒𝒋 + 𝟐𝒌 𝐴𝐶 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝒊 + 𝒋 + 𝟒𝒌 𝑨𝑩 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍 𝑨𝑩 𝑥 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑨𝑪 = 𝒏

𝑖 𝑗 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑥 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑨𝑪 = | 1 𝑨𝑩 1 −1 −4

󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍 = −𝒊 − 𝟒𝒋 + 𝟐𝒌 𝑨𝑪

𝑘 1 4 1 4 1 1 |𝒌 |𝒊 − | |𝒋 + | 4| = | −1 −4 −4 2 −1 2 2

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑨𝑪 = (2 − (−16)) − (2 − (−4)) + (−4 − (−1)) 𝑨𝑩 𝑥 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑨𝑪 = (18) − (6) + (−3) 𝑨𝑩 𝑥 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑨𝑩 𝑥 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑨𝑪 = 𝟏𝟖 − 𝟔 − 𝟑 = 𝟏𝟖𝒊 − 𝟔𝒋 − 𝟑𝒌 Encontrando ecuación general: 𝐴 = (1,2, −3)

󰇍𝑛 = 18𝑖 − 6𝑗 − 3𝑘

18(𝑥 − 1) − 6(𝑦 − 2) − 3(𝑧 + 3) = 0 18𝑥 − 18 − 6𝑦 + 12 − 3𝑧 − 9 = 0 18𝑥 − 6𝑦 − 3𝑧 − 18 + 12 − 9 = 0

𝟏𝟖𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟑𝒛 − 𝟏𝟓 = 𝟎 − −→ 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍

4. Pasa por los puntos (2,2,1) ^ (-1,1,-1) y es perpendicular al plano 2x-3y+z=3. 𝐴 = (2,2,1)

𝐵 = (−1,1, −1)

Encontrando vector

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (2,2,1) − (−1,1, −1) 𝐴𝐵

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (−1 − 2), (1 − 2), (−1 − 1) 𝐴𝐵 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = −3, −1, −2 𝐴𝐵

= −𝟑𝒊 − 𝒋 − 𝟐𝒌

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = −3𝑖 − 𝑗 − 2𝑘 𝐴𝐵

𝐶 = 2𝑖 − 3𝑗 + 1𝑘

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍 = 󰇍𝒖 󰇍 𝑨𝑩𝒙 𝑪

𝑖 𝑗 𝑘 −1 −2 −3 −1 −3 −2 󰇍󰇍 󰇍 󰇍󰇍 |𝑗 + | 𝐴𝐵 𝑥 𝐶 = | −3 −1 −2 | = | |𝑖 −| |𝑘 2 1 −3 1 2 −3 2 −3 1 󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍 𝑥 𝐶 = (−1 − (6)), (−3 − (−4)), (9 − (−2)) 𝐴𝐵 󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍 𝑥 𝐶 = (−1 − 6), (−3 + 4), (9 + 2) 𝐴𝐵 󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍 𝑥 𝐶 = −7, 1, 12 = 𝟕𝒊 + 𝟏𝒋 − 𝟏𝟐𝒌 𝐴𝐵 Encontrando la ecuación general 𝐵 = (−1,1, −1)

󰇍𝑛 = 7𝑖 + 𝑗 − 12𝑘

7(𝑥 + 1) + 1 (𝑦 − 1) − 12(𝑧 + 1) = 0

7𝑥 + 7 + 𝑦 − 1 − 12𝑧 − 12 = 0

7𝑥 + 𝑦 − 12𝑧 + 7 − 1 − 12 = 0 4𝑥 + 12𝑦 − 𝑧 + 6 − 12 = 0

𝟒𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝒛 − 𝟔 = 𝟎 −→ 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍

2) Indicaciones: Encuentre la recta intersección y Angulo de los planos dados: 𝟏. 𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟒 ; 𝟓𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟒 {

𝑥 − 3𝑦 + 6𝑧 = 4 5𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4

(1) (3)

𝑥 − 3𝑦 + 6𝑧 = 4 15𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 = 12 16𝑥 + 3𝑧 = 16

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 1

5𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4

16𝑥 + 3𝑧 − 16 = 0

5𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 4 = 0

16 + 3𝑧 − 16 = 0

5+𝑦+3−4 = 0

16(1) + 3𝑧 − 16 = 0 3𝑧 = 0

5(1) + 𝑦 − (−3) − 4 = 0

𝑧 = −3

4+𝑦=0

𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐(𝟏, −𝟑, −𝟒) a) x − 3y + 6z = 4 b) 5𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4 𝑖 𝑗 𝑘 −3 |1 −3 6 | = | 1 5 1 −1

𝑛1 = (1, −3,6) 𝑛2 = (5,1, −1)

6 | 𝑖 − |1 6 1 −3 |𝑗 + | |𝑘 −1 5 −1 5 1

= [−3(−1) − 1(6)]𝑖 − [1(−1) − 5(6)]𝑗 + [1(1) − 5(−3)]𝑘

= 3 − 6𝑖 − [−1 − 30]𝑗 + [1 + 15]𝑘

= −3𝑖 + 31𝑗 + 16𝑘 𝑷𝒂𝒓𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂:

𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑣 = −3𝑖 + 31𝑗 + 16𝑘 𝑥 = 1 − 3𝑡

𝑦 = −3 + 31𝑡

𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜(1, −3, −4)

𝑧 = −4 + 16𝑡

𝑦 = −4

𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂: 𝑥−1

𝑦+3 𝑧+4 = 16 −3 31 𝑨𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑷𝒍𝒂𝒏𝒐𝒔: =

𝜃1 = 𝑥 − 3𝑦 + 6𝑧 = 4

𝑛1 = 1𝑖 − 3𝑗 + 6𝑘

𝜃2 = 5𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4

𝑛2 = 5𝑖 + 1𝑗 − 1𝑘

|𝑛1 | = √1 + 9 + 36 = √46

|𝑛2 | = √25 + 1 + 1 = √27

𝑛1 ∗ 𝑛2 = 5 − 3 − 6 𝑛1 ∗ 𝑛2 = −4 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos | 𝜃 = 96.5°

−4

√46√27

|

𝟐. 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟕 ; 𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎

{

3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 7 𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 0

−3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −7 3𝑥 − 12𝑦 + 6𝑧 = 0 −14𝑦 + 7𝑧 = −7 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 1

(−1) (3)

3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 7

−14𝑦 + 7𝑧 + 7 = 0

3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 7 = 0

−14 + 7𝑧 + 7 = 0

3𝑥 + 2 − 8 = 0

−14(1) + 7𝑧 + 7 = 0

−7 + 7𝑧 = 0 7𝑧 = 7 𝑧=

7

7

=1

3𝑥 + 2(1) − 1 − 7 = 0

3𝑥 − 6 = 0 3𝑥 = 6 𝑥=

𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐(𝟐, 𝟏, 𝟏)

𝟑𝐱 + 𝟐𝐲 − 𝐳 = 𝟕

𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎

𝒏𝟏 = (𝟑, 𝟐, −𝟏)

𝒏𝟐 = (𝟏, −𝟒, 𝟐)

6

3

=2

𝟐. 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟕 ; 𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟐𝒛 =𝟎

{

3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 7 𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 0

(−1) (3)

−3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −7 3𝑥 − 12𝑦 + 6𝑧 = 0 −14𝑦 + 7𝑧 = −7

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 1

3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 7

−14𝑦 + 7𝑧 + 7 = 0

3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 7 = 0

−14 + 7𝑧 + 7 = 0

3𝑥 + 2 − 8 = 0

−14(1) + 7𝑧 + 7 = 0

−7 + 7𝑧 = 0

3𝑥 − 6 = 0

7𝑧 = 7 𝑧=

7

7

3𝑥 = 6 6

𝑥 =3 = 2

=1

𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐(𝟐, 𝟏, 𝟏) a) 𝟑𝐱 + 𝟐𝐲 − 𝐳 = 𝟕 b) 𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎

𝑖 |3 1

3𝑥 + 2(1) − 1 − 7 = 0

𝒏𝟏 = (𝟑, 𝟐, −𝟏) 𝒏𝟐 = (𝟏, −𝟒, 𝟐)

𝑗 𝑘 3 −1 3 2 2 −1 |𝑖 −| |𝑗 + | |𝑘 2 −1 | = | −4 2 1 2 1 −4 −4 2

= [2(2) − (−4)(−1)]𝑖 − [3(2) − 1(−1)]𝑗 + [3(−4) − 1(2)]𝑘 = 4 − 4𝑖 − [6 + 1]𝑗 + [−12 − 2]𝑘 = 𝑖 − 7𝑗 − 14𝑘 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎:

𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑣 = 𝑖 − 7𝑗 − 14𝑘 𝑥 = 2+𝑡

𝑦 = 1 − 7𝑡

𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜(2,1,1)

𝑧 = 1 − 14𝑡

𝑆𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎: 𝑥−2

𝑦−1 𝑧−1 = −14 1 −7 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠: =

𝜃1 = 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 7

𝜃2 = 𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 0

|𝑛1 | = √9 + 4 + 1 = √14

|𝑛2 | = √1 + 16 + 4 = √21

𝑛1 ∗ 𝑛2 = 3 − 8 − 2 𝑛1 ∗ 𝑛2 = −7 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos |

−7

√14√21

𝜽 = 𝟏𝟏𝟒. 𝟎𝟗°

|

𝑛1 = 3𝑖 + 2𝑗 − 1𝑘

𝑛2 = 1𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘

3) Determinar si los planos dados son paralelos, ortogonales o ninguna de las dos: 𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝒛 = 𝟒 ; 𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟕𝒛 = 𝟏 5𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 4 = 0 𝑚=−

5 = 1.6666 −3

No es paralelo

;

𝑥 + 4𝑦 + 7𝑧 − 1 = 0 1 𝑚 = − = −0.25 4

(1.66666)(−0.25) = −0.416665 Son ortogonales porque da 0 𝑿 − 𝟑𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟒 ; 𝟓𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟒 𝑚=−

1 = 0.3 −3

;

5 𝑚=− =5 1

No es paralela

(0.3)(5) = 1.5 No es ortogonal y no es paralelo. (Ninguna)

𝑿 − 𝟓𝒚 − 𝒛 = 𝟏 ; 𝟓𝒙 − 𝟐𝟓𝒚 − 𝟓𝒛 = 𝟒 𝑚= −

1 = 0.2 −5

;

𝑚=−

5 = 0.2 −25

Si es paralelo y por ende no es ortogonal

4) Determinar la distancia entre… 1. 𝑬𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑸(𝟐, 𝟖, 𝟒) 𝒚 𝒆𝒍 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎 d(P, 𝜋) =

d(P, 𝜋) =

|𝑎𝑥𝑜 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐𝑧𝑜 + 𝑑| √𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2

|1(2) + (−4)(8) + 2(4)|

√(−2)2 + (−8)2 + (−4)2

=

−22 9.16

𝑳𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑸(𝟐, 𝟖, 𝟒) 𝒚 𝒆𝒍 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎; 𝒆𝒔 = −𝟐. 𝟒𝒖

2. 𝑬𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐𝒔:

𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏𝟎 ∧ 𝒙 − 𝟑𝒛 + 𝟒𝒚 = 𝟔

𝑫𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒂𝒓𝒃𝒊𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐𝒔 𝒂 "x" x" 𝒚 "y" y" 𝑥=1 𝑦=1

1 − 3(1) + 4𝑧 = 10

4𝑧 = 10 − 1 + 3

4𝑧 = 12

𝑧=3

𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒔 (𝟏, 𝟏, 𝟑) 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,1,3) 𝑎𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥 − 3𝑧 + 4𝑦 = 6 𝑑(𝑃, ∅) =

|1(1) + (−3)(1) + 4(3)| 10 = 5 √1 + 9 + 16

𝑳𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏𝟎 ∧ 𝒙 − 𝟑𝒛 + 𝟒𝒚 = 𝟔; 𝒆𝒔 = 𝟐𝒖

𝟑. 𝑬𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐𝒔:

−𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟕𝒛 = 𝟏 ∧ 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟏𝟒𝒛 − 𝟐𝟓 = 𝟎

𝑫𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒂𝒓𝒃𝒊𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐𝒔 𝒂 "x" 𝒚 "y" 𝑥=1 𝑦=2

−3(1) + 6(2) + 7𝑧 = 1

7𝑧 = 1 + 3 − 12

7𝑧 = −8

𝑧 = −1.14

𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒔 (𝟏, 𝟐, −𝟏. 𝟏𝟒) 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,2, −0.87) 𝑎𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 6𝑥 − 12𝑦 + 14𝑧 − 25 =0

𝑑(𝑃, ∅) =

|6(1) + (−12)(2) + 14(−1.14) − 25| −58.96 = 19.4 √36 + 144 + 196

𝑳𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒆𝒍 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 − 𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟕𝒛 = 𝟏 ∧ 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟏𝟒𝒛 − 𝟐

= 𝟎; 𝒆𝒔 = −𝟑𝒖

𝟒. 𝑬𝒍 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟐 𝒚 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑽(𝟎, 𝟎, 𝟎) d(P, 𝜋) = d(P, 𝜋) =

|𝑎𝑥𝑜 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐𝑧𝑜 + 𝑑| √𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2

|2(0) + (3)(0) + 1(0) − 12| √(0)2 + (0)2 + (0)2

=

−12 0

𝑳𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒆𝒍 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟐 𝒚 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑽(𝟎, 𝟎, 𝟎); = −𝟏𝟐𝒖

𝒆𝒔...