GUÍA DE Aprendizaje Movimiento Parabolico PDF

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MOVIMIENTO PARABOLICO Se trata de un movimiento bidimensional donde el cuerpo sale con una velocidad inicial

v 0 ≠ 0

a un cierto ángulo

respecto a la horizontal. Por otro lado

θ

dicho movimiento se conforma de un movimiento rectilíneo uniforme en movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en

x y un

y .

FIG. 1. Movimiento Parabólico

De la figura 1 se puede notar que la velocidad inicial tiene dos componentes tanto en x como en y

El movimiento en

y es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

1

1 2 y=v 0 y t + a y t 2 v y =v 0 y +a y t Y en

x

es un movimiento rectilíneo uniforme

x=v 0 x t

v y =v 0 x al reemplazar, en las anteriores expresiones las respectivas componentes y teniendo en cuenta que la aceleración de la gravedad tiene únicamente dirección hacia abajo (componente negativa en

y ; a y =−g ), se transforman en

Ecuaciones del movimiento parabólico

1 y = v 0 senθt− g t2 2

(1) (coordenada y)

v y =v 0 senθ−¿

(2)

a y =−g

(3)

x=v 0 cosθt

(4) (coordenada x)

v x =v 0 cosθ

(5)

a x =0

Ecuación de la trayectoria ¿Por qué le llaman movimiento parabólico? Para responder esta pregunta imagine que no existiera gravedad en nuestro planeta y un cuerpo es lanzado a un ángulo

θ respecto a la horizontal, dicho cuerpo seguiría una trayectoria rectilínea indefinidamente hasta que sea atraído por algún campo de fuerzas de otro planeta o estrella.

2

FIG. 2. Movimiento de proyectil sin gravedad.

Pero debido a que la aceleración de la gravedad, cuya magnitud es

9,8 m/s

2

en la

tierra no es despreciable, tal movimiento rectilíneo se convierte en un movimiento parabólico,

FIG. 3. Movimiento del proyectil en presencia del campo gravitacional terrestre.

Por otro lado, la matemática determina la naturaleza parabólica del movimiento. El procedimiento es el siguiente, se despeja (1)

t=

x v 0 cosθ

y = v 0 senθ

(

) (

1 x x − g v 0 cosθ 2 v 0 cosθ

)

2

3

t

de la ecuación (4) y lo reemplazo en

y=xtanθ−

(

)

2

g 1 x 2 2 v 0 cos2 θ

(3) (Ecuación de la trayectoria)

La ecuación (3) corresponde a la ecuación de la trayectoria del movimiento parabólico y precisamente tiene la forma de la ecuación de una parábola 1.

Tiempo de subida y altura máxima Como su nombre lo indica el tiempo de subida

(t=0)

desde el instante del lanzamiento

t s , es el tiempo que transcurre

hasta que llega a la altura máxima

hmáx ; que precisamente se obtiene cuando la componente vertical de la velocidad v y =0 . Para encontrar las relaciones que permiten calcular el tiempo de subida y la altura máxima se procede de la siguiente manera:

De la ecuación (2) despejamos

ts

teniendo en cuenta que en este tiempo la

v y =0

0=v 0 senθ−g t s t s=

v 0 senθ g

(4) tiempo de subida

Precisamente es en este tiempo

ts

se obtiene la

hmáx

al reemplazarlo en la

ecuación (1)

1 y =hmáx= v 0 senθ t s− g t s2 2 hmáx=v 0 senθ

hmáx=

(

v 0 senθ 1 v 0 senθ − g 2 g g

)

2

v 20 sen2 θ 1 v 20 sen2 θ − g 2 2 g g hmáx=

v 02 sen2 θ 2g

(5) Altura máxima

Tiempo de vuelo y alcance horizontal

1

y=a x 2 +bx + c 4

tv

Como su nombre lo indica el tiempo de vuelo

es el tiempo que permanece en

aire el cuerpo y la distancia que recorre en este tiempo es precisamente el alcance horizontal. De la figura 1, se puede notar que en el tiempo de vuelo

y=0 , por lo

tanto de la ecuación (1)

1 0=v 0 senθ t v − g t v2 2

(

1 0=t v v 0 senθ− g t v 2

)

,

Las dos soluciones de la anterior ecuación son

t v =0

1 v 0 senθ− g t v =0 2 la primera solución es imposible ya que implicaría una teletransportación del cuerpo, y de la segunda se obtiene el tiempo de vuelo,

t v=

2 v 0 senθ g

(6)

(tiempo de vuelo)

t v =2 t s Finalmente para obtener el alcance horizontal vuelo

R

se reemplaza el tiempo de

t v en la ecuación (4), x =R= v 0 cosθ t v R=v 0 cosθ

2 v 0 senθ g

2

2 v 0 senθcosθ R= g La anterior ecuación, con ayuda de la identidad trigonométrica 2 y considerar que

A=B=θ , se transforma en

2

R=

2

v 0 sen 2 θ g

(7)

sen ( A+B )=senAcosB+ senBcosA 5

(Alcance horizontal)

Por otro lado, ya que el rango de la función

senθ=± 1 , un cuerpo en movimiento

parabólico puede tener su alcance horizontal máximo cuando su ángulo de lanzamiento es

sen2 θ=1

sen−1 (sen 2θ)= sen−1 (1) 2θ=90 °

θ=45 ° Obteniéndose la siguiente expresión para el alcance horizontal máximo.

2

Rmáx =

v0 g

(8) Alcance horizontal máximo

Descripción de otros movimientos en caida libre a partir del movimiento parabólico.

Movimiento en caída libre Un movimiento en caída libre se caracteriza, porque la única fuerza que está presente durante todo el movimiento del cuerpo es el peso; es decir se desprecian los efectos de fricción del aire lo cual es posible si se manejan alturas moderadas.

Descenso vertical en caída libre de cuerpos cuando se sueltan desde el reposo.

FIG. 4 Para describir este movimiento a partir de las ecuaciones (1, 2, 3 y 4) del movimiento parabólico, hay que considerar que la continuación

6

v 0 =0 , tal como se muestra a

y=

−1 2 gt 2

(9) (coordenada y)

v y =−¿

(10)

a y =−g

(11)

x=0 v x =0

(5)

a x =0 Y como se puede notar las anteriores ecuaciones describen un movimiento vertical.

Descenso vertical en caída libre de cuerpos cuando se sueltan con velocidad inicial diferente de cero.

FIG. 6. Descenso en caída libre con velocidad inicial diferente de cero.

Para describir este movimiento, a partir de las ecuaciones 1, 2, 3 y 4 del

θ=−90

movimiento parabólico, hay que tomar respecto al eje x+)

(medidos en sentido horario

θ=−270° (medidos en sentido antihorario respecto al eje

7

x-) y por otro lado considerar una magnitud de velocidad

v 0 ≠ 0 , tal como se

muestra a continuación

1 2 y=−v 0− g t 2

(9) (coordenada y)

v y =−v 0 −¿

(10)

a y =−g

(11)

Ascenso en caída libre de cuerpos

FIG. 7. Ascenso en caída libre.

Para describir este movimiento, a partir de las ecuaciones 1, 2, 3 y 4 del movimiento parabólico, simplemente hay que considerar (ver figura 7) que

θ=90

(medidos en sentido horario respecto al eje x+)

y por otro lado

considerar una magnitud de velocidad v 0 ≠ 0, tal como se muestra a continuación

1 2 y=−v 0− g t 2

(9) (coordenada y)

v y =−v 0 −¿

(10)

a y =−g

(11)

8

9

10...