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PRÁCTICABLANCA ROSA VITALE Universidad de Buenos AiresFacultad de Ciencias EconómicasÍNDICE La variable normal La variable de Poisson La variable Gamma La variable ji-cuadrado La variable “t” La variable F Unidad III: Introducción a la inferencia1. Los tres teoremas fundamentales de la probabilidad ...

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ESTADÍSTICA PRÁCTICA

BLANCA ROSA VITALE Universidad de Buenos Aires Facultad de Ciencias Económicas

ESTADÍSTICA ÍNDICE 

Programa Analítico .................................................................................................................2

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Bibliografía ..............................................................................................................................4

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Práctica 1 – Problemas de Conteo ..........................................................................................5

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Práctica 2 – Probabilidades.....................................................................................................7

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Práctica 3 – Variables Aleatorias..........................................................................................13

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Práctica 4 – Distribuciones Especiales .................................................................................23

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Práctica 5 – Aproximaciones ................................................................................................31

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Práctica 6 – Función Generatriz de Momentos ...................................................................34

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Práctica 7 – Estadística Descriptiva......................................................................................37

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Práctica 8 – Distribuciones en el muestreo ..........................................................................44

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Práctica 9 – Estimadores Puntuales .....................................................................................47

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Práctica 10 – Estimación por Intervalos de Confianza........................................................50

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Práctica 11 – Test de Hipótesis .............................................................................................59

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Práctica 12 – Modelo Lineal .................................................................................................69

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Práctica 13 – Números Índice ...............................................................................................72

1

ESTADÍSTICA I. PROGRAMA ANALÍTICO Unidad I: Introducción a la Teoría de la Probabilidad 1. Introducción al concepto de probabilidad 1.1. La noción de aleatoriedad 1.2. La naturaleza de la probabilidad 1.3. Distintas interpretaciones del concepto de probabilidad 1.3.1. La interpretación clásica 1.3.2. La interpretación frecuencista 1.3.3. La interpretación subjetivista 2. Axiomas y teoremas básicos 2.1. La axiomática clásica 2.2. El teorema de la probabilidad total 2.3. El teorema de la probabilidad compuesta 2.4. La relación de independencia estocástica entre eventos Unidad II: Las distribuciones de probabilidades 1. La teoría general de las variables aleatorias 1.1. Las variables aleatorias unidimensionales 1.1.1. Definición 1.1.2. Las variables aleatorias unidimensionales discretas 1.1.3. Las variables aleatorias unidimensionales continuas 1.2. Las variables aleatorias de más de una dimensión 1.2.1. Las variables aleatorias multidimensionales discretas 1.2.2. Las variables aleatorias multidimensionales continuas 1.3. La independencia de las variables aleatorias 1.4. Los momentos de una variable aleatoria 1.4.1. Definición 1.4.2. Clasificación de los momentos 1.4.2.1.Momentos absolutos 1.4.2.2.Momentos centrados 1.4.2.3.Momentos mixtos 1.4.2.4.Covarianza 1.4.3. La esperanza matemática 1.4.4. La esperanza matemática condicionada 1.4.5. La varianza 1.4.6. La covarianza 1.4.7. El coeficiente de correlación lineal 1.4.8. La asimetría 1.4.9. La curtosis 1.5. La convergencia de las variables aleatorias 1.5.1. La convergencia en distribución 1.5.2. La convergencia en probabilidad 1.6. La función generatriz de momentos 2. Variables aleatorias especificas 2.1. El esquema de pruebas repetidas 2.1.1. La variable binomial 2.1.2. La variable multinomial 2.1.3. La variable hipergeométrica 2

ESTADÍSTICA 2.2. La variable normal 2.3. La variable de Poisson 2.4. La variable Gamma 2.5. La variable ji-cuadrado 2.6. La variable “t” 2.7. La variable F Unidad III: Introducción a la inferencia 1. Los tres teoremas fundamentales de la probabilidad y el proceso de formación de la inferencia inductiva 1.1. La ley de los grandes números 1.2. El teorema central del límite 1.3. El teorema de Bayes 2. Los fenómenos observables repetidamente en igualdad de condiciones 2.1. Conceptos de población y muestra 2.2. Métodos de muestreo 2.3. Conceptos de parámetro y estimador 2.4. Tratamiento de la información numérica obtenida a partir de una muestra 2.4.1. Agrupamiento y presentación de datos 2.4.2. Análisis de las características de un conjunto de observaciones 2.5. Estimación puntual 2.6. La estimación por intervalos 2.7. La teoría clásica de los tests de hipótesis Unidad IV: Los fenómenos dinámicos 1. Las series cronológicas 1.1. Concepto de serie cronológica 1.2. El criterio de los cuadrados mínimos 1.3. Análisis de un fenómeno dinámico por descomposición en factores periódicos y no periódicos 1.3.1. El factor tendencia-ciclo 1.3.2. La estacionalidad: medición, los métodos de desestacionalización 2. Los números índice de precios y cantidades 2.1. Métodos para la construcción de números índice 2.2. La metodología utilizada por el INDEC para la construcción del Índice de Precios al Consumidor (IPC) 2.2.1. El verdadero índice de costo de vida 2.2.2. Índices de precios con ponderaciones constantes 2.2.3. Índices de precios con ponderaciones variables 2.3. Nociones sobre la teoría estructural de los índices de precios 2.4. La utilización de los números índice en la eliminación de externalidades que pueden afectar a las series cronológicas 3. Correlación y Regresión 3.1. El coeficiente de correlación lineal 3.2. La recta de regresión 3.2.1. Los supuestos de Gauss-Markov 3.2.1.1.El cálculo de los coeficientes mediante el criterio de los cuadrados mínimos 3.2.1.2.La estimación de los coeficientes 3.2.1.3.La descomposición de la varianza del fenómeno 3

ESTADÍSTICA

II.

BIBLIOGRAFÍA

 Berenson M.L., Levine D.M.: “Estadística para administración y economía”, Mc Graw Hill, 1994.  Hildebrand, D.K., Lyman-Ott R.: “Estadística aplicada a la administración y a la economía”, Addison-Wesley Iberoamericana, 1997.  Johnson, J.: “Métodos de econometría”, Editorial Vicens, 1975.  Landro, Alberto: “Acerca de la probabilidad”, Ediciones Cooperativas, 2000.  Mason, Lind, Marchal: “Estadística para Administración y Economía” 10ª edición, AlfaOmega.  Toranzos, F.I.: “Teoría estadística y aplicaciones”, Ediciones Macchi, 1997. Bibliografía adicional (recomendada)  Canavos George: “Probabilidad y Estadística: aplicaciones y métodos”, Mc Graw Hill, 1992.  Chou Ya-Lun: “Análisis estadístico”, Mc Graw Hill, 1993.  Devore J.L.: “Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias”, International Thomson Editores, 1998.  Mendenhall W., Reimuth J.E.: “Estadística para administración y economía”, Grupo Editorial Iberoamérica, 1981.  Meyer P.L.: “Probabilidad y aplicaciones estadísticas”, Fondo Educativo Interamericano, 1973.

4

ESTADÍSTICA Práctica 1 – Problemas de Conteo 1) El sistema de evaluación para una materia que se dicta en nuestra facultad contempla tres posibilidades: promocionar, rendir final o desaprobar. a) Construir un árbol que contemple todos los casos posibles de rendimiento en un cuatrimestre en el que se cursan 3 materias. ¿De cuantas maneras puede un alumno concluir el cuatrimestre? b) Suponga que la carrera está conformada por treinta y siete materias y que se intenta evaluar el resultado al final de cada materia (no se cuentan materias recursadas ni finales rendidos). ¿De cuantas maneras posibles puede un alumno concluir las treinta y siete materias? c) El régimen anterior de evaluación solo contemplaba dos posibilidades: promocionar o desaprobar. Recalcule los puntos a) y b) bajo estas condiciones. d) De manera general: Suponga n materias y r resultados posibles. ¿Cuantos resultados podrían calcularse? 2) Una empresa busca estudiantes de Ciencias Económicas para ocupar 3 puestos diferentes. Para ello, publica un aviso en un periódico y recibe 10 respuestas. a) ¿De cuantas maneras diferentes pueden ocuparse esos tres puestos? Representar todas las posibilidades que pueden ocurrir mediante un diagrama de árbol. b) ¿Qué resultado se obtendría si hubiera que cubrir cuatro puestos diferentes? c) ¿Y si se recibieran 11 respuestas (para 3 y 4 puestos)? d) De manera general: Suponga n respuestas y r puestos diferentes. ¿Cuantos resultados podrían calcularse? 3) En una mano de truco cada jugador recibe tres cartas de un juego de 40 barajas españolas. a) ¿Cuántos juegos distintos de tres cartas pueden formarse? b) Recalcular el punto anterior si un jugador hace trampa y recibe cuatro cartas. c) Recalcular el punto a) si se juega con un mazo de 52 cartas. d) De manera general: Suponga n cartas y juegos de r cartas. ¿Cuantos resultados podrían calcularse? 4) En un juego de cartas, se reciben cuatro de un mazo de 52. a) ¿Cuántos juegos pueden armarse con exactamente un trébol? b) ¿Con al menos un as? c) ¿Con un as y un trébol exactamente? d) ¿Con un as o (incluyente) un trébol? 5) En el consorcio de un edificio de 20 departamentos hay un presidente, un secretario general y un tesorero. ¿De cuantas maneras distintas puede estar compuesta esta comisión, suponiendo que una persona de cada departamento participa de la reunión y que todos pueden ser elegidos? 6) En un plantel de fútbol profesional hay 22 jugadores, de los cuales 3 son arqueros, 8 son defensores, 7 son mediocampistas y 4 delanteros. a) Suponiendo que los jugadores solo se desempeñan en su zona del campo de juego y que el esquema de juego es 1-4-4-2 (un arquero, 4 defensores, 4 mediocampistas y 2 delanteros), ¿de cuantas maneras diferentes puede formarse el equipo? Considere que el lado del que juegan es indistinto. b) ¿Y si el esquema fuera 1-4-3-3? Considere que el lado del que juegan es indistinto. 7) El juego de Loto consiste en acertar 6 números de 44 y el Telekino, 15 de 25. ¿Cuál de los juegos admite más resultados diferentes? Si solo gana una combinación, ¿con cuál juego tengo más posibilidades de ganar? 5

ESTADÍSTICA

8) En un examen parcial se toman 4 preguntas seleccionadas de entre 15 temas diferentes. a) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden diseñar los exámenes parciales? b) Si un alumno solo estudió 8 temas, ¿cuántos parciales pueden diseñarse en los que el alumno solo sepa un tema? c) ¿Y en los que sepa todos los temas evaluados?

Respuestas Práctica 1

1) a) 27

b) 337  450283905890997363

c) 8 y 2 37  137438953472

2) a) 720

b) 5040

c) 990 y 7920

d)

n!  n Pr  ( n r )!

3) a) 9880

b) 91390

c) 22100

d)

 n n!  C   ( n  r )!r ! n r  r 

4) a)118807

b) 76145

c) 29820

d) 136920

d) r n

5) 6840 6) a) 50803200

b) 25401600

7) Loto = 7059052

Telekino = 3268760, el más probable es Telekino

8) a) 1365

b) 280

c) 70

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ESTADÍSTICA Práctica 2 – Probabilidades 1) Una empresa dedicada a la venta de productos pata el hogar cuenta con 200 empleados, entre hombres y mujeres, y los clasifica según sus rendimientos de la siguiente forma: Mujeres Hombres Total

Rendimiento Bueno 70 55 125

Rendimiento Regular 40 35 75

Total 110 90 200

a) Hacer el Diagrama de Venn. b) Definir los sucesos y hallar sus respectivas probabilidades. c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea Hombre y tenga Buen Rendimiento? d) ¿Son los sucesos del punto c) mutuamente excluyentes? ¿Por qué? e) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea Mujer o tenga Buen Rendimiento? f) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar no sea Hombre o no tenga Buen Rendimiento? 2) A y B son sucesos relacionados con el experimento aleatorio E. Las probabilidad P(A), P(B) y P(AB) son dadas. Hallar, en función de estas, las expresiones de las probabilidades para los siguientes sucesos: a )A’  B’b )A’  B’ c ) A’  B

d )A’  B

e ) A  B’ f ) A  B ’

h )A  A  B

g ) A’   A  B 

3) Sean A1, A2 sucesos independientes, demostrar que p  A1  A2   1  p  A1  p A2  4) Un comercio tiene 150 clientes, de los cuales 30 son morosos. Si se tiene una ficha por cada cliente y se extrae al azar una de ellas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a un cliente moroso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a un cliente no moroso? 5) ¿Cuál es la probabilidad de acertar un pleno en la ruleta y las dos últimas cifras del primer premio de la lotería? La ruleta tiene 37 números y la lotería, 4 números. 6) Una empresa cuenta con 60 trabajadores de los cuales 50 son operarios. Entre los empleados administrativos hay 8 mujeres; entre los operarios hay 38 hombres. Si se elige un trabajador al azar, la empresa quiere saber la probabilidad de que: a) sea operario. b) sea empleado administrativo y mujer. c) siendo operario, sea hombre. d) sea mujer u operario. e) sea operario y empleado administrativo. 7) Demostrar que P ( A / B )  P ( A '/ B )  1 con P ( B )  0 8) La probabilidad de que un hombre de 70 años de edad muera durante el próximo año es de 0,03318 y la de un hombre de 71 años es de 0,03626. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre de 70 años viva los próximos 2 años? Suponer ambos sucesos independientes. 7

ESTADÍSTICA 9) Una empresa productora de automóviles vende dos tipos de modelos, coupé y 4 puertas, y los distribuye alrededor del mundo de la siguiente Coupe 4 Puertas Total manera: 120 180 MERCOSUR 300 NAFTA Unión Europea Total

20 80 220

92 8 280

¿Cuál es la probabilidad de que: a) un auto de esta empresa sea adquirido por un europeo? b) un auto vendido al MERCOSUR sea Coupe? c) un auto 4 puertas no haya sido vendido al NAFTA? d) un auto haya sido vendido al NAFTA o al MERCOSUR o a la Unión Europea?

112 88 500

10) La probabilidad de que una prenda textil tenga una falla de fabricación es de 0,15. Un inspector del rubro debe verificarlas. Para ello obtiene una muestra de 5 unidades, si encuentra 2 o más prendas con falla, aplica una multa a la fábrica. Calcular la probabilidad de que: a) le aplique una multa. b) no le aplique una multa. c) la primera prenda fallada sea la tercera que obtiene. d) no encuentre ninguna prenda fallada en esa muestra. 11) La probabilidad de que un hombre se encuentre con vida dentro de 25 años es de 0,43. La probabilidad de que su esposa se encuentre con vida dentro de 25 años es de 0,45. La probabilidad de que su hijo se encuentre con vida es de 0,85 y la probabilidad de que su suegra se encuentre con vida es de 0,28. Calcular la probabilidad de que, transcurridos 25 años: a) vivan el padre y el hijo solamente. b) vivan la madre y el hijo. c) viva el matrimonio. d) vivan la esposa y la suegra solamente. e) vivan el hombre y la suegra. f) vivan los cuatro. g) vivan el matrimonio y el hijo solamente. h) no viva ninguno. i) viva algún integrante del grupo. 12) Se sabe que la probabilidad de que una persona viva en Capital Federal es del 63% y que la probabilidad de que una persona se dedique a actividades independientes es del 50%. Además, el 71% de los que profesan actividades independientes vive en la Capital. Si se elige una persona al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que viva en Capital o que ejerza una profesión independiente? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no realice actividad independiente y no viva en Capital Federal? 13) En una ciudad, el 65% de los varones adultos son casados. De estos, el 80% asiste a un espectáculo deportivo los domingos. Del resto de los varones adultos, solo el 30% asiste a un espectáculo deportivo los domingos. a) Se selecciona un varón adulto que concurre a un espectáculo deportivo los domingos. ¿Cuál es la probabilidad de que no esté casado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un varón seleccionado al azar sea casado y no asista a un espectáculo deportivo los domingos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un varón seleccionado al azar sea soltero o asista a un espectáculo deportivo los domingos? d) ¿Cuál es la probabilidad de que un varón seleccionado al azar no asista a un espectáculo deportivo los domingos o sea soltero? 8

ESTADÍSTICA e) ¿Cuál es la probabilidad de que un varón seleccionado al azar no sea casado y no asista a un espectáculo deportivo los domingos? 14) Se cuenta con la siguiente información de la AFIP con respecto al Impuesto al Valor Agregado (I.V.A.): Impuestos Recaudados 1000 – 2000 2000 – 3000 3000 – 4000 4000 –5000 + 5000

Personas Física 200 40 10 5 0

Pequeños Contribuyentes 400 200 100 40 5

Grandes Contribuyentes 0 0 100 400 500

Si se toma un contribuyente al azar, calcular la probabilidad de que: a) sea gran contribuyente. b) se recaude entre $2.000 y $3.000. c) si es pequeño contribuyente, ¿qué probabilidad hay de que se recaude entre $1.000 y $2.000? d) sea gran contribuyente y se recaude entre $2.000 y $3.000. e) sea persona física o gran contribuyente. f) sea pequeño contribuyente o que se recaude entre $3.000 y $4.000. 15) La probabilidad de que un hombre de 50 años viva un año más es de 0,994 y la de uno de 40 años es de 0,997. ¿Cuál es la probabilidad de que, al cabo de un año: a) estén con vida ambos hombres? b) sólo el de 50 este con vida? c) ninguno de los dos hombres este con vida? d) esté con vida alguno de los dos? 16) Demostrar que si A y B son dos sucesos independientes, entonces A y B’ también lo son. 17) El gerente de Marketing de Susana’s Fans S.A. sabe que si se promociona un producto en el programa de Susana, la probabilidad de que este sea aceptado por las amas de casa es de 0,93. Por otra parte, la probabilidad de que Susana acepte promocionar algún producto de esta empresa es del 32%. Pero si el producto o la marca ya tiene buena reputación / aceptación, la probabilidad de que Susana lo promocione asciende a 0,70. ¿Cuál es la probabilidad de que un producto de esta empresa sea aceptado por las amas de casa? 18) La probabilidad de que un jugador de fútbol de un equipo de primera división convierta un penal es de 0,1 si su equipo juega contra un rival “grande” y de 0,2 si lo hace frente a un rival “chico”. Se sabe que de los 20 equipos de primera división, 6 son grandes. Dado que este jugador erró el penal, ¿cuál es la probabilidad de que su equipo haya jugado contra un rival “grande”? 19) ¿Si dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes, pueden ser A y B independientes? 20) Un inversor está pensando en comprar una cantidad muy grande de acciones de una determinada compañía. Durante el último año se observó que la cotización se relaciona con el PBN. Si el PBN aumenta, la probabilidad de que el valor de las acciones aumente es de 0,8. Si el PBN no varía, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0,2. Si el PBN disminuye, la probabilidad es de 0,1. Si para el siguiente año las respectivas probabilidades de que el PBN aumente, no cambie y disminuya son [0,4; 0,3; 0,3] respectivamente: 9

ESTADÍSTICA a) determinar la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en el próximo año. b) Si el valor de las acciones aumenta, ¿cuál es la probabilidad de que el PBN también haya aumentado? c) Si el valor de las acciones aumenta, determinar la probabilidad de que el PBN no haya variado o haya disminuido. 21) El Banco Agosto utiliza un modelo computarizado para evaluar las solicitudes de préstamos. Esta evaluación sirv...