Rectas y planos - Apuntes 6 PDF

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𝐿Geometría del plano y el espacio.Ecuación de la recta en el planoConsideremos el plano ℝ2, y ubicamos en él un sistema de coordenadascartesianas ortogonal.Consideremos además 𝑣⃗ = (𝑣⃗ 𝑥; 𝑣⃗𝑦) ∈ ℝ2, 𝑣⃗ ≠0y 𝑃 0= (𝑥0; 𝑦0) un puntocualquiera del plano, entonces la recta 𝐿 que pasa por 𝑃 0y es paralela ...

Description

Geometría del plano y el espacio. Ecuación de la recta en el plano Consideremos el plano ℝ2 , y ubicamos en él un sistema de coordenadas cartesianas ortogonal. Consideremos además  = (𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2,  ≠ 0 y 𝑃0 = (𝑥0; 𝑦0) un punto cualquiera del plano, entonces la recta 𝐿 que pasa por 𝑃0 y es paralela a la recta que pasa por el origen de coordenadas y contiene a , puede hallarse a partir de considerar los puntos que pertenecen a ella, puesto que: 𝑃 = (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐿 ⇔ 𝑃 𝑃0 ∥  ⇔ 𝑃0𝑃 = 𝜆.  ⇔ (𝑥 − 𝑥 0; 𝑦 − 𝑦0) = (𝜆. 𝑥 ; 𝜆. 𝑦 )

∴{

𝑥 = 𝑥0 + 𝜆. 𝑥 𝑦 = 𝑦0 + 𝜆. 𝑦

𝜆∈ℝ

Esta última expresión se denomina la forma o ecuación paramétrica de 𝐿, y al vector  vector director de 𝐿. ( = 𝑑𝐿 ) 𝑥 = 𝑥0 + 𝜆. 𝑥 { ⇒ (𝑥; 𝑦) = 𝑥( ; 𝑦 ) + 𝜆. ( ;  ) 0 0 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑦0 + 𝜆. 𝑦 Esta expresión se denomina la ecuación vectorial de 𝐿.

1

𝑥≠0 𝑦≠0

𝑥 = 𝑥0 + 𝜆. 𝑥 {𝑦 = 𝑦0 + 𝜆. 𝑦

⇒==⇒ {

𝜆= 𝜆=

𝑥 − 𝑥0 𝑥 𝑦 − 𝑦0 ⇒ 𝑦

𝑥 − 𝑥 0 𝑦 − 𝑦0 = 𝑥 𝑦 Esta expresión se denomina la ecuación simétrica de 𝐿. 𝑥 − 𝑥0

𝑦 − 𝑦0

⇒  . (𝑥 − 𝑥 ) =  . (𝑦 − 𝑦 ) ⇒ 𝑦 0 𝑥 0 𝑦 𝑥 𝑦. (𝑥 − 𝑥0) − 𝑥. (𝑦 − 𝑦0) = 0 ⇒ 𝑦. 𝑥 − 𝑥. 𝑦 − 𝑦𝑥0 + 𝑥𝑦0 = 0 =

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 = 𝑦; 𝑏 = −𝑥; 𝑐 = −𝑦𝑥0 + 𝑥𝑦0 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 Esta última expresión se denomina la ecuación implícita de 𝐿. Observaciones:  La forma paramétrica de una recta no es única.  Si 𝐿: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 , 𝑎 ≠ 0 ∨ 𝑏 ≠ 0 , entonces el vector 𝑛= (𝑎; 𝑏) es ortogonal a todo vector  ⊂ 𝐿. Ejemplo: Hallar la recta 𝐿 que pase por los puntos 𝑃0 = (3; 1) y 𝑃1 = (6; 9) 𝑑 = 𝑃 𝑃 = (6; 9) − (3; 1) = (3; 8) 𝐿

0 1

∴ 𝐿: {

𝑥 = 3 + 𝜆. 3 𝑦 = 1 + 𝜆. 8 𝜆 ∈ ℝ

𝐿: (𝑥; 𝑦) = (3; 1) + 𝜆. (3; 8) 𝜆 ∈ ℝ 𝐿:

𝑥−3 𝑦−1 = 8 3

𝐿: 8𝑥 + 3𝑦 + 21 = 0 Distancia de punto a recta en el plano Sea 𝐿: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 una recta del plano, 𝑃0 = (𝑥0; 𝑦0); 𝑃1 = (𝑥1; 𝑦1) puntos del plano tal que 𝑃1 = (𝑥1; 𝑦1) ∈ 𝐿, y 𝑛𝐿 = (𝑎; 𝑏) un vector normal a la recta 𝐿. Si se desea hallar la distancia desde 𝑃0 a 𝐿, 𝒅(𝑷𝟎; 𝑳), tenemos que va a ser igual al módulo de la proyección ortogonal de 𝑃0𝑃1 sobre 𝑛 𝐿:

2

𝑑(𝑃0; 𝐿) =

=

𝑑(𝑃0 ; 𝐿) =

|(𝑥1 − 𝑥0; 𝑦1 − 𝑦0). (𝑎; 𝑏)| |𝑃0𝑃1. 𝑛𝐿| = = ‖ 𝑛𝐿‖ √𝑎 2 + 𝑏2 |𝑎𝑥1 − 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦1 − 𝑏𝑦0| √𝑎 2 + 𝑏2

=

|−𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 + 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1| √𝑎2 + 𝑏2

=

|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐| √𝑎 2 + 𝑏2

Ángulo entre rectas Sean 𝐿; 𝐿′ rectas del plano, se define como el ángulo entre dos rectas al ángulo no obtuso determinado por los directores de las mismas. Si consideramos 𝑑 ; 𝑑 los vectores directores de 𝐿; 𝐿′ respectivamente, el 𝐿

𝐿′

producto escalar de ellos nos permite hallar el ángulo buscado:

𝑑 . 𝑑 = ‖ 𝑑 ‖. ‖ 𝑑 𝘍 ‖. cos 𝛼 ⇒ cos 𝛼 = 𝐿

𝐿′

𝐿

𝐿

|𝑛 . 𝑛 | 𝐿 𝐿′ = ‖𝑑 ‖. ‖ 𝑑 𝘍‖ ‖ 𝑛𝐿‖. ‖ 𝑛 𝐿𝘍‖ |𝑑 . 𝑑 | 𝐿

𝐿

𝐿′

𝐿

Ejemplo: Hallar el coseno del ángulo determinado por las rectas 3𝑥 + 4𝑦 − 32 = 0 𝑦 − 8𝑥 − 6𝑦 + 5 = 0

3

cos 𝛼 =

|(3; 4). (−8; −6)| ‖(3; 4)‖. ‖ (−8; −6)‖

=

|−48| 5.10

=

48 50

=

24 25

Ecuación de la recta en el espacio Consideremos  = (𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ ℝ3,  ≠ 0 y 𝑃0 = (𝑥0; 𝑦0; 𝑧0) un punto del espacio, entonces la recta 𝐿 que pasa por 𝑃0 y es paralela a  puede hallarse en forma similar a lo desarrollado para el plano:

Ecuación paramétrica de la recta:

𝑥 = 𝑥0 + 𝜆. 𝑥 {𝑦 = 𝑦0 + 𝜆. 𝑦 𝑧 = 𝑧0 + 𝜆. 𝑧

𝜆∈ℝ

(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥0; 𝑦0; 𝑧0) + 𝜆. (𝑥; 𝑦; 𝑧)

Ecuación vectorial de la recta:

Ecuaciones simétricas de la recta: (𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠ 0, 𝑧 ≠ 0) 𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0 = = 𝑥 𝑦 𝑧 Ejemplo: Dado el vector  = (−3; 2; −1) y 𝑃0 = (5; 3; −2), la recta 𝐿 que pasa por 𝑃0 y con vector director  es: 𝑥 = 5 − 3𝜆 {𝑦 = 3 + 2𝜆 𝜆 ∈ ℝ ; 𝑧 = −2 − 𝜆 (𝑥; 𝑦; 𝑧) = (5; 3; −2) + 𝜆. (−3; 2; −1); 𝑥−5 −3

=

𝑦−3 𝑧+2 = −1 2

Ecuación del plano en ℝ𝟑 Consideremos un vector 𝑛 = (𝑛 𝑥; 𝑛𝑦 ; 𝑛𝑧) ∈ ℝ3 , 𝑛 ≠ 0 y 𝑃 0 = (𝑥0 ; 𝑦0; 𝑧0 ) un punto del espacio, entonces la ecuación del plano 𝜋 perpendicular a 𝑛 y que pasa por 𝑃0 puede determinarse a partir del producto escalar de vectores. Sea 𝑃 = (𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝜋, entonces 𝑃0 𝑃 es ortogonal a 𝑛.

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𝑛. 𝑃0𝑃 = 0 ⇒ 𝑛 𝑥. (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑛𝑦 . (𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑛𝑧 . (𝑧 − 𝑧0) = 0 ⇒ 𝑛𝑥. 𝑥 + 𝑛𝑦. 𝑦 + 𝑛𝑧. 𝑧 − 𝑛𝑥. 𝑥0 − 𝑛𝑦. 𝑦0 − 𝑛𝑧. 𝑧0 = 0 Considerando 𝑎 = 𝑛𝑥; 𝑏 = 𝑛𝑦; 𝑐 = 𝑛𝑧; 𝑑 = −(𝑛𝑥. 𝑥0 + 𝑛𝑦. 𝑦0 + 𝑛𝑧. 𝑧0) 𝑎. 𝑥 + 𝑏. 𝑦 + 𝑐. 𝑧 + 𝑑 = 0 Esta ecuación se denomina ecuación cartesiana del plano. Ejemplo:  Hallar la ecuación cartesiana del plano normal a 𝑛 = (3; −2; 4) y que pasa por el punto 𝑃0 = (5; 2; −1). El vector normal determina los valores de 𝑎; 𝑏; 𝑐 3. 𝑥 − 2. 𝑦 + 4. 𝑧 + 𝑑 = 0; Para hallar 𝑑 podemos utilizar el punto 𝑃0 3.5 − 2.2 + 4. −1 + 𝑑 = 0 ⇒ 15 − 4 − 1 + 𝑑 = 0 ⇒ 𝑑 = −10 El plano buscado es 3. 𝑥 − 2. 𝑦 + 4. 𝑧 − 10 = 0  Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por los puntos 𝐴 = (1; 0; 2); 𝐵 = (5; 1; 1); 𝐶 = (3; 5; 3)

5

Es posible hallar los vectores 𝐴𝐵 = (4; 1; −1) 𝑦 𝐴 𝐶 = (2; 5; 1) 𝐴 𝐵 × 𝐴𝐶 = (6; −6; 18) ⇒ 𝑛 = (1; −1; 3) 𝑥 − 𝑦 + 3. 𝑧 + 𝑑 = 0; 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴 𝑑 = −7 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 − 7 = 0

Sean 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 y 𝜋′: 𝑎′𝑥 + 𝑏′𝑦 + 𝑐′𝑧 + 𝑑′ = 0 dos planos tales que 𝜋 ∩ 𝜋′ ≠ ∅, entonces dicha intersección determina una recta 𝐿,

𝐿: {

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 𝑎′𝑥 + 𝑏′𝑦 + 𝑐′𝑧 + 𝑑′ = 0

Esta última expresión se denomina la ecuación de la recta como intersección de planos.

Observaciones:  Si una recta 𝐿 con vector director 𝑑 , está definida a partir de dos planos 𝜋 y 𝜋, con vectores normales 𝑛 y 𝑛 ′ respectivamente, entonces 𝑑 ⊥ 𝑛 𝖠 𝑑 ⊥ 𝑛′. Por lo 

tanto 𝑑 ∥ 𝑛 × 𝑛′. Una recta 𝐿 está contenida en infinitos planos, el conjunto de ellos se denomina haz de planos que contiene a 𝐿, y está determinado a partir de: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 𝐿: { 𝑎 ′𝑥 + 𝑏′ 𝑦 + 𝑐′𝑧 + 𝑑′ = 0 ⇒ 𝛼(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑) + 𝛽(𝑎′𝑥 + 𝑏′𝑦 + 𝑐′𝑧 + 𝑑′) = 0 (con 𝛼 y 𝛽 no simultáneamente nulos)

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Posición relativa de planos y rectas en ℝ𝟑 Definiciones:  Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos.  Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos.  Dos rectas son coplanares si se encuentran contenidas en un plano. En caso contrario son alabeadas. Observación: Si 𝐿1 y 𝐿2 son rectas en ℝ3 con vectores directores 𝑑 y 𝑑 respectivamente, y 1 2 son coplanares, entonces 𝑑 × 𝑑 . 𝑃 𝑃 = 0; 𝑃 ∈ 𝐿 , 𝑃 ∈ 𝐿 1

2

1 2

1

1

2

2

Distancia de punto a plano Sea 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 un plano, 𝑃0 = (𝑥0; 𝑦0; 𝑧0); 𝑃1 = (𝑥1; 𝑦1; 𝑧1) puntos 𝑃1 ∈ 𝜋, y 𝑛 = (𝑎; 𝑏; 𝑐) el normal al plano. Si se desea hallar la distancia desde 𝑃0 al plano, 𝒅(𝑷𝟎; 𝝅), tenemos que va a ser igual al módulo de la proyección ortogonal de 𝑃0 𝑃1 sobre 𝑛:

A partir de un desarrollo similar al realizado para la distancia desde un punto a una recta en ℝ2, se obtiene: |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑| 𝑑(𝑃0 ; 𝜋) = √𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐2 Distancia de punto a recta Sea 𝐿 una recta con vector director 𝑑 , 𝑃0; 𝑃1 puntos 𝑃1 ∈ 𝐿. Si se desea hallar la distancia desde 𝑃0 a la recta, 𝒅(𝑷𝟎; 𝑳), tenemos que va a ser igual al módulo del vector con origen en 𝑃0 y extremo en 𝑄 el punto intersección entre la recta y el único plano perpendicular a ella y que pasa por 𝑃0:

7

𝑑(𝑃 ; 𝐿) = 𝑑(𝑃 ; 𝑄) = ‖𝑃 𝑃 ‖𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0

0

1 0

‖𝑑 ‖‖ 𝑃1𝑃0‖𝑠𝑒𝑛 𝜃 ‖𝑑 ‖

=

|𝑑 × 𝑃 1𝑃0| ‖𝑑 ‖

Distancia de recta a plano Sea 𝐿 una recta y 𝜋 un plano. Si se desea hallar la distancia desde la recta 𝐿 al plano 𝜋, 𝒅(𝑳; 𝝅), tenemos dos casos:  Si 𝐿 ∩ 𝜋 ≠ ∅, entonces 𝑑(𝐿; 𝜋) = 0  Si 𝐿 ∩ 𝜋 = ∅, entonces considerando un punto 𝑃 ∈ 𝐿, 𝑑(𝐿; 𝜋) = 𝑑(𝑃; 𝜋)

Distancia entre planos Sean 𝜋; 𝜋′ dos planos. Si se desea hallar la distancia entre los planos, 𝒅(𝝅; 𝝅′), tenemos dos casos:  Si 𝜋 ∩ 𝜋′ ≠ ∅, entonces 𝑑(𝜋; 𝜋′) = 0  Si 𝜋 ∩ 𝜋′ = ∅, entonces considerando un punto 𝑃 ∈ 𝜋, 𝑑(𝜋; 𝜋′) = 𝑑(𝑃; 𝜋′)

8

Distancia entre rectas Sean 𝐿; 𝐿′ dos rectas. Si se desea hallar la distancia entre las rectas, 𝒅(𝑳; 𝑳′), tenemos dos casos:  Si 𝐿 𝑦 𝐿′ son coplanares, entonces puede suceder: o Si 𝐿 ∩ 𝐿′ ≠ ∅, entonces 𝑑(𝐿; 𝐿′) = 0 o Si 𝐿 ∩ 𝐿′ = ∅ , entonces considerando un punto 𝑃 ∈ 𝐿, 𝑑(𝐿; 𝐿′) = 𝑑(𝑃; 𝐿′)

 Si 𝐿 𝑦 𝐿′ son alabeadas, entonces considerando 𝑑; 𝑑 ′ sus vectores directores respectivamente, y 𝐿´´ la única recta perpendicular a ambas rectas y que las intersecta, podemos obtener 𝑑(𝐿; 𝐿′) = 𝑑(𝑃; 𝑄) donde 𝑃 = 𝐿 ∩ 𝐿′′; 𝑄 = 𝐿′ ∩ 𝐿′′. Entonces se tiene que 𝑑(𝐿; 𝐿′) = 𝑑(𝑃; 𝑄) =

|𝑃1 𝑃0. 𝑑× 𝑑´| ‖𝑑×𝑑´‖

; 𝑃1 ∈ 𝐿1 , 𝑃2 ∈ 𝐿 2

9

Ángulo entre dos rectas Sean 𝐿; 𝐿′ dos rectas con vectores directores 𝑑; 𝑑′ respectivamente, la medida del ángulo determinado por ellas (𝜃) puede determinarse a partir del coseno: |𝑑. 𝑑´| cos 𝜃 = ‖𝑑‖‖ 𝑑´‖

Ángulo entre dos planos Sean 𝜋; 𝜋′ dos planos con vectores normales 𝑛; 𝑛′ respectivamente, la medida del ángulo determinado por ellos (𝜃) puede determinarse a partir del coseno: |𝑛. 𝑛´| cos 𝜃 = ‖𝑛‖‖ 𝑛´‖

Ángulo entre recta y plano Sean 𝐿 una recta con vector director 𝑑, 𝜋 un plano con vector normal 𝑛 , para hallar la medida del ángulo determinado por 𝐿 y 𝜋 (𝜃), puede observarse que no es igual al ángulo determinado por 𝑑 y 𝑛 (𝛼). Entonces puede suceder que 𝜃 = 𝜋2 − 𝛼 o 𝜋 𝜃 = 𝛼 − ; pero en ambos casos vale que 2

sin 𝜃 = |cos 𝛼| =

|𝑛. 𝑑| ‖𝑛‖‖𝑑 ‖

10...