HöMa ÜB3 leer, also unausgefüllt und blank PDF

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Summary

um etwas herunterladen zu können, lädt man eben etwas anderes hoch. Ich hab mir den scheiß nicht ausgedacht....

Description

WiSe 2021 Aachen, den 29.10.2021

Prof. Dr. Maria Westdickenberg

¨ 3. Ubung Abgabetermin B-Teil 05.11.2021 ¨ Der B-Teil kann bis sp¨ in RWTHatestens am 05.11.2021 um 23:59 Uhr als PDF unter Ubungsbetrieb moodle hochgeladen werden.

¨ Ubungsgruppe: Name, Vorname: Name, Vorname: Name, Vorname: Matrikelnummern: Hiermit versichere ich, dass ich zu den folgenden Aufgaben ernstgemeinte L¨osungen erarbeitet habe. (Kreuzen Sie bitte die entsprechenden Aufgaben an.) Aufgabe

Ernstgemeinte Bearbeitung vorhanden

B10 B11 B12 B13

Bitte geben Sie Ihre L¨ osungen mit dem ausgef¨ ullten Deckblatt als erste Seite ab. Fragen zum Teil B k¨ onnen in den Kleingruppen¨ubungen in der Woche vom 02.11.2021 bis 05.11.2021 gestellt werden.

Teil A Aufgabe A9 Sei n ∈ N. Zeigen Sie f¨ ur beliebige reelle Zahlen b1 , . . . , bn : !2 n n X n(n + 1) X ≤ k b2k . k bk 2 k=1

Hinweis: Zeigen Sie zun¨ achst, dass

n P

k=1

k=

k=1

n(n+1) 2

ur n ∈ N . f¨

Aufgabe A10 Zeigen Sie, dass f¨ ur alle a, b, c ∈ R+ gilt: b c 3 a + + ≥ . 2 b+c c+a a+b Hinweis: Verwenden Sie die folgende Ungleichung zwischen dem harmonischen und arithmetischen Mittel 3 1 x1

+

1 x2

+

1 x3

≤

x1 + x2 + x3 3

mit einer geeigneten Wahl der x1 , x2 , x3 .

Und klammern Sie a + b + c aus. Aufgabe A11 Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften des (Standard-)Skalarprodukts des Rn : (a) Positive Definitheit: x · x ≥ 0 (b) Symmetrie: (c) Linearit¨at:

x·y = y·x

ur alle x ∈ Rn f¨

und

x·x= 0

⇐⇒

x = 0.

ur alle x, y ∈ Rn . f¨ f¨ ur alle α, β ∈ R und x, y, z ∈ Rn .

(αx + βy) · z = α(x · z) + β(y · z)

Aufgabe A12 Gegeben sei kxk1 :=

n X i=1

|xi | ,

x ∈ Rn ,

aus (2.1.5) im Skript. (a) Zeigen Sie, dass k · k1 eine Norm auf dem Rn ist, d.h. zeigen Sie, dass k · k1 die Normaxiome aus Satz (2.1.6) erf¨ ullt. (b) Zeigen Sie, dass √ 1 √ kxk ≤ kxk1 ≤ nkxk n f¨ ur alle x ∈ Rn gilt, wobei k · k die euklidische Norm auf dem Rn bezeichne. (c) Skizzieren Sie die Menge {x ∈ R2 | kxk1 ≤ 1}. 2

R R

R

R

R

R

R

R

R

R Abbildung 1: Abbildung 2:

Teil B [2 Punkte]

Aufgabe B10 Sei n ∈ N. Zeigen Sie f¨ ur beliebige reelle Zahlen b1 , . . . , bn : n X √ k=1

v u n uX b2k . 2k − 1|bk | ≤ n t k=1

Hinweis: Sie d¨ urfen ohne Beweis verwenden, dass

n P

k=1

(2k − 1) = n2 . [4 Punkte]

Aufgabe B11 Zeigen Sie, dass f¨ ur alle x, y, z ∈ R mit x2 + 2y 2 + 3z 2 =

1 126

stets

7x + 10y + 9z ≤ 1

gilt. Hinweis: Wenden Sie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung an. Aufgabe B12 [3 + 1 = 4 Punkte] Sie haben eine Kiste voller gleicher Widerst¨ande R und bauen sich zwei Schaltkreise (siehe Abbildungen 1 und 2). (a) Geben Sie den Gesamtwiderstand des jeweiligen Systems in Abh¨angigkeit von R an. (b) Angenommen Sie f¨uhren den Schaltkreis aus Abbildung 2 fort, bis der Schaltkreis insgesamt n der Unterschaltkreise besitzt. Hierbei wird die Logik fortgesetzt, dass der k-te Unterschaltkreis k parallelgeschaltete Widerst¨ ande R besitzt. Wie groß ist nun der Gesamtwiderstand des Systems in Abh¨ angigkeit von n und R? [2.5 + 2 + 1.5 = 6 Punkte]

Aufgabe B13 Gegeben sei kxk∞ := max{|x1 | , . . . , |xn |},

x ∈ Rn ,

aus (2.1.5) im Skript. (a) Zeigen Sie, dass k · k∞ eine Norm auf dem Rn ist, d.h. zeigen Sie, dass k · k∞ die Normaxiome aus Satz (2.1.6) erf¨ ullt. 3

(b) Zeigen Sie, dass 1 √ kxk ≤ kxk∞ ≤ kxk n ur alle x ∈ Rn gilt, wobei k · k die euklidische Norm auf dem Rn bezeichne. f¨ (c) Skizzieren Sie die Menge {x ∈ R2 | kxk∞ ≤ 1}.

4...