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CAP II: PROBLEMAS PROPUESTOS (INTERÉS COMPUESTO)1. Calcular el interés compuesto que genera S/1000 al 20% anual capitalizable anualmente durante 4 años. Datos I =? F = P(F/P) P= 1000 F = 1000 (2,074) i= 20% F = S/. 2074 n=4años I = F –P I = S/. 10742. ¿A que tasa de interés equivalen S/. 550 de hace...

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Interés Compuesto

Análisis Económico

CAP II: PROBLEMAS PROPUESTOS (INTERÉS COMPUESTO) 1. Calcular el interés compuesto que genera S/1000 al 20% anual capitalizable anualmente durante 4 años. Datos I=? F = P(F/P) P= 1000 F = 1000 (2,074) i= 20% F = S/. 2074 n=4años I = F –P I = S/. 1074 2. ¿A que tasa de interés equivalen S/. 550 de hace un año y S/. 650 dentro de un año? Solución

P=550

F = P (1 + i)n 650 = 550 (1 + i) 2 1.871 = (1 + i) 2 8.71% = i

P = 550 F = 650 n = -1 y +1 años

-1

0

F=650

3. ¿Como se explica el hecho de que dos cantidades diferentes de dinero puedan ser equivalente la una a la otra? Esto se da cuando el dinero es depositado en un cierto tiempo a una determinada tasa de interés y es por eso que las cantidades diferentes de dinero depositadas son equivalentes. El dinero es equivalente a través del tiempo en un periodo determinado. 4. Una compañía invirtió S/. 50 000 en un nuevo proceso hace un año y acaba de obtener una cantidad de S/. 57 500 ¿Cuál ha sido la tasa de retorno basado en esta inversión? Datos: P = 50 000 F = 57 500

P = 50 000

F = 57 500

n  1 año

0

1

Solucion: I F P I  57500 - 50000 I  7500 50000      100% 7500        x %

x  750000 %

50000

Rpta : x  15%

INGENIERÍA INDUSTRIAL

+1

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5. Suponiendo que se le presente una oportunidad de inversión en la que puede invertir S/ 1000 al 7% de interés simple anual por tres años, o invertir los mismos S/ 1000 al 6% de interés compuesto anual durante tres años ¿Qué tipo de capitalización aceptaría?

Interes simple P  S/ 1000 i  7% I? n  3 años

Interes Compuesto P  S/ 1000 i  6% I? n  3 años

F  P(1  i  n) F  1000(1  0.07  3) F  S/ 1210  I F-P I  1210 - 1000 I  S/ 210

F  P(1 i) n F  1000(1  0.06) 3 F  S/ 1191.016  I  F-P I  1191.016 - 1000 I  S/ 191.016

Se debería aceptar invertir el dinero a un interés simple por que le interés que esta genera es mayor que el interés que obtendría al invertir mi dinero a un interés compuesto. 6. ¿Cuánto dinero deberá una persona después de dos años, si solicita un préstamo por S/. 60 000 al 1% de interés simple mensual? Solución n = 2 años P = 60 000 i = 1% mensual (s) F =?

I = P*n*i I = 60 000*2*0.01 I = 14 400 Entonces: F = P + I F = 60 000 + 14 400 F = 74 4 00

7. Si invierte S/. 10 000 hoy en un negocio que promete producir S/. 14 641. ¿En qué momento debe recibir los S/.14 641 para obtener al menos el 10% anual de interés sobre su inversión? P  S / .10000

F  P (1  i )n

F  S / .14641 i  10% a

14641  10000(1  0.01) n

n? INGENIERÍA INDUSTRIAL

1.4641  (1.01) n ln( 1.4641)  n ln( 1.01) 0.38  0.095n n  4años

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8. Alguien comenta que acaba de pagar un préstamo que solicitó hace tres años al 10% de interés simple anual. Sabiendo que pago S/. 195 ¿Por cuánto fue el préstamo? Solución n = 3 años i = 10% anual (s) F = 195 P =?

F= P + I F = P (1 + n*i) 195 = P (1+ 3*0.10) 195 = P (1.3) P = S/.150

9. Sabiendo que S/. 1 000 al 6% de interés simple equivalen a S/. 1 180 en tres años. Busque la tasa de interés de capitalización anual compuesta para la cual la equivalencia también es correcta. Solución P = 1 000 al &% simple = 1180 n = 3 años i = ? anual para que sea correcta

F = P (1+i) n 1180 = 1000 (1+i) 3 1.18 = (1+i) 3 3 √1.18 = (1+i) 1.05672-1 = i i = 5.67%

10. Cual es el valor de: a.- S/. 1000 dentro de 8 años, si el interés es 15% F=P(F/P)ni F=1000(3.059) F=3059 b.- S/. 1000 8 años antes, si el interés es 20% P = F* (P/F) ni P=1000 (0.2326) P=232.6 c.- Una suma de actual de S/. 5000 en 10 años si el interés es 25% F = P* (1+i)n F = 5000 (1+0.25)10 F = 46566.12873

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d.- S/. 8000 pagados dentro de 8 años, si el interés es de 30%, qué anualidades deberían pagarse al mismo interés (recuperación de capital) F

P

= P

* (1+i)n

* [i(1+i)n / (1+i)n -1] [0.3(1+0.3)^8/(1+0.3)^8980.716 * 1] = 335.322

A

= P

8000 = P * (1+0.3)^8 = 980.7157919 A

e.- Depósitos de S/. 15000 anuales hechos al final de cada año, durante los próximos 11 años, si el interés es del 35%, calcular el valor actual. P = A* (P/A) ni P= 15000 (2.752) P = 41280 f.- Una serie de fin de año de S/.1000, durante los próximos 10 años, cual es el valor futuro, al 40% F=A(F/A)ni F=1000(69.814) F=69814 g. -S/. 1000 al 35%, expresado en una serie de pagos durante 15 años A = P* (A/P) ni A= 1000 (0.3539) A = 353.9 11. El Señor Juan Pérez desea saber el valor presente de una renta anual de S/. 150 000 en 35 años a una tasa de interés del 25.5% Datos: A  150000 i  25.5%anual n  35años P ?

P 0

A

A

A

1

2…

35

Solución P  A( P / A)

i

n No poseemos un valor en tablas para encontrar P dado A con la tasa de interés del 25.5%, razón por la cual tabulamos:

25%--------3.998 30%--------3.333 25.5%-----------x INGENIERÍA INDUSTRIAL

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25  30 3.998  3.333  25  25 .5 3.998  x 0.665 5   0.5 3.998  x 3.998  x  0.0665 x  3.9315 Reemplazando en la 1era formula: i P  A( P / A) n P  150000 * 3.9315 Rpta : P  589725 soles 12. ¿Cuanto dinero se acumularía en 25 años si se depositan S/. 600 000 dentro de un año, S/. 24 000 dentro de seis años y S/. 3 300 dentro de ocho años, toda una tasa de interés del 15% Solución F=? n=25 años i=15% . 15 . 15 F= P (F/P) .15 24 + P (F/P) 19 + P (F/P) 17

F=60000(28.625)+24000(14.232)+33000(10.761) F= S/.2094579.30

60000

24000 3300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11..............................24 25 F=? 13. Un hombre de 25 años de edad, está incapacitado para el trabajo por causa de un accidente. Si tuviera que retirarse ordinariamente por 15 años y su salario actual es de S/. 120 000 anuales, la tasa de interés se calcula en 25%. ¿Qué compensación global fuera justa? Solución A = 120 000 ,

n = 15 a

,

i =25 % ,

INGENIERÍA INDUSTRIAL

P =?

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P  A(P / A )in 25 P 120000 ( P / A) .15

P  120000 * 3.859 P  463080

14 Se hace un préstamo de 400 nuevos soles al 15% de interés por un periodo de 3 años. ¿Cuál es el importe total que hay que rembolsar al final del periodo del préstamo? P  S / .400 i  15% n  3años F ?

F  P ( F / P )in F  400 ( F / P )153% F  400 (1.521) F  608 .4 RPTA: El reporte total al final del periodo es de 608.4 15. ¿Cuánto dinero habrá que invertir hoy para disponer de un saldo de 500 nuevos soles dentro de 4 años, si el tipo de interés es del 35%? Solución

F  P ( F / P )in % F  500 ( F / P ) 35 4 F  500 (0.3014 ) F  150 .55

16. Una persona desea comprar una propiedad que le han ofrecido generosamente. El programa de pagos es S/. 300 000 anuales durante ocho años, empezando dentro de 4 años. ¿Cuál es el valor futuro de esta generosa oferta?, ¿Cuál su valor presente si la tasa de interés es del 40%? Solución F =?

,

A = 300 000



,

n=8a



,

8 A* 1  i 1 i 300000 * 13.7579  F  0.4 4127367 .168 F  0.4 F  10318417 ,92 INGENIERÍA INDUSTRIAL

F 

i =40 %

,

P=?

F  A * (F / A )in F  300000 * ( F / A) .840 F  300000 * 34.395 F  10318500 2007-B

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Análisis Económico

17.- ¿Qué tipo de interés eleva una inversión de S/. 1400 a S/.14000 en 9 años?

F

=

14000 i

P

(1+i)n

*

(1+i)9

1400 =

0.291549665 =

29.15 %

18. ¿Cuántos años se necesitaran para que el saldo que se tiene en una cuenta de ahorros aumente de 1 000 soles a 2 500 soles si el interés recibido es de un 6%? Datos: P  1000soles F  2500 soles

P

F

i  6%

0

n

Solución:

F  P (1 i )

n

2500  1000 (1  i )

n

n 2.5  (1 0.06 )

Aplicando logaritmo : log( 2.5)  n * log(1.06 ) Rpta : n  15.72 años 19. ¿Cuántos años tardaría, un depósito de S/. 7 900 hecho ahora más un depósito de S/. 15 8000 hecho dentro de tres años para acumular S/. 50 000 a una tasa de interés de 25%? i = 25% F1 = P1 (1+i) n F1 = 7900 (1+0, 25)3 F1 = 15429, 69 P3 = 15429, 69

P 4 = P2 + P3 P4 = 15800 + 15429, 69 P4 = 31229, 69

F2 = P4 (1+i) n-3 50000 = 31229, 69 (1+0, 25) n-3 ln (1,60104) = ln (1,25)n-3 INGENIERÍA INDUSTRIAL

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Análisis Económico

n – 3 = 2,1 n = 5,1 año 20. Un grupo de inversionistas, está considerando las cualidades atractivas de la compra de una propiedad por 1800000 nuevos soles. El grupo prevee que el valor de la propiedad aumentará a S/. 3500000 en cinco años. ¿Cuál es la tasa de retorno de la inversión? Solución P = S/ 1 800 000 F = S/. 3500 000 n = 5 años i=¿ F = P (1+ i)n 3500000 = 1800000 ( 1 + i)5 1 + i = 5 1,9444 i = 0,1422 i = 14,22% 21.- Puede adquirirse una herramienta mediante un paso inicial de 4000 nuevos soles y cuatro pagos de 2000 nuevos soles que deberán efectuarse al principio de los cuatro años siguientes. Cuando vence el segundo paso de 2000 nuevos soles, la compañía decide pagar el resto de la obligación en una suma global. ¿Qué cantidad resultaría aceptable para la compañía si su tasa mínima requerida de rendimiento es 35%? Solución

F6

F3

F5

F2

F4

F1

P = 4000

A

A

A

A = 2000

0

1

2

3

4

i = 35% F1 = P ( 1 + i)n F1 = 4000 ( 1 + 0,35)4 F1 = 13 286,025 INGENIERÍA INDUSTRIAL

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

Análisis Económico



A (1  i) n  1 i 2000 (1  0,35)4  1 F2  0,35 F2  13265,75

F2 





F3 = F1 + F2 F3 = 26551,775 (Deuda total) Luego de dos años: F4 = 4000 (1,35)2 F4 = 7290



2000 (1,35) 2  1 0,35 F5= 4700

F 5=



F6 = F4 + F5 F6 = 11990

El resto de la deuda es: F3 – F6 = 14561,775 22. Una compañía de seguro social particular, tiene un programa de jubilación en el cual los trabajadores inscritos invierten S/. 6000 anuales durante 30 años, empezando un año después del inicio de sus labores. Si la compañía garantiza la suma de S/. 360000 en el momento de jubilarse ¿Cuál es la tasa de retorno de la inversión? Solución A = 6000 n = 30 años F = 360 000 i=¿

F = A ( F/A) in 360000 = 6000 (F/A) i30 60 = (F/A) i30 0 , 045

61,007 ) (F/A)30

0 , 040

56,085 = (F/A) 30

Interpolando: 61,007 ----- 4,5% 60 ----- I 56,085 ------ 4% i4 60  56,085  4,5  4 61,007  56,085 i 4,398

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Análisis Económico

23. Hace 3 años un estudiante tomó a préstamo S/. 40000 para financiar sus estudios, comprometiéndose a rembolsar el préstamo en 100 plazos a un interés del 3% mensual. Acaba de recibir una herencia y desea pagar de una sola vez el remanente de la deuda. ¿Cuánto debe actualmente, para efectuar el pago 24 ¿Cuál es la cantidad mínima de años durante los cuales una persona debe depositar S/. 500 por año. Con el objeto de tener por lo menos S/. 150000 en la fecha de su último depósito? Use una tasa de interés del 35% y redondee el año al número entero más alto. Solución F=A (F/A)n0.35 150000=8500(F/A)n0.35 17.64706= (F/A) n0.35 6 14.738 x 17.647 7 20.492 (6-x)/(6-7)=(14.438+17.647)/(14.438-20.492) 6-x=0.53 x=6.53  7 años 25. ¿Cuanto pagaría como máximo al contado por un carro que se ofrece en venta con la siguiente forma de pago: S/. 30 000 de cuota inicial y 24 cuotas mensuales de S/. 50 000 c/u?. Se asume una capitalización mensual del 3%. Datos: inicial  30000

A  50000 i  3% n  24 P? Solución: Trabajando con las amortizaciones sin tener en cuenta la cuota inicial: Hallando F :

0.03 24 Aplicando tablas : F  50000 * 34 .426 F  1721300 F  A( F / A)

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Análisis Económico

Hallando P : 0.03 P  A( P / A) 24 Aplicando tablas : P  1721300 * 0.4919 P  846707 .47 Este valor de P seria trabajando solo con las amortizaciones, como nos pide cuanto debemos de pagar como máximo por el precio del carro al contado, debemos de sumarle la cuota inicial: P real  846707 .47  Cuota Inicial P real  846707 .47  30000 Rpta : P real  876707 .47 26.Una compañía le paga a un inventor 500000 nuevos soles de regalías al final de cada año por el uso de una patente que tiene 12 años de futuro. Suponiendo que las regalías sigan siendo abonados en esa tarifa anual ¿Qué suma le podría ofrecer la compañía al inventor si la taza aceptable de rendimiento para la compañía es de 45%?, ¿Es este precio favorable para la compañía o para el inventor?

P=? A A A A A A A

0

1

2 3

4 5 6

A A A A A

7 8

9 10 11 12

A=500000, i=45% i 0.45   P  A P A n  P  500000 P A12 P=500000(2.196) P=S/. 1098000 27. Demostrar ¿Cómo puede determinar el valor numérico de un factor de recuperación de capital (A/P) si la única tabla disponible es la que proporciona: a. (P/F) b. (A/F) c. (F/A) 28. Demostrar que las igualdades representan el valor numérico de un factor de recuperación de capital (A/P) si la única tabla disponible es la que proporciona el factor a. (P’/ A) - (P /F) = (P/A) b. (A /P) - i = (A / F) c. (F /A) + (F/ P) = (F/A)

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a)

Análisis Económico

i i i (P / A)n  (P / F )n  (P / A )n 1

1  i) n  1 1 (1 i ) n1  1   i (1  i) n i (1  i )n 1 (1  i )n (1  i)n  1  i (1  i) n  (1  i )  1 1  i (1  i ) n i (1  i)n  (1  i ) 1 (1  i) n 1 (1  i)n  1  i (1  i )  i (1  i ) n i (1  i )n (1  i) (1  i)n  1  i (1  i)n  1  i  i (1  i ) n i (1 i )n b)

( A / P)in  i  ( A / F )in Sabemos que:

( A / F ) in  i  ( A / P ) in

( A/ F )

i n



 i  i  ( A / F )in

( A/ F)  ( A/ F)in i n

c)

(1 i )n 1  1 (1  i) n 1  (1  i )n  i i n n (1  i) 1  i(1  i) (1  i) n(1  i) 1  i i n n (1 i ) (i  1) (1  i ) (1  i )  1  i i (1  i) n( i  1) (1  i) n( i  1)  i i

29. ¿Qué gasto anual durante 15 años sería equivalente a gastar 10000 nuevos soles al cabo del primer año, 20000 nuevos soles al cabo de cuatro años y 30000 nuevos soles al cabo del octavo año, si el interés es del 30% anual? Solución F=P1+P2+P3 INGENIERÍA INDUSTRIAL

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Análisis Económico

F=P1 (F/P1)1430% + P2 (F/P2)1130% + P3 (F/P3)730% F=10000(39.374) +20000(17.922) +30000(6.275) F=393740+358440+188250 F=940430 A=F (A/F)1530% A=940430(0.006) A=5642.58 30. Una pequeña compañía refinadora firma un contrato para adquirir materias primas con el a cuerdo de pagar S/. 60 000 ahora y S/. 15 000 anuales comenzando al final del quinto año. El contrato tiene una duración de 10 años, al final del tercer año, debido que los beneficios inesperados. Al final del tercer año debido a beneficios inesperados, la compañía permite que se haga un pago único para liquidar por anticipado el resto de al deuda.Ambas partes acuerdan que el 25% anual es un tipo de interés justo ¿Cuál es el importe de la suma única que se debe pagar? Solución A

P1 = 600000

A

A

A

A

P2

0

1

2

3

F3 F2 F1 4

5

6

7

8

9

10

i =25%

F 3  F1  F 2 0, 25 F3  P1 ( F / P)10  A( F / A) 50, 25 F3  6000(9,313)  15000 (8,207 )

F  35408 31. Si tenemos que pagar una deuda de S/. 6 000 anuales durante los primeros cinco años, los 8 años siguientes con 12 000 nuevos soles anuales. Por ciertos imponderables se debe pagar en un solo pago al finalizar el tercer año de comenzar a pagar la deuda.¿ cual será el monto que se debe pagar si la tasa de interés es del 25%?

A1 A1 A1 A1 A1 A1

0

1

2

3

4

5

A2 A2 A2 A2 A2

A2

A2

7

12

13

6

INGENIERÍA INDUSTRIAL

8

9

10 11

A2 =1 200

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Interés Compuesto

F1  A1 ( F / A) 50, 25 F1  6000 (8, 207 ) F1  49242 P1  49242

Análisis Económico

F3  P1 (1  i) n F3  49242 (1,25) 8

F2  A2 ( F / A) 08, 25 F2  12000 (19,842 )

F3  293505 ,19

F2  238104

F4  F3  F2 F4  531609

32. ¿Qué significa el termino valor del dinero en el tiempo? Debemos de tener en cuenta que el dinero tiene como función primordial la intermediación en el proceso de cambio, razón por la cual su empleo puede ser en la actualidad o en un futuro previsto. El dinero invertido, en un futuro gana intereses a como retribución. 33. Calcule la cantidad de interés por pagar después de 1 año de sobre préstamo de $ 5 000 si el interés es 8% anual. ¿Cuál es el periodo de interés?

P = $. 5000

I=? n=1 año

0

1 i=8%

F= P F P10.08  F=5000(1.080)  F=S/. 5400 I=F-P I=5400-5000 I=$400

Período de 1 año.

34.Cual fue ka cantidad del préstamo si la tasa de interés es 1.5 % mensual y el prestatario acaba de hacer el primer pago mensual de $ 25 de interés. Solucion P = ?n G i = 1.15% mensual I = 25

I = P*i*n 25 = P*1*1.5 P = 1666.6

35. ¿Cuál de las siguientes alternativas tiene una mejor tasa de retorno: $ 200 invertidos durante 1 año con $ 6.25 pagados en interés o $ 500 invertidos durante 1 año con $ 18 pagados en interés? P  $200

P  $500

I  $6.25 n  1año

I  $18 n  1año

i ?

i ?

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Análisis Económico

F  P(1  i ) n

F  P (1  i ) n 200  6.25  200(1  i) i  3.125%

1

500 18  500(1  i) i  3.6%

1

RPTA: La segunda alternativa es la que tiene mejor tasa de retorno, 3.6% 36. ¿A que tasa anual de interés equivalen $ 450 hace un año y & 550 dentro de un año Solución 550 = 450(1+i )2 I = 10.55% 37. Starbust Inc. Empleo $50 000 en una inversión conjunta en el exterior hace apenas un año y ha reportado una utilidad de $7 500. ¿Qué tasa anu...