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Fundación Universitaria

FUNDACIÒN UNIVERSITARIA

SAN MATEO SAN CARRERA: FACULTAD CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MATEO SEMESTRE: PRIMERO MEDIO: PRESENCIAL

ETICA: CON RESPONSABILIDAD Y COMPROMISO TIEMPO: PREDETERMINADO MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS GUIA 1: (escrita) ESTRATEGIA PEDAGOGICA: TRABAJO EN EQUIPO COLABORATIVO ACADEMICA Y LABORALMENTE ORIENTADOR DE PROCESOS: MANUEL ORLANDO MORENO MARTINEZ FORMACION FUNDAMENTADA EN VALORES: SER, SABER, HACER, RELACIONARSE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: (COMO) DESARROLLAR UNA GUIA DEL TEMA ELABORADA POR EL PROFESOR PARA DESARROLLAR SU CONOCIMIENTO Y ARTICULARLA CON UN TALLER RESUELTO POR LOS ESTUDIANTES PARA QUE APRENDA CON ACTITUDES Y HABILIDADES REALES VIGENTES (PORQUE) NECESITA DESENVOLVERSE EN SU FORMACION INTEGRAL Y SER PERTINENTE EN SU DISCIPLINA (PARAQUE) EN LA REALIDAD SEA EFICAZ, EFICIENTE Y EFECTIVO CON ALTA CALIDAD EN TODO APOYANDOSE CON LA SEGUNDA LENGUA Y TECNOLOGIA DE PUNTA EN SU QUEHACER LABORAL Y SOCIAL Y ASÍ DESARROLLAR PRECISIÓN EN SUS RESPUESTAS PARA INCREMENTAR SUS CONOCIMIENTOS SOCIALIZÁNDOLOS, MINIMIZANDO ERRORES, TIEMPO Y GENERANDO GANANCIAS ESTUDIANTE _____________________________________________________ ________________________________________________ TUTORIAS (HORARIO): INTERNAS Y EXTERNAS CREDITOS: 2 FECHA DE APLICACIÓN: A partir de la fecha PRESENTACION El objetivo de la siguiente guía es suministrar los conocimientos básicos sobre matemática financiera con respecto al interés compuesto, efectuar operaciones y resolver ecuaciones y problemas. INTERES COMPUESTO La diferencia con el interés simple es que se Cálculo del interés. Fórmulas suman periódicamente los intereses más el En la misma forma como se hizo para el interés simple, es necesario definir capital algunos elementos que se usan en la formulación del interés compuesto, a saber:

P

: Es la cantidad única que se coloca en el momento cero o fecha focal. f f

CAPITALIZACION Es el proceso de sumar los intereses al capital cada vez que se liquidan

F

: Es la suma acumulada al final de los períodos de capitalización.

A

: Es la cantidad igual y periódica, o anualidad que se coloca durante períodos sucesivos

PERIODO DE CAPITALIZACION Es el periodo utilizado para liquidar los intereses

n

ip

: Es el número de períodos durante los cuales se aplica la capitalización de intereses.

N p : Numero de periodos ip =

: Es la tasa periódica de interés aplicada en cada período de capitalización.

i anual Np

i anual ip

Np=

i anual ( i a )=ip *N p

Cuando se coloca dinero a interés compuesto, el proceso de capitalización que se produce se expresa matemáticamente así: Al final del primer período, se tiene

F1 = P + P i p → F1 = P ( 1 + i p)

Al final del segundo período, se tiene

F2 = P ( 1 + ip ) + P ( 1 + ip ) * ip → F 2= P ( 1 + ip )2

Al final del tercer período, se tiene

2 2 3 F3 = P + P ip →F 3 = P ( 1 + ip ) +P ( 1 + ip ) * ip → F3 = P ( 1 + ip )

Al final de cualquier período n, la expresión que define el VALOR FUTURO EN FUNCIÓN DEL VALOR o SUMA PRESENTE ES LA SIGUIENTE:

F=P ( 1 + i p )n

Las otras fórmulas aplicables al cálculo de intereses, cuya deducción no se presenta, son las siguientes: Para determinar el VALOR PRESENTE EN FUNCIÓN DEL VALOR o SUMA FUTURA: La cual se obtiene de

F=P ( 1 + i p)n →P =

PRIMER PERIODO

F ( 1 + i p )n

P=

F ( 1 + i p )n

F1 = P + P ip → P ( 1 + ip ) → F1 = P ( 1 + ip )

F=P ( 1 + i p )

n

F2 = P ( 1 + ip ) + P ( 1 + ip ) * ip → F2 = P ( 1 + ip ) + P ( ip + ip2) → F2 = P + P ip + P ip + P ip2 → SEGUNDO PERIODO

F2 = P ( 1+ ip + ip + ip2) →

BIMENSUAL: OCURRE O SUCEDE DOS VECES AL MES $ 10000 BIMENSUAL EQUIVALE A $ 40000 BIMESTRAL: OCURRE O SUCEDE CADA DOS MESES $ 10000 BIMENSUAL EQUIVALE A $ 20000

F2 = P ( 1+2 ip + ip 2) → F2 = P ( 1 + ip )2 →F 2 = P ( 1 + ip ) 2

n

F=P ( 1 + i p )

F3 = P ( 1 + ip ) + P ( 1 + ip ) * ip+[ P ( 1 + ip ) + P ( 1 + ip ) * ip ]∗ip→ Evitar hacer

F3 = P ( 1 + ip ) + P ( ip + ip2 ) →

2

(k+ r ) = k 2 + 2 k r + r 2 ( k − r ) 2 = k 2− 2 k r + r 2

F3 = P + P ip + P ip + P ip2 → F3 = P ( 1+ ip + ip + ip 2) →

TERCER PERIODO

Evitar hacer

F3 = P ( 1+2 ip + ip 2) → F3 = P ( 1 + ip )2 + [P ( 1 + ip ) + P ( 1 + ip ) * ip 2] → F3 = P ( 1 + ip ) + [P ( 1 + ip ) ∗ip2] → 2

2

2 2 3 F3 = P ( 1 + ip ) +P ( 1 + ip ) ∗ip→ F 3= P ( 1 + ip ) 3

k3 + 3 k 2 r + 3 k r 2 + r 3

=

(k + r )

3

=

(k − r )

k

3

2

− 3k r +3kr

2

− r

3

F=P ( 1 + i p )

k +r k +r 2 k +kr k r + r2 2 k + 2 k r + r2

k −r k −r 2 k −kr - k r + r2 2 k − 2 k r + r2

n

todos los signos son positivos todos los signos son ALTERNADOS

El interés compuesto representa la acumulación de intereses devengados por un capital inicial o principal a una tasa de interés durante periodos de imposición de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital

INTERES COMPUESTO

Ejemplo 1 La señorita ALDANA MARADEY CAROLINA y LEYTON CORTES XIMANA ANDREA depositan $ 100 en el banco N.A, el cual le reconoce una tasa de interés del 36 % anual con capitalización trimestral .Cuál será el valor ahorrado al finalizar el primer año? Recuerdo que la tasa dada es anual y la capitalización es trimestral por consiguiente debe expresarse también en términos trimestrales

ip =

i anual Np

PERIODO n 1 2 3 4

ip =

0,36 =0 , 09 4

VALOR PRESENTE P 100 100 + 9 = 109 109 + 9.81 = 118,81 118,81+10.6929 = 129,50

ip =it = interes trimestral

INTERES TRIMESTRE ip 9 9,81 10,6929 11,6552

VALOR FUTURO F F= P * ( 1 + 0. 09 ) →2F= $ 109 100 + 9 = 109 109 + 9.81 = 118,81 F= 100 * ( 1 + 0 .09 ) → F= $ 118. 81 118,81 + 10.6929 = 129,5029 F= 100 * ( 1 + 0 .09) 3→ F= $ 129 .5029 129,5029 +11,6552 = 141,158161 F= 100 * (1 + 0 .09 ) 4 → 4 F= 100 * (1 .09 ) → F= 100 *1.41158161 → F= $ 141. 158161 COMPUESTO

100∗0.09=9 109∗0.09=9.81 118.81∗0.09=10.6929 129.50∗0.09=11.6552

DIAGRAMA ECONOMICO FLUJO DE CAJA

F= P * ( 1 + i*n ) F= 100 * (1 + 0 . 09*4 ) → F= $ 136 SIMPLE

F4 $ 141,15 INGRESOS

F3 $ 129,50 F1 $ 109 F2 $ 118.81

0

1

2 i t = 0.09

P $100 EGRESOS

TASA DE INTERES CONSTANTE

3

F=P ( 1 + i p )n

INGRESOS 4

LINEA DE TIEMPO PERIODOS

TRIMESTRES

FECHA FOCAL MOMENTO

EGRESOS

VALOR FUTURO EN UN PERIODO n

VALOR FUTURO DE UNA SUMA PRESENTE

INTERESES EN UN PERIODO n

P= F

(

1 ( 1 + i )n

)

F=P ( 1 + i p )

n

i n =i * P ( 1 + i ) n−1

→

CAPITAL INICIAL EN UN PERIODO n

VALOR PRESENTE DE UNA SUMA FUTURA

→

→

P n = P (1 + i )

n−1

Ejemplo 2 La señora BARRERA AMAYA YULY DANIELA Y BELTRAN QUINTERO VALENTINA depositan $ 100000 en el banco N.A, el cual le reconoce una tasa de interés del 32 % anual con capitalización trimestral vencida. ¿Cuál será el valor acumulado al finalizar dos años? CASAS DELGADO KAREN JOHANNA y NARANJO ROJAS ANGIE KATERINE cuánto seria a interés simple

it =

P= $ 100000

0. 32 =0 , 08 4

n= 8 trimestres

n F=P ( 1 + i p )

F= P ( 1 + i ) →F= 100000 ( 1 + 0,08 ) 8 → F= $ 185093 n

SI FUERA A INTERES SIMPLE SERIA:

F= P ( 1 + i* n ) F= P ( 1 + i *n ) →F= 100000 ( 1 + 0,08*8) →F= $ 164000

Ejemplo 3 El señor VILLALBA MORA BRAYAN LEONARDO y VASQUEZ ROMERO JHOJAN ANDRES necesitan disponer de $ 300000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícula Si el banco N.A, le ofrece el 36 % anual con capitalización bimensual. ¿Cuánto deberá depositar hoy P para lograr su objetivo? Si la variable a calcular fuera n quiere saber: CUEVAS RIAÑO MARIA ISABEL y si la variable a calcular fuera i quiere saber: PINZON GARCIA ANDREA XIOMARA y PUENTES CAMACHO KAREN DAYANA

it =

F= $ 300000

P= F

[

]

0. 36 =0 ,06 bimensual 6

[

n= 6 meses = 3 bimensual

P= F

]

1 1 → P= 300000 → P= $ 251885,78 (1 + i )n ( 1 + 0,06 )3

SI LA VARIABLE A CALCULAR FUERA n SE TENDRIA

300000 F = (1 + i ) n → =( 1+0 . 06 )n → 1 ,19101602321=( 1 . 06 )n → P 251885 . 78 n Log 1, 19101602321= Log (1 . 06) → Log 1 , 19101602321= n Log (1 . 06 ) → 0 , 075917604 0 , 075917604 = 0. 025305865 n → n = → n = 3 bimensual 0 . 025305865 F= P ( 1 + i )n →

SI LA VARIABLE A CALCULAR FUERA i SE TENDRIA

300000 F F= P ( 1 + i ) n → = (1 + i ) n → =( 1+i )3 →1 , 19101602321=( 1 .+i)3 → P 251885 .78 3 √ 1, 19101602321 = 1 + i → 1,06 = 1 + i → i = 1 . 06 - 1 → i = 0. 06 → i = 6 % bimensual

[

1 ( 1 + i )n

]...