Herramientas matemáticas para la localización espacial. Parte 1 PDF

Preview

Summary

De acuerdo con (Harris, Logan, & Lowrie, 2020)“La relación entre las matemáticas y el razonamiento espacial está bien establecida y ampliamente investigada. Cierto contenido matemático podría considerarse explícitamente espacial, por ejemplo, dentro de la geometría”. Sin embargo, el vínculo con el r...

Description

Robótica “Herramientas matemáticas para la localización espacial. Parte 1” INGENIERÍA MECATRÓNICA

ALUMNO: ESCAMILLA LOSOYO JOSÉ DE JESÚS

GRUPO: 12:15 pm – 1:55 pm

PROFESOR: ING. CASILLAS ARAIZA MIGUEL ANGEL

FECHA DE ELABORACIÓN: 06/10/2020 FECHA DE ENTREGA: 07/10/2020 PERIODO:

AGOSTO - DICIEMBRE 2020

CALIFICACIÓN: _____________

8138

Contenido Introducción ........................................................................................................................................ 3 Representación de la posición ............................................................................................................ 4 Sistemas de coordenadas ................................................................................................................ 4 Coordenadas cartesianas en el plano ......................................................................................... 4 Coordenadas Cartesianas Tridimensionales ............................................................................... 5 Coordenadas Polares en el Plano ................................................................................................ 6 Coordenadas Esféricas ................................................................................................................ 6 Representación de un punto en el sistema de coordenadas .......................................................... 7 Representación de un punto en coordenadas cartesianas en el plano ...................................... 7 Representación de un Punto en Coordenadas Cartesianas Tridimensionales............................ 7 Descripciones espaciales ................................................................................................................. 7 Representaciones de orientación ............................................................................................... 7 Matrices de rotación ................................................................................................................... 8 Ángulos de Euler........................................................................................................................ 11 Par de rotación .......................................................................................................................... 13 Cuaternios ................................................................................................................................. 14 Posición ......................................................................................................................................... 15 Orientación .................................................................................................................................... 16 Ejes de referencia .......................................................................................................................... 16 Conclusiones ..................................................................................................................................... 18 Conclusiones personales ............................................................................................................... 18 Conclusiones técnicas ................................................................................................................... 18 Referencias ........................................................................................................................................ 19

2

Introducción De acuerdo con (Harris, Logan, & Lowrie, 2020)“La relación entre las matemáticas y el razonamiento espacial está bien establecida y ampliamente investigada. Cierto contenido matemático podría considerarse explícitamente espacial, por ejemplo, dentro de la geometría”. Sin embargo, el vínculo con el razonamiento espacial se extiende a otras áreas de las matemáticas, como las representaciones de la línea numérica, la lectura e interpretación de gráficos y la robótica. Como lo hace notar (Barrientos Cruz, 2007) “Para que el robot pueda realizar las tareas de manipulación que le son encomendadas es necesario que conozca la posición y orientación de los elementos a manipular con respecto a la base del robot.” Por ello se entiende entonces la necesidad de contar con una serie de herramientas matemáticas que permitan especificar la posición y orientación en el espacio de piezas, herramientas y, en general, de cualquier objeto.

3

Representación de la posición Menciona (Barrientos Cruz, 2007) “La localización de un cuerpo rígido en el espacio precisa de especificar tanto su posición como su orientación.” Estas deben ser establecidas con relación a un sistema de referencia definido, pudiéndose hacer uso de diferentes modos o herramientas para especificar la relación entre la posición y orientación del cuerpo rígido y los sistemas de referencia. En un plano bidimensional, la posición de un cuerpo rígido precisa de dos grados de libertad y, por tanto, la posición del cuerpo quedará definida por dos componentes independientes. En el caso de espacio tridimensional será necesario emplear tres componentes.

Sistemas de coordenadas Como señala (Barrientos Cruz, 2007) “Normalmente los sistemas de referencia se definen mediante ejes perpendiculares entre sí con un origen definido, éstos se denominan sistemas cartesianos” estos pueden ser de dos o tres dimensiones.

Coordenadas cartesianas en el plano De acuerdo con (Wikipedia, Coordenadas cartesianas, 2020) “son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una relación matemática (funciones matemáticas y ecuaciones de geometría analítica), o del movimiento o posición en física, caracterizadas por tener como referencia ejes ortogonales entre sí que concurren en el punto origen”. En las coordenadas cartesianas se determinan las coordenadas al origen como la longitud de cada una de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. Describe (Thomas & George, Calculo de una variable, 2010) “En el eje x horizontal, los números se denotan con 𝑥 y aumentan hacia la derecha, en el eje 𝑦 vertical, los números se denotan con 𝑦 y aumentan hacia arriba” (Imagen 1). Por lo tanto, “hacia arriba” y “hacia la derecha” son direcciones positivas, mientras que “hacia abajo” y “hacia la izquierda” se consideran direcciones negativas. El origen 𝑂 , también marcado con 0, del sistema de coordenadas es el punto en el plano donde 𝑥 y 𝑦 son ambos cero.

4

Imagen 1 Las coordenadas cartesianas el plano tienen como base dos ejes perpendiculares que se cortan en el origen. (Thomas & George, Calculo de una variable, 2010)

Coordenadas Cartesianas Tridimensionales De acuerdo con (Wikipedia, Tridimensional, 2020) “En física, geometría y análisis matemático, un objeto o ente es tridimensional si tiene tres dimensiones. Es decir, cada uno de sus puntos puede ser localizado especificando tres números dentro de un cierto rango”. Por ejemplo, anchura, altura y profundidad. Nuevamente describe (Thomas & George, Cálculo de varias variables, 2010) “Para localizar un punto en el espacio, utilizamos tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares” Los ejes allí mostrados forman un sistema coordenado diestro o de mano derecha. (Imagen 2). Cuando se sostiene la mano derecha de tal manera que los dedos meñiques a índice se curven del eje 𝑥 positivo hacia al eje y positivo, el dedo pulgar apunta en la dirección del eje z positivo. Así, cuando se mira hacia abajo al plano 𝑥𝑦 desde la dirección positiva del eje 𝑧, los ángulos positivos en el plano se miden en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, a partir del eje x positivo y alrededor del eje 𝑧 positivo.

5

Imagen 2 El sistema cartesiano tridimensional sigue la convención de la mano derecha. (Thomas & George, Cálculo de varias variables, 2010)

Coordenadas Polares en el Plano Explica (Thomas & George, Cálculo de varias variables, 2010) “Para definir las coordenadas polares, primero fijamos un origen 𝑂 (llamado polo) y un rayo inicial desde 𝑂” (Imagen 3). Posteriormente a lo mencionado se puede localizar cada punto 𝑃 asignándole una pareja de coordenadas polares (𝑟, 𝑢) donde 𝑟 es la distancia dirigida de 𝑂 a 𝑃 y u es el ángulo dirigido del rayo inicial al rayo 𝑂𝑃.

Imagen 3 Para definir las coordenadas polares en el plano, iniciamos con un origen, llamado polo, y un rayo inicial. (Thomas & George, Cálculo de varias variables, 2010)

Coordenadas Esféricas Define (Thomas & George, Cálculo de varias variables, 2010) “Las coordenadas esféricas representan un punto P en el espacio mediante la terna ordenada (𝑝, 𝜙, 𝜃)”. Las coordenadas esféricas ubican puntos en el espacio mediante dos ángulos y una distancia, como muestra la 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 es la distancia del punto al origen. A diferencia de 𝑟, (Imagen 4). La primera coordenada, 𝑝 = |𝑂𝑃| 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 forma con el |𝑂𝑃| la variable 𝑝 nunca es negativa. La segunda coordenada, 𝜙 , es el ángulo que 󰇍󰇍󰇍󰇍 semieje positivo 𝑧. Se requiere que esté en el intervalo [0, 𝜋]. La tercera coordenada es el ángulo , 𝜃 medido en coordenadas cilíndricas. 6

Imagen 4 Las coordenadas esféricas 𝑟, 𝑓 y 𝑢 y su relación con 𝑥, 𝑦, 𝑧 y 𝑟. (Thomas & George, Cálculo de varias variables, 2010)

Representación de un punto en el sistema de coordenadas Representación de un punto en coordenadas cartesianas en el p plano lano

Describe (Thomas & George, Calculo de una variable, 2010) “Si 𝑃 es cualquier punto en el plano, puede localizarse en forma exacta por un par ordenado de números reales de la siguiente manera.” Dibuje rectas que pasen por 𝑃 y que sean perpendiculares a los dos ejes de coordenadas. Estas rectas intersecan a los ejes en los puntos con coordenadas 𝑎 y 𝑏 ver (Imagen 1). El par ordenado (𝑎, 𝑏) se asigna al punto 𝑃 y se denomina su pareja ordenada (o par ordenado). El primer número a es la coordenada 𝑥 (o abscisa) de 𝑃; el segundo número 𝑏 es la coordenada y (u ordenada) de 𝑃. La abscisa 𝑥 de cada punto en el eje y es 0. La coordenada y de cada punto en el eje 𝑥 es 0. El origen es el punto (0, 0).

Representación de un Punto en Coordenadas Cartesi Cartesianas anas Tridimensionales

Describe (Thomas & George, Cálculo de varias variables, 2010) “Las coordenadas cartesianas (𝑥, 𝑦, 𝑧) de un punto 𝑃 en el espacio son los valores en los cuales los planos que pasan por 𝑃”. Es decir, perpendiculares a los ejes, cortan los ejes., las coordenadas cartesianas del espacio también se llaman coordenadas rectangulares, porque los ejes que las definen se cortan en ángulos rectos. Los puntos sobre el eje 𝑥 tienen las coordenadas 𝑦 y 𝑧 igual a cero. Es decir, tienen coordenadas de la forma (𝑥, 0, 0). De manera análoga, los puntos sobre el eje y tienen coordenadas de la forma (0, 𝑦, 0), y los puntos sobre el eje 𝑧 tienen coordenadas de la forma (0, 0, 𝑧) ver (Imagen 2).

Descripciones espaciales

Representaciones de orientación Señala (Barrientos Cruz, 2007) “Un punto queda totalmente definido en el espacio a través de los datos de su posición. Sin embargo, para el caso de un sólido rígido, es necesario además definir cuál es su orientación con respecto a un sistema de referencia”. Por ejemplo, en el caso de un robot que 7

tenga que realizar sobre una pieza curva una operación de pulido, no bastaría con especificar los puntos de la superficie para situar adecuadamente la herramienta, sino que será necesario también conocer la orientación con que la herramienta ha de realizar la operación. Para poder describir de forma sencilla la orientación de un objeto respecto a un sistema de referencia, es habitual asignar solidariamente al objeto un nuevo sistema, y después estudiar la relación espacial existente entre los dos sistemas. De forma general, esta relación vendrá dada por la posición y orientación del sistema asociado al objeto respecto al de referencia. Para el análisis de los distintos métodos de representar orientaciones se supondrá que ambos sistemas coinciden en el origen, y que, por tanto, no existe cambio alguno de posición entre ellos, algunas herramientas matemáticas que nos ayudan en la representación de la orientación son:

Matrices de rotación Añade (Barrientos Cruz, 2007) “Las matrices de rotación son el método más extendido para la descripción de orientaciones, debido principalmente a la comodidad que proporciona el uso del álgebra matricial”. Supóngase que se tiene en el plano dos sistemas de referencia 𝑂𝑋𝑌 y 𝑂𝑈𝑉 con un mismo origen 𝑂 , siendo el sistema 𝑂𝑋𝑌 el de referencia fijo y el sistema 𝑂𝑈𝑉 el móvil, solidario al objeto (). Los vectores unitarios de los ejes coordenados del sistema 𝑂𝑋𝑌 son 𝑖𝑥 ,𝑗𝑦 , mientras que los del sistema 𝑂𝑈𝑉 son 𝑖𝑢 , 𝑗𝑣 . Un vector 𝑝 del plano se puede representar como:

𝑃 = 𝑝𝑢 𝑖𝑢 + 𝑝𝑣 𝑗𝑣

Ecuación 1 Vector en el plano

Además, se verifican las igualdades siguientes (por tratarse de productos escalares). 𝑖𝑥 𝑃 {𝑖 𝑃 𝑦

Ecuación 2 Igualdades

Imagen 5 Orientación de un sistema 𝑂𝑈𝑉 respecto a otro 𝑂𝑋𝑌 en un plano. (Barrientos Cruz, 2007).

Sustituyendo la (Ecuación 1) en (Ecuación 2) se obtiene:

8

donde:

[

𝑝𝑥 𝑝 𝑝𝑢 ] 𝑝𝑦 ] = 𝑅 [ 𝑣

𝑖𝑥 𝑖𝑢 𝑅 = [𝑗 𝑖 𝑦 𝑢

𝑖𝑥 𝑖𝑣 𝑗𝑦 𝑗𝑣 ]

Ecuación 3 matriz de rotación.

Esta es la llamada matriz de rotación, que define la orientación del sistema 𝑂𝑈𝑉 con respecto al sistema 𝑂𝑋𝑌 , y que sirve para transformar las coordenadas de un vector en un sistema a las del otro. En un espacio tridimensional, el razonamiento a seguir es similar. Supónganse los sistemas OXYZ y 𝑂𝑈𝑉𝑊 , coincidentes en el origen, siendo el 𝑂𝑋𝑌𝑍 el sistema de referencia fijo, y el 𝑂𝑈𝑉𝑊 el solidario al objeto cuya orientación se desea definir. (Imagen 6). Los vectores uni tarios del sistema 𝑂𝑋𝑌𝑍 serán 𝑖𝑥 , 𝑗𝑦 , 𝑘𝑧 , mientras que los del 𝑂𝑈𝑉𝑊 serán 𝑖𝑢 , 𝑗𝑣 , 𝑘𝑤 . Un vector p del espacio podrá ser referido a cualquiera de los sistemas de la siguiente manera: 𝑃𝑢𝑣𝑤 = [𝑝𝑢 , 𝑝𝑣 , 𝑝𝑤 ]𝑇 = 𝑝𝑢 . 𝑖𝑢 + 𝑝𝑣 . 𝑗𝑣 + 𝑝𝑤 . 𝑘𝑤 𝑇

𝑃𝑥𝑦𝑧 = [𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝑝𝑧 ] = 𝑝𝑥 . 𝑖𝑥 + 𝑝𝑦 . 𝑗𝑦 + 𝑝𝑧 . 𝑘𝑧 Ecuación 4 Vector en el espacio.

Y al igual que en dos dimensiones, se puede obtener la siguiente equivalencia:

donde:

𝑝𝑢 𝑝𝑥 [𝑝𝑦 ] = 𝑅 [ 𝑝𝑣 ] 𝑝𝑧 𝑝𝑤

𝑖𝑥 𝑖𝑢 𝑅 = [ 𝑗𝑦 𝑖𝑢 𝑘𝑧 𝑖𝑢

𝑖𝑥 𝑗𝑣 𝑗𝑦 𝑗𝑣 𝑘𝑧 𝑗𝑣

𝑖𝑥 𝑘𝑤 𝑗𝑦 𝑘𝑤] 𝑘𝑧 𝑘𝑤

es la matriz de rotación que define la orientación del sistema 𝑂𝑈𝑉𝑊 con respecto al sistema 𝑂𝑋𝑌𝑍.

9

Imagen 6 Sistema de referencia 𝑂𝑋𝑌𝑍 y solidario al objeto 𝑂𝑈𝑉𝑊 . (Barrientos Cruz, 2007).

En la (Imagen 7 a), la orientación del sistema 𝑂𝑈𝑉𝑊, con el eje 𝑂𝑉 coincidente con el eje 𝑂𝑌, vendrá representada mediante la matriz:

En la (Imagen 7 b) la orientación del sistema OUVW, con el eje OW coincidente con el ejeOZ, vendrá representada mediante la matriz:

Imagen 7 Rotación del sistema 𝑂𝑈𝑉𝑊 con respecto a los ejes OY y 𝑂𝑍. (Barrientos Cruz, 2007).

Todas estas ecuaciones anteriores se denominan matrices básicas de rotación de un sistema espacial de tres dimensiones. 10

Ángulos de Euler Añade (Barrientos Cruz, 2007) “Para la representación de orientación en un espacio tridimensional mediante un matriz de rotación es necesario definir nueve elementos”. Aunque la utilización de las matrices de rotación presente múltiples ventajas, como se verá en el siguiente epígrafe, existen otros métodos de definición de orientación que hacen únicamente uso de tres componentes para su descripción. Éste es el caso de los llamados ángulos de Euler. Todo sistema 𝑂𝑈𝑉𝑊 solidario al cuerpo cuya orientación se quiere describir, puede definirse con respecto al sistema 𝑂𝑋𝑌𝑍 mediante tres ángulos: 𝜑, 𝜃, 𝜓 , denominados ángulos de Euler que representan los valores de los giros a realizar sobre tres ejes ortogonales entre sí, de modo que girando sucesivamente el sistema 𝑂𝑋𝑌𝑍 sobre estos ejes octonormales los valores de 𝜑, 𝜃, 𝜓 , se obtendrá el sistema 𝑂𝑈𝑉𝑊 . Es necesario, por tanto, conocer además de los valores de los ángulos, cuáles son los ejes sobre los que se realizan los giros. Existen diversas posibilidades, siendo las tres más usuales las que se muestran a continuación: Ángulos de Euler WUW

Es una de las representaciones más habituales entre las que realizan los giros sobre ejes previamente girados. Se le suele asociar con los movimientos básicos de un giróscopo. Si se parte de los sistemas 𝑂𝑋𝑌𝑍 y 𝑂𝑈𝑉𝑊 , inicialmente coincidentes, se puede colocar al sistema 𝑂𝑈𝑉𝑊 en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos (Imagen 8) 1. Girar el sistema 𝑂𝑈𝑉𝑊 un ángulo 𝜑 con respecto al eje 𝑂𝑍, convirtiéndose así en el 𝑂𝑈′𝑉′𝑊′. 2. Girar el sistema 𝑂𝑈′𝑉′𝑊′ un ángulo 𝜃 con respecto al eje 𝑂𝑈′, convirtiéndose así en el 𝑂𝑈′′𝑉′′𝑊′′. 3. Girar el sistema 𝑂𝑈′′𝑉′′𝑊′′ un ángulo 𝜓 con respecto al eje 𝑂𝑊′′ convirtiéndose finalmente en el 𝑂𝑈′′′𝑉′′′𝑊′′′.

Es importante que estas operaciones se realicen en la secuencia especificada, pues las operaciones de giros consecutivos sobre ejes no son conmutativas.

Imagen 8 Ángulos de Euler WUW. (Barrientos Cruz, 2007).

11

Ángulos de Euler WVW

Es otra de las representaciones más habituales entre las que realizan los giros sobre ejes previamente girados. Sólo se diferencia del anterior en la elección del eje sobre el que se realiza el segundo giro. Si se parte de los sistemas 𝑂𝑋𝑌𝑍 y 𝑂𝑈𝑉𝑊 , inicialmente coincidentes, se puede colocar al sistema 𝑂𝑈𝑉𝑊 en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos (Imagen 9).

1. Girar el sistema 𝑂𝑈𝑉𝑊 un ángulo 𝜑 con respecto al eje 𝑂𝑍, convirtiéndose así en el 𝑂𝑈′𝑉′𝑊′. 2. Girar el sistema 𝑂𝑈′𝑉′𝑊′ un ángulo 𝜃 con respecto al eje 𝑂𝑉′, convirtiéndose así en el sistema 𝑂𝑈′′𝑉′′𝑊′′. 3. Girar el sistema 𝑂𝑈′′𝑉′′𝑊′′ un ángulo 𝜓 con respecto al eje 𝑂𝑊′′, convirtiéndose finalmente en el 𝑂𝑈′′′𝑉′′′𝑊′′′.

Imagen 9 Ángulos de Euler 𝑊𝑉𝑊 . (Barrientos Cruz, 2007).

Como antes, es preciso considerar que el orden de los giros no es conmutativo. Ángulos Euler XYZ

Estos giros sobre los ejes fijos se denominan guiñada, cabeceo y alabeo (Yaw, Pitch y Roll). Se trata de la representación utilizada generalmente en aeronáutica. Es también la más habitual de entre las que se aplican a los giros sobre los ejes del sistema fijo. Si se parte de los sistemas 𝑂𝑋𝑌𝑍 y 𝑂𝑈𝑉𝑊, al igual que en el caso anterior, se puede colocar al sistema 𝑂𝑈𝑉𝑊 en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos. ().

1. Girar el sistema 𝑂𝑈𝑉𝑊 un ángulo (𝜑 con respecto al eje 𝑂𝑋. Es el denominado Yaw o guiñada. 2. Girar el sistema 𝑂𝑈𝑉𝑊 un ángulo (𝜃 con respecto al eje 𝑂𝑌 . Es el denominado Pitch o cabeceo. 3. Girar el sistema 𝑂𝑈𝑉𝑊 un ángulo (𝜓 con respecto al eje 𝑂𝑍. Es el denominado Roll o alabeo. 12

Imagen 10 Ángulos de Euler XYZ (Yaw, Pitch y Roll). (Barrientos Cruz, 2007).

Al igual que en los casos anteriores, y en general siempre que se concatenan varios giros seguidos, es necesario considerar que no se trata de una transformación conmutativa, debiéndose seguir una secuencia determinada de aplicación de estos.

Par de rotación

La representación de la orientación de un sistema 𝑂𝑈𝑉𝑊 con respecto al sistema de referencia 𝑂𝑋𝑌𝑍 también puede realizarse mediante la definición de un vector 𝑘(𝑘𝑥, 𝑘𝑦 , 𝑘𝑧) y un ángulo de giro 𝜃 , tal que el sistema 𝑂𝑈𝑉𝑊 corresponde al sistema 𝑂𝑋𝑌𝑍 girado un ángulo 𝜃 sobre el eje 𝑘 (). El eje 𝑘 ha de pasar por el origen 𝑂 de ambos sistemas. Al par (𝑘, 𝜃) se le denomina par de rotación y se puede demostrar que es único. Señala (Barrientos Cruz, 2007) “Al igual que los ángulos de Euler, no se trata de un método que permita realizar una visualización sencilla de la orientación, salvo en casos muy concretos en los que el vector 𝑘 coincida con algunos de los ejes coordenados del sistema 𝑂𝑋𝑌𝑍”.

La aplicación de un par de rotación que rote un vector p un ángulo 𝜃 alrededor del vector unitario...