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MATEMÁTICAS FINANCIERAS

TEMA:

INTERÉS

COMPUESTO

CONTINUO

1. Interés Compuesto Continuo 2. Monto Compuesto a Capitalización Continua 3. Equivalencia entre Tasas de Interés Compuesto Discreto y Continuo 4. Equivalencia entre Tasa de Interés Simple y Tasa de Interés Compuesto Continuo 5. Resumen de Fórmulas Relativas al Interés Compuesto Continuo

AUTOR:

Tulio A. Mateo D Duval uval

Santo Doming Domingo, o, D. N. Rep. Dom.

Tulio A. Mateo Duval

Interés Compuesto Continuo

MATEMÁTICAS FINANCIERAS ■

INTERÉS COMPUESTO CONTINUO

Ya es sabido que para una tasa de interés nominal constante, si la frecuencia de capitalización aumenta, concomitantemente el monto compuesto resultante también aumenta. Cuando la frecuencia con la que el interés se capitaliza crece indefinidamente, se habla de que los intereses generan intereses en forma continua 1 , llamándosele interés compuesto continuo al que se calcula de ese modo. Al trabajar con esta modalidad de interés, el monto compuesto no tiende a ser infinitamente grande como a veces se piensa, sino que tiende a acercarse a un valor límite.

Deducción de la Fórmula del M Monto onto Compuesto a Ca Capitalización pitalización Continua Consideremos como punto de partida la fórmula del monto compuesto:

S  P (1  i ) n

(A )

Donde “S ” es el monto compuesto o valor futuro de un capital inicial “P ”, “i ” es la tasa de interés por periodo de capitalización y “n “ es el número total de periodos de capitalización. Tomando en cuenta las fórmulas

i 

j

y

n  m .t , se puede expresar la ecuación (A ) de la siguiente

m

forma:

S  P (1  j m ) m t

(B )

Donde " j " es la tasa de interés compuesto anual, " m " la frecuencia de capitalización y " t " el tiempo o plazo (en años). Si hacemos v 

m , de donde: m  v j y sustituimos en (B ) , se obtiene: j

S  P (1  1 v ) v j t

(C )

La ecuación (C ) se puede expresar también como:

S  P [ (1  1 v ) v ] j t La capitalización continua se da cuando la frecuencia de capitalización

" m " aumenta en forma indefinida; es

decir, cuando " m " tiende a infinito ( m   ) . Si " m " tiende a infinito, entonces "v " también tiende a infinito y, en ese escenario, el monto vendría dado por:

li m S  li m P [ (1  1 v )v ] j t  P li m [ (1  1 v )v ] j t v 

De donde:

v 

v

S  P [ li m (1  1 v )v ] j t v 

1

Capitalización continua significa que el interés se capitaliza a cada instante.

1

Tulio A. Mateo Duval

Interés Compuesto Continuo

Como se demuestra usando el cálculo diferencial que lim (1 1 v)v  e, donde “e “ es la base de los logaritmos v 

naturales, entonces se concluye en que:

j .t S  P .e c

FÓRMULA MONTO COMPUESTO CONTINUO

Esta fórmula [1] permite obtener el monto compuesto de un capital se capitaliza continuamente 2 durante "t " años.

[1]

" P " a una tasa compuesta anual " j " que

El interés compuesto generado a capitalización continua se obtiene mediante la fórmul a:

I  SP

INTERÉS COMPUESTO CONTINUO

[2]

O bien directamente, con la fórmula que resulta al sustituir a " S " de la fórmula [1] en la fórmula [2]:

j .t I  P.e c  P I P

e

j .t c

1



INTERÉS COMPUESTO CONTINUO

[3]

La determinación del capital (o valor actual), del tiempo y de una tasa nominal capitalizada continuamente se efectúa partiendo de la fórmula [1]:

j .t S  P .e c

Despejando se tiene: 1) Valor Actual

P

e 2) Tiempo

t

 jc . t S  S.e jc . t

 P

[4]

Ln S jc

[5]

3) Tasa Anual de Interés Capitalizable Continuamente

jc 

2

 P

Ln S

t

[6]

Como la capitalización es continua, entonces el capital crece de manera exponencial.

2

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Interés Compuesto Continuo

▶ Ejemplo 1 Si Oscar Balbuena depositó $32,000.00 al 9% anual capitalizable continuamente, determine el monto y el interés total ganado al cabo de 2½ años. SOLUCIÓN: P = $32,000.00

jc = 9%

t = 2.5 años

S=?

I=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtiene:

S  32,000  e 0.09  2.5  $40,074 .33 La determinación del interés total ganado se efectúa sustituyendo los valores conocidos de fórmula [2]:

" S " y " P " en la

I  40,074.33  32,000  $8,074.33

▶ Ejemplo 2 Marcos Alegría le presta a un amigo $70,000.00 por 9 meses, cobrándole un 15% anual convertible bimestral. Al finalizar ese plazo, deposita el monto obtenido en una cuenta de ahorros que abona el 14.5% compuesto continuamente. Determine qué monto acumulará el Sr. Alegría al cabo de 24 meses. SOLUCIÓN: 1er. Tramo P = $70,000.00

j = 15%

m=6

n  0.75  6  4.5 bimestres

i = 15/6= 2.5% bimestral

t = 0.75 años

S=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula del monto compuesto

S  P (1  i )n , se obtiene:

S  70 ,000 (1  0.025 ) 4.5  $78, 226 .78

2do. Tramo P = $78,226.78

jc = 14.5%

t = 24 – 9= 15 meses = 1.25 años

S=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtiene: 0. 145 1. 25  $93,771 .60 S  78,226 .78  e

▶ Ejemplo 3 ¿Qué cantidad habría que invertir ahora a una tasa del 26.5% compuesto continuamente, para disponer de $65,000.00 dentro de 6 meses? SOLUCIÓN: S = $78,226.78

jc = 26.5%

t = 6 meses = 0.5 años

P=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene:

P  65, 000  e0.265 0.5  $56 ,933 . 69 3

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Interés Compuesto Continuo

▶ Ejemplo 4 Cesar Luzón vende un automóvil recibiendo un pago inicial y un pagaré por $230,000.00 con intereses al 24% anual convertible trimestral y vencimiento en 18 meses. A los tres meses de realizar la transacción, el Sr. Luzón descuenta el pagaré en su banco en base a un 25% compuesto continuamente. Obtenga el valor líquido del pagaré.

t = 18 m. = 1.5 años

P= $230,000

S j = 24%

m=4

3

0

i = 6% 18 meses

jc = 25%

Pd = ?

t = 15 m. = 1.25 años

SOLUCIÓN: P = $230,000.00 j = 24% m = 4

i = 24 / 4 = 6% trimestral

n = 1.5  4 = 6 trimestres

t = 18 m. = 1.5 años

S=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula del monto compuesto vencimiento del pagaré:

S  P (1  i ) n , se obtiene el valor al

S  230 ,000 (1  0.06 )6  $326 ,259 .40 Para la operación del descuento, tenemos: S = $326,259.40 jc = 25%

t = 18 – 3 = 15 meses = 1.25 años

Pd = ?

Luego, mediante la fórmula [4] se obtiene el valor líquido del pagaré:

Pd  326 ,259 .40  e  0.251.25  $238 ,696 .48

▶ Ejemplo 5 ¿En cuánto tiempo (meses) se saldó un préstamo de $90,000.00 con intereses al 27.5% compuesto continuamente, si se liquidó con un único pago de $105,660.00? SOLUCIÓN: P = $90,000.00

S = $105,660.00

jc = 27.5% anual = 0.275 / 12 meses

t=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [3], se obtiene:

t 

l n (105 ,660 90 ,000 )  7 meses (0.275 12 meses )

4

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▶ Ejemplo 6 ¿Qué tasa anual capitalizada continuamente abonaba una cuenta de ahorros, si un depósito de $58,000.00 se capitalizó hasta alcanzar la suma de $71,720.48 en un plazo de 13 meses? SOLUCIÓN: P = $58,000.00

S = $71,720.48

t = 13 meses = 13 / 12 años

jc = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se obtiene:

jc 

l n ( 71,720 .48 58 ,000 ) 0.196   19 .6 % anual año (13 12 ) años

Equivalencia entre Tasas de Interés Compuesto Discreto y Continuo 3 Se dice que dos tasas anuales de interés compuesto, una capitalizada “m ” veces por año y la otra capitalizada continuamente, son equivalentes si, al invertir dos capitales iguales, se alcanzan montos compuestos iguales al cabo del mismo plazo. Si se invierte un capital " P " a un tiempo de "t " años y a una tasa anual de interés compuesto discreto " j " capitalizable "m " veces por año, el monto compuesto resultante " S " será:

S  P (1  j m )

mt

De igual forma, si se invierte el mismo capital

(A )

" P " a un tiempo de " t " años y a una tasa anual de interés

compuesto continuo " jc " , el monto compuesto resultante " S c " se obtiene mediante la fórmula [1]:

Sc  P e jc t

(B )

Para tasas equivalentes resultarán iguales (A ) y (B ) :

P (1  j m ) m t = P e

jc t

(C )

Si ambos miembros se dividen entre “P ” y se elevan a “1/ t “, se tiene:

(1  j m ) m =

e jc

(D )

Despejando a " jc " se obtiene la fórmula que permite hallar una tasa anual de interés compuesto continuo, equivalente a una tasa anual de interés compuesto discreto " j " capitalizable "m " veces por año:

jc  m [ L n ( 1  j m ) ]

[7]

3

Tasa de interés discreta es aquella que se aplica cuando el periodo de capitalización es una variable discreta, es decir, cuando el periodo se mide en intervalos fijos de tiempo, tales como años, semestres, meses, días, etc. Cuando el periodo de capitalización es infinitamente pequeño se habla de una tasa de interés continuo.

5

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Igualmente si se procede con ambos miembros de la igualdad ( D ), elevándolos a “1/m “, restándoles la unidad y luego multiplicándolos por "m " , se obtiene la fórmula con la cual se calcula una tasa anual de interés compuesto discreto " j " capitalizable "m " veces por año, equivalente a una tasa anual de interés compuesto continuo " jc " :

 j m  j  m  e c  1  

[8]

De la misma manera que las demás tasas de interés compuesto, la tasa nominal capitalizada continuamente

" j c " también tiene su correspondiente tasa efectiva. Se le llama tasa efectiva " j e " a la tasa de interés capitalizada una vez por año que produce el mismo monto compuesto en un año que la tasa anual capitalizada continuamente " jc " . En consecuencia, para lograr una expresión para la tasa efectiva " j e " obteniéndose:

je  e

jc

basta con hacer " m  1" en la fórmula [8],

1

[9]

▶ Ejemplo 7 ¿Qué tasa nominal capitalizable continuamente es equivalente a un 19% anual convertible trimestralmente? SOLUCIÓN: j = 19%

m=4

jc = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [7], se obtiene:

jc  4 [ l n (1  0.19 4 ) ]  0.185625 18 .5625 %

▶ Ejemplo 8 ¿Qué tasa capitalizable mensualmente es equivalente a un 21% anual capitalizable continuamente? SOLUCIÓN: jc = 21%

j=?

m = 12

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [8], se obtiene:

j  12 [ e 0.21 12  1]  0.211848  21 .1848 %

▶ Ejemplo 9 ¿Cuál es la tasa efectiva correspondiente a un 26% anual capitalizable continuamente? SOLUCIÓN: jc = 26%

je = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [9], se obtiene:

je  e 0.26  1 0.29693  29 .693 %

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Equivalencia entre Tasa de Interés Simple y Tasa de Interés Com Compuest puest puesto o Continu Continuo o Se dice que una tasa de interés simple y una tasa de interés compuesto continuo son equivalentes si al invertir dos capitales iguales, uno de ellos a la tasa de interés simple y el otro a la tasa de interés compuesto continuo, alcanzan igual monto al cabo del mismo periodo de tiempo. Si se invierte un capital " P " a una tasa de interés simple anual " is " y por un tiempo de " t " años, el monto resultante " Ss " se obtiene mediante la fórmula del monto simple:

S s  P (1  i st )

(A )

Asimismo, si se invierte el mismo capital " P " a un tiempo de "t " años y a una tasa anual de interés compuesto continuo " j c " , el monto compuesto continuo " Sc " alcanzado se obtiene mediante la fórmula del monto compuesto continuo: j t

Sc  P e c

(B )

P (1  is t )  P e jc t

(C )

Igualando (A ) y (B ) , se tiene:

Dividiendo ambos miembros entre " P " y despejando a " is " , se obtiene la fórmula que permite hallar una tasa de interés simple anual, equivalente a una tasa de interés compuesto continuo conocida:

 e j c . t  1    is  

[10]

t

Igualmente si en la igualdad (C ) se dividen ambos miembros entre " P " y se despeja a " j c " , se obtiene la fórmula que permite hallar una tasa de interés compuesto continuo, equivalente a una tasa de interés simple conocida:

jc 

Ln1  is .t 

[11]

t

▶ Ejemplo 10 ¿Qué tasa de interés simple anual es equivalente a un 28% anual capitalizable continuamente para un plazo de 2½ años? SOLUCIÓN: jc = 28% anual

t = 2.5 años

is = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [10], se obtiene:

is 

(e 0.28 2.5  1)  0 .4055  40 .55 % anual 2. 5

7

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▶ Ejemplo 11 ¿Qué tasa de interés compuesto continuo es equivalente a una tasa de interés simple anual del 17.5% para un periodo de 9 meses? SOLUCIÓN: is = 17.5%

t = 9 meses = 0.75 años

jc = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se obtiene:

jc 

l n (1  0.175  0.75)  0.164431 16.4431 % anual 0.75

▶ Ejemplo 12 ¿Qué resulta más ventajoso para una inversión a 3 años: colocar el capital al 22% simple anual o al 16.75% compuesto continuamente? SOLUCIÓN: Para realizar la comparación se deben tener las 2 tasas expresadas en la misma forma. Por tanto, se obtendrá una tasa compuesta continuamente que sea equivalente al 22% simple anual.

is = 22%

t = 3 años

jc = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se obtiene:

jc 

l n (1  0.22  3)  0.168939  16.8939 % 3

Como: 16.8939 % RESPUESTA :



16.75%

Conviene invertir al 22% simple anual.

8

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9...