Stewart 7 Vectores Rectas Planos UCE PDF

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Temas matemáticos, aplicaciones y ejercicios.Temas matemáticos, aplicaciones y ejercicios.Temas matemáticos, aplicaciones y ejercicios.Temas matemáticos, aplicaciones y ejercicios....

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7E

Cálculo de varias variables

Trascendentes tempranas

CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES

TRASCENDENTES TEMPRANAS SÉPTIMA EDICIÓN

JAMES STEWART McMASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO

Traducción María del Carmen Rodríguez Pedroza

Revisión técnica Dr. Ernesto Filio López Unidad Profesional en Ingeniería y Tecnologías Aplicadas Instituto Politécnico Nacional M. en C. Manuel Robles Bernal Escuela Superior de Física y Matemáticas Instituto Politécnico Nacional Dr. Abel Flores Amado Coordinador de la materia de Cálculo Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Puebla Mtro. Gustavo Zamorano Montiel Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Contenido Prefacio

ix

Al estudiante

xxiii

Exámenes de diagnóstico

10

xxv

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares635 10.1

Curvas definidas por medio de ecuaciones paramétricas Proyecto de laboratorio

10.2

Cálculo con curvas paramétricas Proyecto de laboratorio

10.3

Familias de curvas polares

&

10.4

Áreas y longitudes en coordenadas polares

10.5

Secciones cónicas

10.6

Secciones cónicas en coordenadas polares

664

665

670 678

685

Problemas adicionales

11

653

654

Proyecto de laboratorio

Repaso

644

645

Curvas de Bézier

&

Coordenadas polares

636

Circunferencias que corren alrededor de circunferencias

&

688

Sucesiones y series infinitas689 11.1

Sucesiones

690

Proyecto de laboratorio

Sucesiones logísticas

&

703

11.2

Series

703

11.3

La prueba de la integral y estimación de sumas

11.4

Pruebas por comparación

11.5

Series alternantes

11.6

Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raíz

11.7

Estrategia para probar series

11.8

Series de potencias

11.9

Representación de las funciones como series de potencias

11.10

Series de Taylor y de Maclaurin

714

722

727 739

741

Proyecto de laboratorio Redacción de proyecto

732

&

&

746

753

Un límite escurridizo

767

Cómo descubrió Newton la serie binomial

767

v

vi

CONT ENIDO

11.11

Aplicaciones de los polinomios de Taylor Proyecto de aplicación

Repaso

781

Vectores y geometría del espacio785 12.1

Sistemas tridimensionales de coordenadas

12.2

Vectores

12.3

El producto punto

12.4

El producto cruz

12.5

800 808

&

Geometría de un tetraedro

816

816

Poniendo tres dimensiones en perspectiva

Cilindros y superficies cuádricas Repaso

826

827

834

Problemas adicionales

837

Funciones vectoriales839 13.1

Funciones vectoriales y curvas en el espacio

13.2

Derivadas e integrales de funciones vectoriales

13.3

Longitud de arco y curvatura

13.4

Movimiento en el espacio: velocidad y aceleración Proyecto de aplicación

Repaso

&

840 847

853

Leyes de Kepler

862

872

873

Problemas adicionales

14

&

Ecuaciones de rectas y planos Proyecto de laboratorio

12.6

786

791

Proyecto para un descubrimiento

13

777

778

Problemas adicionales

12

768

Radiación proveniente de las estrellas

&

876

Derivadas parciales877 14.1

Funciones de varias variables

14.2

Límites y continuidad

14.3

Derivadas parciales

14.4

Planos tangentes y aproximaciones lineales

14.5

Regla de la cadena

14.6

Derivadas direccionales y el vector gradiente

14.7

Valores máximos y mínimos Proyecto de aplicación

878

892 900 915

924

&

933

946

Diseño de un camión de volteo

Proyecto para un descubrimiento

&

956

Aproximaciones cuadráticas y puntos críticos

956

12

Vectores y geometría del espacio

© David Frazier / Corbis

© Dreamstime

Los paraboloides (utilizados en los discos satelitales) y los hiperboloides (utilizados en las torres de enfriamiento de reactores nucleares) son ejemplos de las superficies y sólidos que estudiaremos en este capítulo.

En este capítulo introducimos vectores y sistemas de coordenadas para espacios de tres dimensiones. Esto configurará nuestro estudio del cálculo de funciones de dos variables en el capítulo 14, porque la gráfica de tales funciones es una superficie en el espacio. En este capítulo veremos que los vectores proveen una descripción particularmente simple de rectas y planos en el espacio.

785

786

12.1

CAPÍT ULO 12

VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ES PACIO

Sistemas tridimensionales de coordenadas Para localizar un punto en un plano, son necesarios dos números. Se sabe que cualquier punto en el plano se puede representar como un par ordenado (a, b) de números reales, donde a es la coordenada x y b es la coordenada y . Por esta razón, un plano se llama bidimensional. Para localizar un punto en el espacio, se requieren tres números. Se representa cualquier punto en el espacio mediante una terna ordenada (a, b, c) de números reales. A fin de representar puntos en el espacio, se elige primero un punto fijo O (el origen) y tres rectas que pasan por O que son perpendiculares entre sí, llamadas ejes de coordenadas y marcadas como eje x, eje y y eje z. Por lo común, se considera que los ejes x y y son horizontales, y que el eje z es vertical, y se dibuja la orientación de los ejes como en la figura 1. La dirección del eje z se determina mediante la regla de la mano derecha, como se ilustra en la figura 2: si curva los dedos de su mano derecha alrededor del eje z en la

z

O y x

FIGURA 1

Ejes de coordenadas

eje positivo x hasta el eje positivo y, entonces su dedo pulgar apunta en la dirección positiva del eje z. Los tres ejes de coordenadas determinan los tres planos coordenados ilustrados en la figura 3a). El plano xy es el plano que contiene los ejes x y y ; el plano yz contiene los ejes y y z; el plano xz contiene los ejes x y z. Estos tres planos coordenados dividen el espacio en ocho partes, llamados octantes. El primer octante, en primer plano, se determina mediante los ejes positivos.

z

y x

FIGURA 2

z

Regla de la mano derecha

z

n pla

x

FIGURA 3

z P(a, b, c)

a x

FIGURA 4

O

c y

b

z

plano y z

ox

O

plano xy a) Planos coordenados

y

x

ed par rda O e ui izq

pa r e d d

piso

e r e ch a y

b)

Debido a que muchas personas tienen cierta dificultad para visualizar diagramas de figuras tridimensionales, se podría encontrar útil hacer lo siguiente [véase figura 3b)]. Mire cualquier esquina inferior de una habitación y llame a la esquina el origen. La pared a su izquierda es el plano xz, la pared sobre su lado derecho es el plano yz y el piso es el plano xy. El eje x corre a lo largo de la intersección del piso y la pared izquierda. El eje y corre a lo largo de la intersección del piso y la pared derecha. El eje z corre hacia arriba desde el piso hacia el techo a lo largo de la intersección de las dos paredes. Usted se localiza en el primer octante y ahora puede imaginar otras siete habitaciones situadas en los otros siete octantes (tres en el mismo piso y cuatro en el piso de abajo), todos conectados por el punto de esquina común O. Ahora si P es cualquier punto en el espacio, sea a la distancia (dirigida) del plano yz a P, sea b la distancia del plano xz a P y sea c la distancia del plano xy a P. Se representa el punto P mediante la terna ordenada (a, b, c) de números reales y se llaman a a, b y c las coordenadas de P; a es la coordenada x, b es la coordenada y y c es la coordenada z. Así, para localizar el punto (a, b, c) se puede empezar en el origen O y moverse a unidades a lo largo del eje x, luego b unidades paralelas al eje y y luego c unidades paralelas al eje z, como en la figura 4.

SECCIÓN 12.1

S IS TEMAS TRIDIMENS IONALES DE COORDENADAS

787

El punto P(a, b, c) determina una caja rectangular como en la figura 5. Si se traza una perpendicular de P al plano xy , se obtiene un punto Q con coordenadas (a, b, 0) conocido como proyección de P en el plano xy . De manera similar, R(0, b, c) y S(a, 0, c) son las proyecciones de P sobre el plano yz y el plano xz, respectivamente. la figura 6. z

z

z

3

(0, 0, c) S(a, 0, c)

0

P(a, b, c)

_5

(_4, 3, _5)

(0, b, 0)

(a, 0, 0)

_2

3

y

y

x 0

0

_4

R(0, b, c)

x

_6

y

x

(3, _2, _6)

Q(a, b, 0)

FIGURA 6

FIGURA 5

Se denomina sistema tridimensional de coordenadas rectangulares. Observe que, en términos de coordenadas, el primer octante se puede describir como el conjunto de puntos cuyas coordenadas son todas positivas. En geometría analítica bidimensional, la gráfica de una ecuación en x y y es una curva

ecuaciones? SOLUCIÓN

plano xy y está tres unidades arriba de él como en la figura 7a). z

z

y 5

3 0 x

FIGURA 7

0 y

a) z=3, un plano en R#

x

5

b) y=5, un plano en R#

0 y

c) y=5, una recta en R2

y es 5. Éste es el plano vertical que es paralelo al plano xz y está cinco unidades a la derecha de él como en la figura 7b).

x

788

CAPÍT ULO 12

VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ES PACIO

NOTA Cuando se tiene una ecuación, se debe entender del contexto si representa una

analítica bidimensional. Véase la figura 7b) y c). figura 5, las caras de una caja rectangular se forman mediante los tres planos coordenados

EJEMPLO 2

a) ¿Qué puntos (x, y , z) satisfacen las ecuaciones

SOLUCIÓN

el eje x. Véase la figura 8.

tanto, se trata de un cilindro con radio 1 cuyo eje es el eje z. Véase la figura 9. z

z

3

0

0 y

x

y

x

FIGURA 8

FIGURA 9

La circunferencia ≈+¥=1, z=3

El cilindro ≈+¥=1

z

y

plano que se encuentra en el primer octante se bosqueja en la figura 10.

0

x

FIGURA 10

El plano y=x

La conocida fórmula para la distancia entre dos puntos en un plano se extiende fácilmente a la siguiente fórmula tridimensional. Fórmula de distancia en tres dimensiones La distancia P1 P2 entre los puntos

P1 x 1, y1, z1 y P2 x 2 , y2 , z2 es P1 P2

s x2

x1

2

y2

y1

2

z2

z1

2

SECCIÓN 12.1

P™(x™, fi, z™)

P1 A 0 x

789

Para ver por qué esta fórmula es cierta, se construye una caja rectangular como en la figura 11, donde P1 y P2 son vértices opuestos, y las caras de la caja son paralelas a los planos coordenados. Si A(x2, y 1, z1) y B(x2, y 2, z1) son los vértices de la caja indicados en la figura, entonces

z P¡(⁄, ›, z¡)

S IS TEMAS TRIDIMENS IONALES DE COORDENADAS

x2

x1

AB

y2

y1

BP2

z2

z1

Debido a que los triángulos P1 BP2 y P1 AB son rectángulos, las dos aplicaciones del teorema de Pitágoras dan

B(x™, fi, z¡) A(x™, ›, z¡) y

FIGURA 11

y

P1 P2

2

P1 B

2

BP2

P1 B

2

P1 A

2

AB

2

2

Al combinar estas ecuaciones, obtenemos P1 P2

Por tanto,

s1

v

EJEMPLO 5

P1 A

2

x2

x1

2

y2

y1

x2

x1

2

y2

y1 2

s x2

P1 P2

PQ z

2

2

2

x1

3

2

2

AB

1

2

BP2 2

z2

z1

z2

z1

2 2

y2

y1

2

z2

z1

5

7

2

s1

4

2

2

4

3

Halle una ecuación de la esfera con radio r y centro C(h, k, l ).

P (x, y, z) SOLUCIÓN Por definición, una esfera es el conjunto de todos los puntos P(x, y, z) cuya

r

distancia desde C es r. (Véase la figura 12). Así, P está sobre la esfera si y sólo si 2 , o bien,

C (h, k, l )

x 0

h

2

y

2

k

l

z

2

r2

Vale la pena recordar el resultado del ejemplo 5.

x y

FIGURA 12

Ecuación de una esfera La ecuación de una esfera con centro C h, k, l

x

h

2

y

k

2

l

z

2

r

y radio r es

2

En particular, si el centro es el origen O, entonces la ecuación de la esfera es x2

y2

z2

r2

una esfera, y determine su centro y radio. SOLUCIÓN Se puede reescribir la ecuación dada en la forma de la ecuación de una

esfera si se completan los cuadrados: x2

4x

4

y2 x

6y

9

2

y

2

z2 3

2

2z

1

z

1

6 2

8

4

9

1

790

CAPÍT ULO 12

VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ES PACIO

Al comparar esta ecuación con la forma estándar, se ve que es la ecuación de una esfera

1

x2

y2

z2

4

z

1

x2

y2

z2

4

sx 2

y2

z2

0

SOLUCIÓN Las desigualdades z

se pueden reescribir como 1

0 1

de modo que representan los puntos ( x, y , z) cuya distancia desde el origen es por lo

2 x

y

FIGURA 13

12.1

2

sobre o debajo del plano xy . Así, las desigualdades dadas representan la región que yace entre (o sobre) las esferas x2 plano xy . El bosquejo se muestra en la figura 13.

Ejercicios

1. Suponga que empieza en el origen, se mueve a lo largo del eje

9. Determine si los puntos yacen sobre una línea recta.

x una distancia de 4 unidades en la dirección positiva y luego se mueve hacia abajo una distancia de 3 unidades. ¿Cuáles son las coordenadas de su posición? un solo conjunto de ejes de coordenadas.

a) El plano xy c) El plano xz e) El eje y

b) El plano yz d) El eje x f) El eje z

más próximo al plano yz? ¿Qué punto yace en el plano xz? 4. ¿Cuáles son las proyecciones del punto (2, 3, 5) sobre los

planos xy, yz y xz? Dibuje una caja rectangular con el origen y (2, 3, 5) como vértices opuestos y con sus caras paralelas a los planos coordenados. Etiquete todos los vértices de la caja. Halle la longitud de la diagonal de la caja.

¿Cuál es la intersección de esta esfera con el plano yz? Describa su intersección con cada uno de los planos coordenados. y tiene centro (3, 8, 1). 14. Obtenga la ecuación de la esfera que pasa por el origen y cuyo

centro es (1, 2, 3). 15-18 Demuestre que la ecuación representa una esfera y determine

En otras palabras, describa el conjunto de puntos (x, y, z) 7-8 Halle las longitudes de los lados del triángulo PQR. ¿Es un

triángulo rectángulo? ¿Es un triángulo isósceles?

su centro y radio. x2

y2

z2

2x

4y

8z

15

16. x 2

y2

z2

8x

6y

2z

17

17. 2x 2 18. 3x

1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com

2

2y 2

2z 2

8x

24 z

2

2

10

6y

3y

3z

1 12 z

0

SECCIÓN 12.2

a) Demuestre que el punto medio del segmento de recta de P1(x1, y1, z1) a P2(x2, y2, z2) es x1

x2 2

,

y1 2

y2 z 1 ,

z2 2

VECTORES

791

a) Halle las coordenadas del punto P sobre la recta L1. b) Localice sobre el diagrama los puntos A, B y C, donde la recta L 1 corta al plano xy, plano yz y el plano xz, respectivamente.

b) Encuentre las longitudes de las medianas del triángulo con

z

L¡

Obtenga la ecuación de una esfera si uno de sus diámetros tiene puntos terminales (2, 1, 4) y (4, 3, 10). P

que tocan a) el plano xy, b) el plano yz, c) el plano xz. 22. Halle una ecuación de la esfera más grande con centro (5, 4, 9)

1

que está contenida en el primer octante.

0 1